Topics in Intersection Graph Theory pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Society for Industrial & Applied

作者:McKee, Terry A./ McMorris, F. R.

出品人:

頁數:205

译者:

出版時間:

價格:75

裝幀:Pap

isbn號碼:9780898714302

叢書系列:

圖書標籤:

• Math
• Intersection Graphs
• Graph Theory
• Combinatorial Optimization
• Algorithms
• Discrete Mathematics
• Computational Geometry
• Network Analysis
• Theoretical Computer Science
• Mathematics
• Graph Algorithms

深入圖論的交叉點：關於連通性、結構與應用的專題探討 簡介 本書旨在為圖論領域的進階研究者、高級學生以及希望拓寬知識邊界的數學愛好者提供一個深入、嚴謹的平颱，探索那些在核心主題之外，但在現代組閤數學和理論計算機科學中占據關鍵地位的圖結構和理論。本書的焦點並非標準的連通性、歐拉路徑或哈密頓性等經典主題，而是將筆觸伸嚮那些依賴於特定結構限製或復雜組閤性質的圖類，特彆是交錯結構、超圖錶示以及具有強約束的嵌入。 我們將這本書定位為一個專題性的深入研究，它假設讀者已經對基礎圖論（如平麵圖、二分圖、樹的性質等）有紮實的理解。因此，本書的每一章都將從一個非傳統的或高度專業化的角度切入，探討如何利用先進的代數、拓撲或離散方法來解析這些復雜圖類的內在結構和潛在應用。 全書內容圍繞三大核心支柱展開：結構化嵌入與復雜交織、限製性參數的邊界分析，以及圖論在信息科學中的新興應用。 --- 第一部分：結構化嵌入與非經典錶示 (Structured Embeddings and Non-Standard Representations) 本部分側重於圖如何在不同空間或集閤上被錶示和約束，以及這些約束如何定義齣新的、需要專門工具來研究的圖族。 第一章：拓撲約束下的交錯路徑與環 本章不討論常見的平麵圖嵌入，而是深入研究準平麵圖（Quasi-planar graphs）和局部嵌入圖（Locally Embeddable Graphs）。我們將引入“跨越復雜度”（Crossing Complexity）這一概念，用以量化不同嵌入方式下邊綫交叉的頻率和模式。 1.1 局部拓撲約束： 研究在局部區域內保持特定低階結構（如小團或特定厚度的樹）的圖族。重點分析圖的拓撲厚度（Topological Thickness）在這些約束下的行為。 1.2 僞嵌入與交織矩陣： 探討如何使用矩陣代數來錶示和分析圖的“非嵌入”狀態。引入交織矩陣（Interleaving Matrices）的概念，用以捕捉當圖試圖被嵌入到低維空間時，哪些邊集必須在代數上錶現齣非平凡的交錯關係。 1.3 穿越數的精確界限： 對特定稀疏圖（如高階隨機圖的特定子結構）的最小穿越數（Crossing Number）進行精確估計，超越已知的平麵圖判定邊界。 第二章：超圖的最小生成圖與錶示 (Minimal Generating Graphs for Hypergraphs) 本章將視角從傳統圖轉嚮超圖，探討如何用“最簡單”的常規圖來“編碼”或“錶示”特定復雜超圖的結構。 2.1 超圖的對偶圖（Dual Graphs）： 詳細研究超圖的邊-點對偶的結構特性，特彆是當對偶圖錶現齣特定類彆的圖屬性（如完美性或三角化性）時，原超圖的性質。 2.2 關聯圖的層次結構： 分析用於錶示特定超圖的關聯圖（Incidence Graphs）的最小規模問題。關注那些需要高階結構纔能被精確編碼的超圖，並研究如何用最小化邊數或頂點數的常規圖來近似錶示它們。 2.3 限製性超圖的分解： 探討如何將復雜超圖分解為有限個簡單圖的並集或交集，並分析這種分解的唯一性和計算復雜度。 --- 第二部分：限製性參數的邊界分析 (Boundary Analysis of Restrictive Parameters) 本部分關注那些通過限製圖的特定結構參數（如最大團、最小覆蓋或特定子圖密度）來定義的圖類，並探究這些限製如何影響圖的可計算性和組閤特性。 第三章：圖的分解與強結構特性 (Decomposition and Strong Structural Properties) 本章關注圖的分解定理及其在特定參數下的加強版本。 3.1 限製性分離集與連通性： 研究在移除特定大小集閤後，圖的連通性或環性如何變化。重點分析最小分離團（Minimal Separating Cliques）的結構，這與圖的內在魯棒性直接相關。 3.2 弱正則圖的代數特性： 探討弱正則圖（Weakly Regular Graphs）的代數定義和光譜特性。分析它們的鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣的特徵值結構，以及這些結構如何揭示圖的對稱性和分解模式。 3.3 簇狀圖的解析 (Cluster Graphs Analysis)： 深入研究由多個高密度簇連接而成的圖。關注簇與簇之間的連接結構——即簇間橋接圖（Inter-Cluster Bridging Graphs）的結構，以及它如何影響全局的匹配和覆蓋問題。 第四章：參數的非經典界限與零點 (Non-Classical Bounds and Zero Points of Parameters) 本章探索一些不太常見的圖參數，並試圖確定其“零點”——即使得某個復雜結構不再齣現的臨界閾值。 4.1 樹寬的代數視角： 重新審視樹寬（Treewidth）的概念，但從代數幾何的角度進行探討，關注與樹分解相關的張量分解結構。分析哪些矩陣結構保證瞭圖的低樹寬。 4.2 路徑覆蓋與流的互補性： 討論在有嚮圖中，最小路徑覆蓋與最大流之間的關係，特彆是當圖的特定子結構被移除後，這種互補關係如何被打破或增強。引入“缺口流”（Deficit Flow）的概念來量化這種破壞。 4.3 可約性與不可約性： 研究哪些圖結構是“不可約的”（Irreducible），即不能通過簡單的局部操作（如邊收縮或頂點替換）來簡化其復雜性的。分析這些不可約核的性質。 --- 第三部分：圖論在信息科學中的新興應用 (Emerging Applications in Information Science) 本部分將理論成果應用於計算復雜性和數據結構領域，關注圖論工具如何解決非經典計算問題。 第五章：復雜性分類與圖的不可判定性 (Complexity Classification and Undecidability in Graphs) 本章不再關注NP完全性，而是探討更深層次的計算界限。 5.1 可判定性邊界的探究： 分析哪些涉及高階圖結構（如高階色性、特定超圖的完美性）的問題，在特定限製下（如固定的最大度或有限的邊集）可以被判定，而在通用圖上則不然。 5.2 局部決策與全局一緻性： 探討在分布式計算模型中，僅通過局部信息（鄰域信息）來判斷圖是否具有全局屬性（如完美匹配或平麵性）的計算效率和可行性。 5.3 隨機圖中的信息傳播模型： 建立基於特定拓撲結構（如功率律分布）的隨機圖模型，並分析信息或病毒在這些圖上傳播的動力學，重點關注“爆發點”的拓撲特徵。 第六章：圖論在網絡編碼與魯棒性中的應用 (Applications in Network Coding and Robustness) 本章關注圖結構如何影響信息在噪聲或受損網絡中的傳輸效率和可靠性。 6.1 綫性網絡編碼的代數圖論基礎： 詳細闡述圖的割、流與綫性代數嚮量空間之間的精確對應關係，特彆是如何利用圖的矩陣性質來設計最優的綫性網絡編碼方案。 6.2 魯棒性與最小刪除集： 研究如何構造具有特定魯棒性的網絡。分析多重割集（Multiple Cuts）的結構，以及如何最小化需要移除的邊集，以保證信息流可以在$k$個獨立路徑上傳輸（$k$-edge-connectivity的增強）。 6.3 圖的結構化壓縮用於數據存儲： 探索如何利用圖的某些低維錶示（如度序列或譜特徵）來高效地存儲和檢索大規模圖數據，同時最小化重建誤差。 --- 結論 本書為圖論研究提供瞭一套不同於傳統教材的分析工具箱。它通過聚焦於復雜交織、結構約束的邊界以及計算的深層限製，引導讀者超越基礎概念，進入圖論研究的前沿領域。全書強調跨學科方法的融閤，特彆是代數、拓撲和復雜性理論的交叉應用，旨在激發讀者對圖結構內在美和其實際應用潛力的全新認識。

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