Linear Integral Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Kress, Rainer

出品人:

页数:381

译者:

出版时间:1999-3

价格:$ 224.87

装帧:HRD

isbn号码:9780387987002

丛书系列:

图书标签:

线性积分方程
积分方程
数学分析
泛函分析
数值分析
偏微分方程
应用数学
工程数学
科学计算
数学物理

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具体描述

The result of the author's fascination with the mathematical beauty of integral equations, this book combines theory, applications, and numerical methods, and covers each of these fields with the same weight. In order to make the book accessible to mathematicians, physicists, and engineers alike, the author has made it as self-contained as possible, requiring only a solid foundation in differential and integral calculus. The functional analysis which is necessary for an adequate treatment of the theory and the numerical solution of integral equations is developed within the book itself. Problems are included at the end of each chapter.

好的，以下是一本围绕“线性积分方程”主题，但内容与您提到的书名《Linear Integral Equations》不完全重叠（即避免直接介绍该书的特定章节内容或特定作者的特定观点）的详细图书简介。 --- 书名：《现代分析中的积分方程：理论、方法与应用》作者： [此处留空或使用通用笔名] 第一版摘要：本书旨在为数学、物理学和工程学领域的研究人员、高级研究生以及希望深入了解积分方程理论的专业人士提供一个全面、深入且现代的视角。不同于侧重于历史发展或单一数学分支的传统教材，本书采取一种跨学科、注重实际计算和最新理论进展的综合性方法。我们从基础的线性积分方程（包括第一类和第二类Fredholm方程、Volterra方程及其变体）的分类与基本性质入手，迅速过渡到使用泛函分析、算子理论和变分法来构建坚实的理论框架。全书的核心在于系统地介绍求解线性积分方程的各种数值和解析方法，并详细阐述这些方法在处理边界值问题、势论、散射理论以及动力系统稳定性分析中的实际应用。本书的特色在于对奇异积分方程 (Singular Integral Equations, SIEs) 的深入探讨，特别是Cauchy型奇异积分方程，这些方程在空气动力学（翼型理论）和弹性力学（断裂力学）中至关重要。此外，我们还专门辟出章节讨论逆问题中的积分方程建模，例如图像重建和反问题中的反演算子。第一部分：基础与泛函分析框架 (Foundations and Functional Analysis Framework) 本部分为后续高级主题奠定基础。首先回顾勒贝格积分与Banach空间、Hilbert空间的基本概念，重点关注平方可积函数空间 $L^2(Omega)$。第一章：积分方程的分类与背景详细区分Fredholm和Volterra积分方程，并探讨其与常微分方程（ODE）及偏微分方程（PDE）边界值问题的等价转换关系（例如，通过Green函数表示法）。引入积分算子（Integral Operators）的概念，着重分析其连续性、紧致性和可微性。第二章：Fredholm方程的理论基础深入解析Fredholm行列式（Fredholm Determinant）的性质，探讨特征值和特征函数（Eigenvalues and Eigenfunctions）的性质，特别是在自伴算子下的正交性。引入Neumann级数作为迭代解法的基础，并讨论其收敛性条件。对于第二类Fredholm方程，展示其解的存在性与唯一性是如何与Fredholm理论紧密联系的。第三章：Volterra方程的动力学特性 Volterra方程由于其时间演化特性，需要不同于Fredholm方程的分析工具。本章关注其解的平滑性、因果性（Causality）的数学表达，以及如何使用Laplace变换和积分变换技术求解特定形式的Volterra方程。第二部分：解析求解方法与算子理论 (Analytical Solution Methods and Operator Theory) 本部分专注于利用先进的数学工具来解析处理积分方程。第四章：算子理论在积分方程中的应用本章将积分方程视为在特定函数空间上的线性算子方程 $K u = f$。重点分析积分算子的谱理论（Spectral Theory），包括紧算子的谱特性。通过研究积分算子的有界性和紧致性，我们可以预测解的稳定性。详细讨论核函数（Kernels）的性质对算子谱的影响，特别是希尔伯特-施密特（Hilbert-Schmidt）核的特殊地位。第五章：积分变换技术探讨傅里叶变换（Fourier Transform）和拉普拉斯变换（Laplace Transform）在求解卷积型积分方程（Convolution Type Integral Equations）中的威力。详细展示如何将积分方程转化为代数方程，求解后进行逆变换。此外，引入Abel积分方程，并利用其特定变换结构求解。第六章：特殊核与特殊方程讨论 Abel 型、Volterra-Fredholm 混合型方程的解析技巧。对于具有特定核函数（如分式核）的方程，介绍Goelitz方法和特定积分变换（如Mellin变换）的应用前景。第三部分：奇异积分方程与应用 (Singular Integral Equations and Applications) 奇异积分方程是本书最具挑战性和实用性的部分，主要涉及积分核中存在奇点的方程。第七章：Cauchy 型奇异积分方程本章集中于 $int_a^b frac{K(x, t)}{t-x} u(t) dt = f(x)$ 形式的方程。详细介绍Muskhelishvili的奇点方法（Singular Method），包括Plemelj-Sokhotski 存在定理的推导。讨论围道积分（Contour Integration）在确定特征值和解的边界行为中的作用。第八章：边界值问题的积分方程表述展示如何将线积分方程（Boundary Integral Equations, BIEs）应用于二维和三维的拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程以及线性弹性方程的边值问题。特别关注于如何通过选择特定的Green函数构建低维度的边界积分算子。第四部分：数值逼近与计算方法 (Numerical Approximation and Computational Methods) 本部分侧重于在实践中求解无法解析处理的积分方程。第九章：数值离散化方法详细介绍将连续的积分方程转化为离散线性代数方程组的方法。重点分析： 1. 梯形规则与高斯-勒让德求积在数值积分中的应用。 2. Nyström方法：基于求积公式的迭代法。 3. 伽辽金法 (Galerkin Method)：使用基函数展开解 $u(x) = sum c_i phi_i(x)$，将积分方程转化为矩阵方程 $mathbf{K} mathbf{c} = mathbf{f}$。分析这些方法的稳定性和误差界。第十章：迭代与预处理技术讨论求解大型稀疏矩阵（源于BIEs的离散化）的迭代求解器，如GMRES和BiCGSTAB。介绍如何利用多重网格法 (Multigrid Methods) 或预处理器 (Preconditioners) 来加速收敛，尤其是在处理 Fredholm 方程的第二类问题时。第十一章：反问题的积分方程建模探讨在数据稀疏或噪声较大的情况下，如何使用积分方程模型进行稳定反演。涉及正则化技术（如Tikhonov正则化）与积分方程的结合，以确保数值解的稳定性。结论与展望：本书的最后一部分总结了当前积分方程研究的前沿方向，包括随机积分方程（Stochastic Integral Equations）、非线性积分方程的稳定求解，以及在机器学习（如物理信息神经网络 PINNs）中利用积分方程作为约束条件的最新进展。目标读者：本书的深度和广度使其成为严肃的数学分析、计算物理及工程数值方法研究生课程的理想教材，同时也是相关领域研究人员的权威参考手册。要求读者具备实分析和线性代数的基础知识。 ---