Schaum's Outline of General Topology

出版者:McGraw-Hill

作者:Seymour Lipschutz

页数:256

出版时间:1968-06-01

价格:USD 18.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780070379886

丛书系列:Schaum's Outlines

具体描述

With more than 30 million copies sold, Schaum's are the most popular study guide on the planet. Mathematics students around the world turn to this clear and complete guide to general topology for its through introduction to the subject, including easy-to-follow explanations of topology of the line and plane and topological spaces. With 650 fully solved problems and hundreds more to solve on your own (with answers supplied), this guide can help you spend less time studying while you make better grades!

用户评价

这本书给我最大的启发在于，它将看似不相关的数学概念，通过拓扑学的语言联系了起来。我一直对“流形”这个概念很感兴趣，而这本书中对“局部欧几里得空间”的讨论，以及如何通过“图册”的概念来构建流形，让我对此有了更深入的理解。它解释了为什么那些看似光滑的曲面，在局部来看，都可以被“展平”成欧几里得空间的一部分，并且这些“展平”的方式是连续且可逆的。这种“局部平坦”的特性，是理解更复杂的几何对象，如球面、环面等的基础。书中对于“局部性质”和“整体性质”的区分，也给我留下了深刻的印象。一些在局部成立的性质，并不一定会在整体上成立，反之亦然。如何在这种局部与整体的转换中保持数学的严谨性，是拓扑学一个非常核心的问题。

这本书在讲解“分离公理”时，循序渐进，由浅入深。从最基础的T0空间，到T1空间，再到更强的T2（豪斯多夫）空间，它清晰地勾勒出了不同空间在“可区分性”上的差异。我特别喜欢书中在介绍这些公理时，会给出很多不同类型的空间作为例子，例如实数集上的标准拓扑、离散拓扑、不可数集合上的齐次拓扑等等。通过比较这些例子，我能够更直观地理解不同分离公理的意义，以及它们对拓扑空间性质的影响。例如，一个空间是豪斯多夫空间，意味着任意两个不同的点都存在不相交的邻域，这保证了空间的“分离性”。这种严谨而细致的讲解，让我能够清晰地认识到，即使是“点”的概念，在不同的拓扑结构下，也会有不同的“表现”和“行为”。

这本书在构建一般拓扑学的理论框架时，展现了极高的专业性和系统性。它从最基础的集合论概念出发，一步步引申出拓扑空间的定义，并且围绕着这个核心概念，详细介绍了各种重要的拓扑性质，例如连通性、紧致性、分离公理等等。我尤其欣赏书中在介绍这些性质时，不仅给出了严格的数学定义，还配以大量的例子和反例，帮助读者深入理解每个性质的内涵和外延。例如，在讨论分离公理时，书中详细阐述了T0、T1、T2（豪斯多夫空间）等不同分离公理的层级关系，以及它们在不同类型的拓扑空间中的体现，这让我对不同空间之间的“区别度”有了更清晰的认识。此外，书中对于“紧致性”的讨论也给我留下了深刻的印象。它不仅介绍了开覆盖的定义，还详细阐述了 Heine-Borel 定理等重要结论，以及紧致性在其他数学领域中的重要作用，例如在分析学中，紧致集上的连续函数是有界的且能够达到其界。这种将抽象概念与具体应用相结合的讲解方式，极大地提升了我学习的兴趣和效率。

对于我这样一个对数学理论充满热情但又并非专业背景的读者来说，这本书提供了一个非常好的入门路径。它并没有一开始就抛出过于复杂的概念，而是从最基本的“集合”出发，逐步构建起“拓扑”的概念。我最开始接触拓扑学，往往是从几何直观开始，比如形变，但是这本书将我带到了一个更纯粹的数学层面，通过集合的开集结构来定义“邻近”和“连续”。这让我摆脱了对具体形状的依赖，理解了拓扑学更本质的意义。书中对“度量空间”和“拓扑空间”之间的联系也进行了深入的探讨，这对于我理解一些分析学中的概念非常重要。例如，书中对完备性、一致空间的讨论，都为我理解更高级的数学理论打下了基础。我特别喜欢书中对于“同胚”概念的阐述，它不仅仅是简单的“变形”，而是保持了拓扑结构的保持，这种保持是理解两个空间是否“本质相同”的关键。

这本书的封面设计虽然朴实无华，但当你翻开第一页，扑面而来的就是一种严谨而深刻的气息。我一直对拓扑学这个领域充满了好奇，尤其是“一般拓扑”这个概念，感觉它就像是数学世界中的一个基础框架，试图为各种不同的数学结构提供一个统一的语言和视角。在接触这本书之前，我脑海中的拓扑学可能还停留在那些形象化的例子，比如咖啡杯和甜甜圈的等价性，但这本书显然远不止于此。它不仅仅是关于形状和空间的变形，更深入地探讨了集合论的语言如何构建起更抽象、更普适的“空间”概念。从开集、闭集、邻域这些最基本的概念入手，作者逐步构建起一个严密的理论体系。我特别喜欢它在解释某些概念时，会引用一些经典例子，然后又超越这些例子，展现出拓扑学更广泛的应用。例如，在讲稠密集的时候，它不仅仅是给出定义，还会联系到实数集在实数线上的稠密性，以及在更一般的度量空间中稠密性的概念。这种层层递进的解释方式，让我在理解抽象概念的同时，也能感受到数学的逻辑之美。它让我意识到，拓扑学并非空中楼阁，而是建立在扎实的集合论基础之上，并且能够延伸到几乎所有数学分支。

这本书在数学符号的运用和逻辑的构建上，都体现了极高的专业水准。它所使用的符号系统非常规范，并且在初次出现时都有详细的解释。我特别喜欢书中在引入“极限点”、“聚点”等概念时，是如何从“邻域”和“交集”的角度进行阐述的。这些概念是理解“收敛”和“连续性”的基础，而书中通过对这些基本概念的精准定义，为后续更复杂的理论奠定了坚实的基础。例如，一个点是序列的极限点，并不意味着序列收敛到该点，除非我们是在度量空间中。而拓扑学则提供了一个更一般的框架来讨论“接近”的概念，不依赖于具体的度量。这种抽象化和普适性的处理方式，让我对数学的本质有了更深的认识，也为我未来学习更高级的数学领域打下了坚实的基础。

在阅读这本书的过程中，我深刻体会到了数学的严谨性不仅仅体现在公式的推导，更体现在对每一个基本概念的精确定义和对它们之间相互关系的清晰阐释。本书对于“紧致性”的讲解，便是一个绝佳的例子。它从开覆盖的定义出发，逐步引申出紧致空间的性质，并且用一系列定理来揭示其重要性，比如紧致集到豪斯多夫空间上的连续映射是闭的。我尤其喜欢书中对“紧致性”与“完备性”之间联系的讨论，以及它们在不同类型空间中的表现。例如，在度量空间中，紧致性蕴含完备性，而完备性并不一定蕴含紧致性。这些细微的差别，恰恰是数学魅力的所在，也是这本书在教学上的成功之处。它不仅仅是告诉你“是什么”，更是告诉你“为什么是这样”，以及“它有什么用”。

这本书在拓扑学的概念解释上，力求做到严谨而清晰，即使是对于一些非常抽象的定义，作者也尽量给出直观的理解方式，并辅以丰富的例子。我特别关注书中对于“商空间”的构建过程。这是一个非常重要的概念，它允许我们通过“等价关系”来“粘合”或“划分”一个已有的拓扑空间，从而构造出新的拓扑空间。这个过程本身就充满了数学的创造性。书中对于如何确定商空间的拓扑结构，以及商空间的一些基本性质，都有详尽的阐述。例如，如何判断商映射的连续性，以及商空间的连通性、紧致性是否会继承自原始空间，这些都是非常值得反复琢磨的细节。通过对商空间的学习，我能够更好地理解一些数学对象是如何从更复杂的结构中“简化”或“抽象”出来的，这在很多数学领域都有着广泛的应用，比如在群论和几何学中。

这本书给我最大的感受是，它不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的导师，循循善诱地引导着我对一般拓扑学进行探索。我尝试着按照书中的章节顺序，一个概念一个概念地去理解和消化。一开始，我被一些抽象的定义和定理弄得有些眼花缭乱，比如“拓扑空间”、“开集”、“闭集”这些基本概念，它们虽然看似简单，但其背后的严谨定义和性质却需要仔细推敲。我花了大量时间去理解“开集”的定义，以及由开集生成的拓扑结构是如何影响空间性质的。书中提供的许多例题，让我有机会将理论知识应用于实际的数学问题中，这对于巩固理解至关重要。我记得在学习“连续映射”这一章节时，书中详细阐述了不同等价定义之间的联系，比如通过开集、闭集、逆像来定义连续性，这让我深刻体会到数学中概念的精炼和深刻。此外，书中的练习题也很有挑战性，它们不仅检验了我对基本概念的掌握程度，更重要的是，很多题目都引导我去思考更深层次的问题，激发了我对拓扑学更多潜力的探索。

这本书对于“连接性”的探讨，让我对空间的“整体性”有了更深刻的理解。它不仅仅是讨论一个空间是否“连通”，而是引入了“路径连通”、“局部连通”等更精细的概念。我尤其对书中关于“局部连通”的讨论印象深刻。一个局部连通的空间，意味着它的每个点都有一个连通的邻域基。这在很多几何和分析的应用中都非常重要，比如我们熟悉的实数线就是局部连通的。书中也讨论了连通性在拓扑映射下的保持性，即如果一个拓扑空间是连通的，那么通过一个连续映射到达另一个拓扑空间，目标空间也一定是连通的。这种对“连通性”的细致分析，让我能够更精确地描述和理解不同数学对象的“粘合”程度和“整体结构”。