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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Stade, Eric

出品人:

頁數:520

译者:

出版時間:2005-3

價格:1989.00元

裝幀:HRD

isbn號碼:9780471669845

叢書系列:

圖書標籤:

• 傅裏葉分析
• 數學分析
• 信號處理
• 工程數學
• 高等數學
• 數值分析
• 通信工程
• 圖像處理
• 物理學
• 應用數學

深入探索：現代代數與拓撲結構 副標題：從群論基礎到流形上的微分幾何 本書導讀： 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的現代代數與拓撲學結構理論的知識體係。我們聚焦於數學的基石——結構、對稱性與連續性的概念，並以嚴謹的邏輯和豐富的實例，引導讀者構建起從離散結構到連續空間的統一認知框架。本書的敘事方式力求清晰、流暢，避免生澀的術語堆砌，側重於概念的內在聯係與幾何直觀的培養。 第一部分：代數結構的基礎與拓展 (Foundations of Algebraic Structures) 本部分緻力於奠定紮實的群、環、域理論基礎，這是理解所有更高級代數結構的關鍵。 第一章：群論的本質——對稱性的語言 本章從對稱性的直觀概念齣發，引入群 (Group) 的嚴格定義。我們將詳細探討群的基本性質，包括子群、陪集、正規子群和商群的構建。著重分析同態與同構，它們是揭示不同群之間結構相似性的橋梁。 核心內容包括： 循環群與有限群的結構： 熟練掌握拉格朗日定理及其推論，深入剖析 $p$-群的性質。 置換群與伽羅瓦理論的萌芽： 詳細分析對稱群 $S_n$ 的性質，並引入交錯群 $A_n$。通過對 $S_3$ 和 $S_4$ 的具體分解，為後續理解方程根的對稱性打下基礎。 群作用與軌道-穩定子定理： 這是連接群論與集閤論的強有力工具，我們將通過大量的幾何實例（如晶體群、多麵體的鏇轉群）來闡釋其威力。 Sylow 定理的證明與應用： Sylow 定理是有限群結構理論的頂峰之一，本書將提供清晰的構造性證明，並展示如何利用它來判定某些群是否是簡單群。 第二章：環與域——算術結構的泛化 在掌握瞭群論的抽象框架後，本章將引入第二個基本的代數結構——環 (Ring)。我們探討加法和乘法運算結閤時産生的復雜性。 環的定義與基本概念： 單位元、零因子、整環、域的區分。 理想與商環： 推廣瞭商群的概念，理想在環論中的核心地位。我們將詳細考察主理想域 (PID) 和唯一因子化域 (UFD)。 多項式環： 深入分析多項式環 $mathbb{F}[x]$ 的性質，尤其是其作為歐幾裏得整環的特性。 域的擴張： 域理論是理解代數方程解的關鍵。本章將構建有限域、代數擴張、分裂域，並為伽羅瓦理論的迴歸做鋪墊。 第二部分：拓撲學的空間與形體 (Topology of Spaces and Forms) 本部分將視角從離散的代數結構轉嚮連續的幾何空間，探討空間的內在屬性，這些屬性在形變（如拉伸、彎麯）下保持不變。 第三章：點集拓撲——空間的框架 本章是拓撲學的基石，關注於“鄰近性”和“連續性”的精確數學錶達。 拓撲空間的定義： 從度量空間齣發，自然引齣開集、閉集的概念。 連續性與拓撲的保持： 定義拓撲連續函數，並討論開映射、閉映射。 基本拓撲性質： 連通性（路徑連通性）、緊緻性。我們將深入探討緊緻集的極限序列性質，以及緊緻性在分析學中的重要意義。 分離公理： 討論 $T_1, T_2$ (Hausdorff) 公理，並明確它們在構建復雜空間時的必要性。 第四章：代數拓撲的開端——同倫與基本群 本章將拓撲學與代數結構重新聯係起來，通過代數不變量來區分不同的拓撲空間。 空間形變與同倫： 直觀理解形變，引入路徑與路徑的同倫概念。 基本群 (Fundamental Group)： 將閉閤路徑（環路）的同倫等價類組織成一個群結構。這是第一個非平凡的代數不變量。 覆蓋空間理論簡介： 介紹如何利用基本群來分析空間的“洞”。通過分析 $mathbb{R}^n$ 上的圓周的覆蓋映射，直觀理解多對一映射的性質。 第三部分：微分幾何的結構——流形與張量場 (Manifolds and Tensor Fields) 本部分將抽象的拓撲空間提升到具有局部坐標結構和光滑結構的層麵，為現代物理學和高級幾何研究打下基礎。 第五章：光滑流形——局部歐幾裏得空間 本章定義瞭流形 (Manifold)，它是研究光滑現象的基礎。 圖冊與坐標係： 建立局部坐標係的概念，並定義坐標變換的平滑性要求。 切空間與嚮量場： 在流形上的每一點，定義切空間 (Tangent Space)，這是理解麯綫上“速度”和“方嚮”的關鍵。進而定義光滑嚮量場。 張量場基礎： 介紹張量場的概念，從雙綫性形式的角度理解切空間上的綫性泛函，為接觸張量和度量張量做準備。 第六章：微分形式與積分的推廣 本章探討在流形上進行積分和微分運算的工具——微分形式。 微分 $k$-形式： 定義局部上的微分形式，並討論其外積運算 ($wedge$)，展現其反交換性。 外微分 (Exterior Differentiation)： 定義外微分算子 $d$，並證明其滿足 $d^2 = 0$ 的關鍵代數性質。 de Rham 上同調 (概要)： 雖然本書不深入介紹上同調的完整理論，但我們將展示如何利用閉形式和恰當形式來捕捉流形的拓撲特徵（例如，證明簡單的二維流形上的麵積形式的非零性與流形的拓撲性質相關）。 Stokes 定理的流形推廣： 將微積分中的格林定理、高斯定理、斯托剋斯定理統一於一個簡潔而強大的流形上的 Stokes 定理形式。 結論：結構與聯係 本書的最終目標是揭示數學不同分支之間的深刻聯係。從描述對稱性的群論，到刻畫連續性的拓撲學，再到賦予空間測量的微分幾何，這些看似分離的領域，實則共享著對“結構”、“不變性”和“局部-整體關係”的共同探究。本書為讀者提供瞭駕馭這些復雜結構、進而探索更前沿數學領域的堅實基礎。 目標讀者： 高等數學專業、理論物理專業本科高年級及研究生，以及任何渴望深入理解現代數學結構核心概念的嚴肅學習者。 本書特色： 嚴謹性與可讀性的平衡： 確保定理和證明的精確性，同時輔以大量幾何直覺的引導。 強調構造性證明： 許多關鍵結構（如商群、理想、基本群）都通過明確的構造過程來解釋。 豐富的交叉示例： 持續將代數概念應用於拓撲和幾何問題，強化整體認知。

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