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出版者:Springer

作者:Masaki Kashiwara

出品人:

頁數:498

译者:

出版時間:2005-12-1

價格:USD 119.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540279495

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 代數拓撲
• 範疇論
• 層論
• 同調代數
• 數學基礎
• 抽象代數
• 拓撲學
• 高等數學
• 數學教材

《空間幾何與拓撲結構：從歐幾裏得到高維流形》 本書簡介 本書深入探討瞭現代幾何學和拓撲學的核心概念，旨在為讀者構建一個從基礎的歐幾裏得空間直觀理解，逐步過渡到抽象的高維流形理論的完整知識體係。我們摒棄瞭過於側重代數抽象而忽視幾何直觀的傳統敘述方式，轉而采用一種以具體實例和可視化構建為基礎的教學方法，使讀者能夠更深刻地把握這些深奧概念背後的物理和空間意義。 第一部分：歐幾裏得空間的幾何基礎與度量 本書伊始，我們將重溫並深化對歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 的理解。這不僅僅是對勾股定理和綫性代數的簡單迴顧，而是從度量空間的角度重新審視距離、角度和體積的定義。 1.1 範數、內積與幾何結構： 我們將詳細分析不同的範數（如 $L^p$ 範數）如何影響我們對“大小”和“距離”的感知，並建立內積空間與幾何直觀之間的橋梁。重點討論正交性在坐標變換和投影中的關鍵作用。 1.2 測地綫與變分法初步： 在平坦空間中，最短路徑是直綫。我們將引入變分原理，探討如何利用泛函的極值來定義測地綫。雖然我們尚未進入黎曼幾何，但此處的鋪墊對於理解彎麯空間中的“直綫”至關重要。我們將用簡單的物理模型（如拉緊的繩子）來直觀闡釋最小作用量原理在確定幾何路徑中的地位。 1.3 凸幾何與支撐函數： 凸集在分析和優化中扮演核心角色。本章將探討凸包、支撐函數以及Minkowski和Hadamard不等式在幾何不等式中的應用，為後續討論微分流形上的麯率提供一個零麯率的基準。 第二部分：拓撲學的直覺構建與基礎概念 拓撲學，通常被稱為“橡皮泥幾何學”，關注的是在連續形變下保持不變的性質。本書緻力於在不依賴復雜集閤論工具的前提下，建立起對拓撲空間的直觀認識。 2.1 拓撲空間的引入： 我們將從開集、閉集和鄰域的直觀概念齣發，逐步定義拓撲結構。重點比較不同拓撲（如子空間拓撲、商拓撲）對空間性質的影響。我們將用三維圖形（如咖啡杯與甜甜圈）來說明同胚的概念，強調其不變量（如連通性、虧格）。 2.2 連通性與緊緻性： 連通性和緊緻性是兩個最核心的拓撲不變量。我們不僅會給齣定義，還會通過反例（如包含不可數個不相交區間的集閤）來展示它們在直覺上與封閉性和有界性的區彆。緊緻性將被解讀為“任何開覆蓋都存在有限子覆蓋”的性質，並論證其在函數分析中作為保證連續函數達到極值的關鍵。 2.3 連續函數與函子： 連續函數是連接不同拓撲空間的橋梁。本章將介紹如何利用連續函數來“拉伸”或“壓縮”空間，同時保持其拓撲結構的基本特徵。此外，我們會引入函子（Functor）的初步概念，將其視為在不同幾何或拓撲“範疇”之間進行結構保持的映射。 第三部分：從拓撲到微分：流形的誕生 微分幾何是連接分析學和幾何學的橋梁。本書將“流形”的引入視為對“光滑”的拓撲空間的精確數學描述。 3.1 局部歐幾裏得性與圖冊： 我們將把流形概念視為一種“局部看起來像歐幾裏得空間”的對象。通過詳盡地討論二維球麵、圓柱麵和環麵，我們解釋什麼是坐標卡（Chart）以及如何通過一個光滑的圖冊（Atlas）將這些局部視圖粘閤在一起。 3.2 結構方程：切空間與切叢： 切空間是微分幾何的核心工具，它描述瞭流形上某一點“可能的方嚮”。我們使用嚮量場和麯綫的導數來構造切空間，而非直接依賴於嵌入空間。隨後，我們將概念提升至切叢，將其描述為所有切空間的集閤，是研究流形上矢量分析的必要背景。 3.3 嚮量場、流與微分同胚： 嚮量場在流形上定義瞭微分方程的“速度場”。我們將探討由嚮量場産生的流（Flow），即在流形上沿嚮量場方嚮移動的軌跡。這種動態觀點為理解微分同胚（比同胚更嚴格的光滑映射）提供瞭直觀的視角。 第四部分：麯率的幾何錶達 麯率是衡量空間偏離平坦性的量度。本書將緻力於從切空間的角度解析麯率的幾何含義。 4.1 切綫空間的度量與黎曼度量： 在流形上，我們需要一個定義距離和角度的工具，即黎曼度量 $g$。我們將展示，一個度量張量如何在每個切空間中定義一個內積，從而使流形成為一個“可測量的”空間。 4.2 測地麯率與法嚮量： 在二維麯麵上，我們可以直觀地定義麯率。我們將分析沿著麯綫的法嚮量如何隨麯綫移動，從而産生測地麯率。然後，我們會將此概念推廣到高維空間，但側重於其在麯麵上的幾何解釋。 4.3 黎曼麯率張量： 這是衡量空間非平坦性的核心代數對象。我們將從兩個相鄰的平行移動嚮量的“不閉閤”性來直觀理解麯率張量的物理意義——它量化瞭空間中平行移動的嚮量如何隨著路徑的改變而鏇轉或扭麯。 結語：從局部到整體的幾何洞察 本書的敘事結構旨在引導讀者，通過對歐幾裏得空間和拓撲空間的堅實理解，最終領悟到黎曼流形在局部具有的微分結構，以及麯率張量如何在代數上編碼瞭空間的整體彎麯特性。本書聚焦於幾何直覺的培養，而非繁復的計算技巧，為後續深入研究廣義相對論、微分拓撲或代數幾何打下堅實的基礎。

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