The Lebesgue-stieltjes Integral pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Carter, M./ Van Brunt, B.

出品人:

页数:239

译者:

出版时间:2000-5

价格:$ 90.34

装帧:HRD

isbn号码:9780387950129

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

金融数学
Lebesgue-Stieltjes Integral
Real Analysis
Measure Theory
Integration
Functional Analysis
Mathematics
Advanced Mathematics
Probability Theory
Stochastic Processes
Mathematical Analysis

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具体描述

While mathematics students generally meet the Riemann integral early in their undergraduate studies, those whose interests lie more in the direction of applied mathematics will probably find themselves needing to use the Lebesgue or Lebesgue-Stieltjes Integral before they have acquired the necessary theoretical background. This book is aimed at exactly this group of readers. The authors introduce the Lebesgue-Stieltjes integral on the real line as a natural extension of the Riemann integral, making the treatment as practical as possible. They discuss the evaluation of Lebesgue-Stieltjes integrals in detail, as well as the standard convergence theorems, and conclude with a brief discussion of multivariate integrals and surveys of L spaces plus some applications. The whole is rounded off with exercises that extend and illustrate the theory, as well as providing practice in the techniques.

泛函分析与测度论基础：收敛性、完备性与拓扑结构本书旨在为读者构建一个坚实的泛函分析与现代测度论的理论基础，重点探讨涉及函数空间、算子理论以及拓扑结构下的收敛性与完备性问题。内容编排力求严谨与直观并重，引导读者深入理解这些现代数学分支的核心概念与深层联系。第一部分：测度空间的构造与基础本书从集合论的预备知识出发，系统地回顾了 $sigma$-代数、外测度以及勒贝格测度的构造过程。我们着重分析了测度空间的完备性概念，并引入了Carathéodory外测度扩张定理，阐述了如何从基础的拓扑结构（如度量空间）自然地构造出可测空间。可测函数与积分的推广：在定义了测度空间之后，核心工作转向对可测函数的刻画。我们详细讨论了简单函数逼近定理，这是构建积分理论的基石。随后，本书严格定义了勒贝格可积函数的空间 $L^p(mu)$，并重点分析了这些空间作为向量空间的基本性质。积分的收敛性定理：积分理论的强大之处在于其处理极限过程的能力。本书深入剖析了支配收敛定理（DCT）、单调收敛定理（MCT）以及法图勒引理（Fatou's Lemma）的条件、应用与证明技巧。这些定理是分析傅立叶级数、概率论中随机变量期望计算以及PDE理论中的关键工具。第二部分：函数空间的结构与完备性本部分将视角从单个测度空间扩展到函数空间的整体结构，着重探讨赋予范数或内积后的拓扑性质，特别是完备性的概念。 $L^p$ 空间的几何结构：详细分析了 $L^p(mu)$ 空间作为巴拿赫空间的性质。对于 $p=2$ 的情况，我们着重研究了希尔伯特空间 $mathrm{L}^2$ 的结构，包括内积的定义、正交性概念以及Riesz表示定理在 $mathrm{L}^2$ 上的具体体现。算子与有界线性映射：在函数空间上，算子是描述变换和微分作用的工具。本书引入了有界线性算子的概念，并利用Hahn-Banach定理探讨了函数空间中线性泛函的延拓问题，这对于理解对偶空间至关重要。完备性与Baire范畴定理：完备性是泛函分析的核心。我们不仅关注了 $L^p$ 空间的完备性，还探讨了更一般的拓扑向量空间。Baire 范畴定理作为一种强大的拓扑工具，被用来证明一些关键的收敛性结果，例如连续算子或有界函数的性质。第三部分：拓扑与收敛的精细分析为了处理更复杂的收敛模式（如弱收敛），我们需要引入更精细的拓扑概念。本部分侧重于在函数空间中定义并分析不同的收敛拓扑。弱收敛与对偶空间：对于 $L^p$ 空间（特别是 $p>1$），我们将精确地构造其连续对偶空间。我们利用Riesz表示定理（针对 $mathrm{L}^p$ 空间），清晰地展示了对偶空间与另一个 $L^q$ 空间之间的等距同构关系。弱收敛的引入，允许我们在不要求函数逐点收敛或范数收敛的情况下，仍然能保证算子作用结果的极限存在。紧算子的性质：紧算子是泛函分析中研究谱理论的桥梁。本书讨论了在有限维空间中，紧算子与有限秩算子的等价性。在无限维空间中，我们分析了将有界集映为相对紧集的算子，并探讨了紧算子集合的拓扑性质。连续性与极限的交换：泛函分析的许多应用都依赖于交换积分与极限、微分与极限的过程。本书通过探讨积分算子和微分算子，结合前述的收敛定理，对这些交换条件的充分必要性进行了深入的辨析。例如，Dirichlet核的性质以及其在三角级数收敛中的应用会被作为一个具体案例来分析。第四部分：度量空间上的拓扑与收敛性虽然本书的基础基于测度论，但我们通过引入度量空间的概念，将理论拓展到更一般的拓扑设置中，特别关注函数空间的度量结构。等度连续性与Ascoli定理： Ascoli-Arzela 定理是证明函数族紧性的关键工具。本书将详细阐述等度连续性的定义及其在函数空间中的重要性。我们通过具体的例子（如常微分方程解的存在性证明）来展示 Ascoli 定理的威力。可分性与可数紧致性：函数空间的度量性质决定了其拓扑性质。本书讨论了可分性（即存在稠密的有理点集）的概念，并将其与函数空间（如 $C[a, b]$ 或 $L^p$ 空间）中的紧致性概念联系起来，为进一步研究函数族的性质奠定基础。全书贯穿了对证明的严谨性要求，同时辅以大量的例子和应用背景，旨在帮助读者从根本上理解泛函分析和现代测度论是如何协同作用，共同构建起现代数学分析的强大框架。