Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations With Applications pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Liu, Kai

出品人:

頁數:298

译者:

出版時間:

價格:1511.28元

裝幀:HRD

isbn號碼:9781584885986

叢書系列:

圖書標籤:

• Stochastic Differential Equations
• Infinite Dimensional Analysis
• Stability Theory
• Functional Analysis
• Probability Theory
• Mathematical Finance
• Partial Differential Equations
• Stochastic Control
• Martingale Theory
• Numerical Methods

隨機微分方程與動力係統：現代分析方法與應用 本書旨在為讀者提供一個深入、嚴謹的分析框架，探討無限維隨機動力係統的穩定性和長期行為。全書結構清晰，內容涵蓋瞭隨機分析、泛函分析、偏微分方程以及概率論的前沿交叉領域，特彆側重於隨機演化係統的定性理論和定量估計。 本書的核心在於揭示在隨機擾動下，無限維係統中結構性不變性的維持機製與隨機衰減的精確刻度。我們將從基礎的隨機微積分和馬爾可夫過程理論齣發，逐步構建起研究無限維隨機微分方程（SDEs）的數學工具箱。 第一部分：無限維隨機微積分與基礎理論 本部分將奠定分析隨機動力係統的數學基礎。我們將首先復習必要的泛函分析工具，包括巴拿赫空間、希爾伯特空間及其上的有界綫性算子理論。重點將放在無限維隨機積分理論的構建上，包括維納測度在函數空間上的推廣，以及相應的伊藤積分的定義與性質。 隨機積分的構造與性質： 深入探討 $L^2$ 隨機積分的收斂性和有界性，並介紹隨機積分在更一般的函數空間（如索伯列夫空間 $W^{k,p}(mathcal{O})$ 或希爾伯特空間 $H$）上的推廣，這是處理無限維 SDEs 的關鍵。 隨機演化算子： 引入隨機半群（Stochastic Semigroups）的概念，這是研究無限維 SDE 解的演化規律的中心工具。我們將分析隨機半群在不同拓撲下的連續性和生成元理論，特彆是與無窮小生成元（Infinitesimal Generator）的關聯。 隨機微分方程的弱解與強解： 針對形式為 $dX_t = A X_t dt + B(X_t) dW_t$ 的抽象 SDEs，我們將詳細分析其解的存在性、唯一性及其正則性。特彆關注局部利普希茨（Locally Lipschitz）和更弱的條件下解的存在性定理，並引入隨機不動點定理的應用。 第二部分：隨機穩定性的分析框架 本部分是全書的核心，專注於隨機動力係統的穩定性概念的嚴謹定義和分析。穩定性分析將從經典意義上的指數穩定性擴展到隨機環境下的各種形式的穩定性。 漸近穩定性的定義與刻畫： 明確區分瞭幾乎必然穩定性（a.s. stability）、均方穩定性（$L^2$ stability）和穩定矩穩定性。對於綫性隨機係統 $dX_t = A X_t dt + B X_t dW_t$，我們將利用李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponents）來精確判斷其指數穩定性。 李雅普諾夫函數方法在隨機係統中的應用： 推廣經典的李雅普諾夫函數方法。引入隨機李雅普諾夫函數（Stochastic Lyapunov Functions），並利用伊藤積分的性質建立必要和充分條件，用於判斷係統的全局穩定性或局部吸引性。這部分內容將結閤隨機微分不等式（Stochastic Differential Inequalities）的工具。 隨機吸引子（Random Attractors）： 針對耗散性隨機偏微分方程（SPDEs），我們將構建隨機耗散係統中吸引集的理論框架。定義隨機吸引子（或稱為隨機拉迴吸引子 Random Pullback Attractors），並研究其拓撲性質、維度估計和正則性。分析在外部隨機驅動下，係統如何收斂到一個依賴於驅動噪聲的集閤。 隨機分支與混沌： 探討係統在隨機擾動下錶現齣的復雜行為，包括隨機周期性、準周期性和隨機混沌的判定標準。 第三部分：具體方程模型的穩定性分析與應用 本部分將理論工具應用於具體的、具有物理和工程背景的無限維係統，展示穩定性分析的實際效能。 隨機拋物型方程（SPDEs）： 重點分析經典的隨機熱方程、隨機對流-擴散方程以及隨機納維-斯托剋斯方程（Navier-Stokes Equations）。利用能量方法和嵌入定理，證明這些係統在特定噪聲作用下的平穩態（Stationary Measures）的存在性和唯一性，以及解的長期行為的平穩性。 隨機非綫性演化方程： 深入研究隨機非綫性薛定諤方程（SPNLS）或隨機 Korteweg-de Vries (KdV) 方程。對於這些非綫性係統，我們依賴於特定的空間結構（如守恒律或特定對稱性）來輔助穩定性分析，探索是否存在隨機孤子（Solitons）或其破壞機製。 隨機係統的模態分析： 對於具有綫性部分（如由拉普拉斯算子生成）的係統，我們將利用譜分解（Spectral Decomposition）將無限維問題轉化為無窮多個有限維隨機係統的耦閤問題。分析低階模態的穩定性如何決定整個係統的穩定性（模態分解方法）。 第四部分：平穩態測度的研究 係統的長期行為最終由其平穩態測度決定。本部分專注於研究隨機動力係統在時間趨於無窮大時，其解的概率分布的極限行為。 馬爾可夫性與遍曆性： 確定隨機微分方程的解是否構成一個滿足馬爾可夫性質的隨機過程。引入隨機遍曆理論，分析係統是否具有唯一的平穩分布。 平穩測度的唯一性和正則性： 對於一類滿足特定條件的隨機演化方程，證明其平穩測度的存在性、唯一性，並分析該測度的正則性（如是否具有密度函數）。利用 Feller 性質和測度收斂定理進行證明。 精確收斂速率估計： 超越定性的“收斂到平穩態”的結論，本部分將聚焦於量化收斂的速度。利用特定距離（如 $L^p$ 距離或總變差距離）下的概率估計，給齣係統收斂至平穩分布的指數速度。 本書適閤於高等概率論、泛函分析和偏微分方程背景的研究生和研究人員，是深入理解復雜隨機係統穩定性和長期行為的權威參考書。通過嚴密的數學推導和豐富的應用實例，本書旨在培養讀者解決當代隨機動力學前沿問題的能力。

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