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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Hsieh, Din-yu (EDT)/ Zhang, Meirong (EDT)/ Sun, Weitao (EDT)

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2007-4

价格:$ 160.00

装帧:HRD

isbn号码:9789812704566

丛书系列:

图书标签:

应用数学
前沿
数学建模
数值分析
偏微分方程
优化算法
科学计算
工程数学
交叉学科
数学方法

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具体描述

This volume brings together articles on the mathematical aspects of life sciences, astrophysics, and nonlinear wave problems. It covers theoretical problems associated with the nervous system, drosophila embryos, protein folding, biopolymers, protoplanetary disks and extrasolar planets, gaseous disks, spiral galaxies, dark matter dynamics, star formation, solitary waves, photonics, and nonlinear light propagation in periodic media. The contributions are written for a general audience, and the authors have included references for further reading.

深入探索现代科学前沿：理论与实践的交汇点本书汇集了当代数学、物理学、计算机科学和工程领域中一系列具有开创性和影响力的研究成果，旨在为读者提供一个跨越传统学科界限的综合视野。我们不再局限于对单一学科的深入挖掘，而是致力于展示不同领域知识体系如何相互渗透、相互启发，从而催生出解决复杂现实问题的全新工具和理论框架。本书的结构围绕着几个核心的交叉学科主题展开，每一个主题都代表着当前科学研究中最活跃、最具挑战性的方向。我们相信，真正的创新往往诞生于学科的交汇处，而非固守于既有的知识堡垒之内。第一部分：非线性动力学与复杂系统建模本部分聚焦于如何利用先进的数学工具来理解和预测自然界与人造系统中普遍存在的非线性现象。我们探讨了从湍流现象到生态系统演化，再到金融市场的波动性等一系列复杂系统的数学表征。第1章：高维混沌系统的拓扑分析本章深入研究了在高维相空间中，混沌系统的长期行为如何通过拓扑不变量来有效描述。我们引入了新的降维技术，特别是基于流形学习（Manifold Learning）的拓扑数据分析（TDA）方法，用以识别潜在的低维吸引子。重点讨论了庞加莱截面在高维空间中的推广及其在识别周期轨道和准周期运动中的应用。此外，我们还分析了随机扰动对系统稳定性的影响，并提出了基于信息论的混沌程度量化指标。这部分内容强调，理解复杂系统的关键在于识别其内在的几何结构，而非仅仅关注时间序列的数值。第2章：反应扩散方程组的自组织现象本章考察了涉及物质传输和化学反应的偏微分方程组（PDEs）。我们着重分析了图灵模式的形成机制，并将其应用到生物形态发生（Morphogenesis）的模拟中。研究涵盖了非均匀介质中的波传播，包括激波的形成与演化。通过数值模拟，我们展示了边界条件和反应速率常数如何决定最终的宏观结构，并讨论了如何利用谱方法（Spectral Methods）来精确求解这些高度非线性的问题。本章的数学工具主要依赖于泛函分析和变分原理，旨在揭示自下而上结构形成的基本法则。第3章：随机过程在金融衍生品定价中的新视角超越传统的布莱克-斯科尔斯模型，本章探讨了更具现实意义的随机模型。我们详细分析了跳过程（Jump-Diffusion Processes）在捕捉市场突变方面的优势，并引入了分数布朗运动（Fractional Brownian Motion）来描述长期记忆效应。算法方面，重点介绍了一种结合蒙特卡洛模拟和有限元法的混合定价策略，用于处理路径依赖性期权。本章的理论核心在于随机微积分的推广，特别是伊藤积分在非光滑环境下的应用。第二部分：计算数学与大规模数据分析随着数据量的爆炸性增长，开发高效、可扩展的计算算法成为科学进步的关键。本部分关注算法设计、数值稳定性以及如何从海量数据中提取有意义的结构。第4章：基于张量分解的高阶数据降维传统的矩阵方法在处理多维数组（张量）时存在局限性。本章系统地介绍了CP分解（CANDECOMP/PARAFAC）和Tucker分解在处理高光谱图像、多模态生物医学数据中的应用。我们提出了新的交替最小二乘法（ALS）的加速版本，并探讨了如何在非凸优化框架下保证收敛性和稀疏性。此外，本章还涉及张量网络状态（Tensor Network States）在模拟量子多体系统中的效率优势。第5章：稀疏优化与压缩感知理论的最新进展本章从信息论的角度重新审视了信号重构问题。我们详细阐述了$l_1$范数最小化（Basis Pursuit）的数学基础，并将其推广到具有结构约束（如群稀疏性或分块稀疏性）的场景。在算法层面，我们比较了迭代阈值算法（ISTA/FISTA）与基于牛顿法的内点法在求解大规模稀疏回归问题时的性能差异。本章的实践应用聚焦于医学成像（如MRI重建）中的数据采集效率提升。第6章：可解释性机器学习中的几何方法面对深度学习模型的“黑箱”特性，本章致力于构建能够揭示决策过程的数学工具。我们利用微分几何的概念，如黎曼曲率和测地线，来分析高维特征空间中决策边界的局部几何性质。研究了特征重要性评估的鲁棒性度量，特别是基于 Shapley 值和影响函数的方法。目标是为模型验证和调试提供严格的数学基础，确保模型不仅预测准确，而且逻辑可追溯。第三部分：拓扑学与物理现象的统一描述本部分探索了拓扑概念如何超越传统的几何范畴，成为描述物理系统基本性质的有力语言。第7章：拓扑绝缘体与边界模式的理论本章探讨了凝聚态物理中的前沿领域——拓扑物态。我们引入了贝里相位（Berry Phase）和陈类（Chern Classes）的概念，用以区分不同拓扑性质的材料。重点分析了受时间反演对称性保护的拓扑非平庸相，以及在这些材料的边缘或界面处必然出现的受保护的无能隙（gapless）模式。这部分内容要求读者具备扎实的线性代数和基础量子力学知识，但我们力求清晰地展示拓扑不变量在分类物理相方面的威力。第8章：低维拓扑场论与量子信息本章连接了抽象的代数拓扑与新兴的量子计算领域。我们研究了基于拓扑量子纠错码（TQEC）的容错计算方案，特别是Kitaev模型的实现。通过对局域哈密顿量的分析，我们展示了拓扑激发（如任意子/Anyons）如何编码量子信息，并因其对局部噪声的固有鲁棒性而具有巨大潜力。本章的数学工具来源于同调论和纽结理论在物理学中的应用。结语本书旨在提供一个跨越学科鸿沟的知识平台，展示当代应用数学家和理论物理学家如何运用创造性的数学框架来解决现实世界中最棘手的问题。内容深度和广度兼具，适合研究生、研究人员以及希望拓宽视野的专业人士阅读。每章都包含了关键的理论证明和前沿的计算实例，以期激发读者在各自领域内进行更具原创性的探索。