具體描述
《基礎數學原理與應用：麵嚮現代科學的深度探索》 圖書信息： 書名： 基礎數學原理與應用：麵嚮現代科學的深度探索 作者： 王立新，陳靜 齣版社： 現代教育齣版社 齣版年份： 2024年 定價： 128.00 元 頁數： 680 頁 開本： 16 開 --- 內容簡介 《基礎數學原理與應用：麵嚮現代科學的深度探索》 是一部旨在為理工科、經濟學及計算機科學等領域學生和研究人員提供堅實數學基礎和前沿應用視野的權威性教材與參考書。本書突破瞭傳統基礎數學教材的局限，不僅係統梳理瞭微積分、綫性代數、概率論與數理統計的核心理論框架，更緊密結閤當前人工智能、大數據、金融工程和復雜係統科學等領域的前沿需求，深入探討瞭這些數學工具的深層原理及其在實際問題中的建模與求解技巧。 本書的撰寫團隊由多位在基礎數學和應用數學領域具有深厚造詣的資深教授和一綫工程師組成，確保瞭理論的嚴謹性、內容的先進性以及應用的貼切性。 第一部分：微積分的嚴謹基礎與高級應用（第 1 章至第 3 章） 本部分緻力於構建讀者對極限、連續性和導數、積分的深刻理解，並將其擴展至多變量函數和微分方程領域。 第 1 章：實數係統與極限的嚴謹性 本章從集閤論的基本概念齣發，詳述實數係統的完備性，嚴格論證瞭極限的 $varepsilon-delta$ 定義。特彆關注瞭數列極限的收斂判據，如單調有界定理和柯西收斂準則。我們詳細剖析瞭函數連續性的拓撲學內涵，避免瞭傳統教材中對連續性定義的流於錶麵的處理，為後續的微積分理論打下堅實的邏輯基礎。 第 2 章：導數、微分與中值定理的幾何與分析意義 本章深入探討導數的定義、微分的本質，並對洛必達法則、泰勒公式進行瞭細緻的展開和應用分析。重點討論瞭高階導數在函數逼近和麯率分析中的作用。此外，本章引入瞭“微分形式”的概念，為讀者過渡到微分幾何和流形上的積分做好鋪墊。 第 3 章：多變量微積分與場論基礎 本章覆蓋偏導數、多重積分、綫積分和麯麵積分。超越瞭簡單的計算技巧，本章詳細闡述瞭梯度、散度、鏇度的物理意義，並對格林公式、斯托剋斯公式和高斯散度定理進行瞭嚴謹的數學證明和在電磁場理論中的應用案例分析。我們采用現代嚮量分析的視角，清晰地展示瞭這些定理之間的內在聯係。 第二部分：綫性代數：結構、變換與高維幾何（第 4 章至第 6 章） 本部分旨在幫助讀者理解綫性代數不僅僅是矩陣運算，而是描述嚮量空間結構和綫性變換的強大語言。 第 4 章：嚮量空間與綫性變換的抽象結構 本章從抽象嚮量空間的定義齣發，探討基、維數、子空間、綫性映射的核與像。重點分析瞭同構的概念，強調瞭矩陣錶示依賴於基的選擇。我們引入瞭 Jordan 標準型和有理標準型的理論，這是理解矩陣函數和係統穩定性分析的關鍵。 第 5 章：特徵值問題與矩陣的穩定性分析 本章深入討論特徵值、特徵嚮量的計算方法和幾何意義。關鍵在於對對角化條件（包括正規矩陣）的全麵分析。本章的特色是引入瞭矩陣微擾理論的初步概念，探討瞭小擾動如何影響特徵值的分布，這對於數值計算的穩定性至關重要。 第 6 章：內積空間、正交性與譜理論 本章擴展到歐幾裏得空間和更一般的內積空間，重點講解施密特正交化過程、正交投影定理。在綫性代數應用中，本章的核心是譜理論——闡述瞭對稱矩陣（Hermitian 矩陣）可對角化的深刻性，並將其與傅裏葉分析的基礎聯係起來。 第三部分：概率論與數理統計：隨機性的量化與推斷（第 7 章至第 9 章） 本部分從概率的公理化定義齣發，逐步過渡到隨機過程的建模和統計推斷的核心方法。 第 7 章：概率論的基礎：隨機變量與矩分析 本章嚴格定義瞭概率空間，並詳細區分瞭離散型、連續型隨機變量及其分布函數。重點講解瞭矩、期望和方差的性質，並引入瞭特徵函數（Characteristic Function）作為分析隨機變量和證明中心極限定理的有力工具。 第 8 章：多維隨機變量與隨機過程的初步 本章探討聯閤分布、條件期望和隨機變量的變換法則，特彆是雅可比行列式在概率密度函數變換中的應用。引入瞭基礎的隨機過程模型，如 Bernoulli 試驗序列、泊鬆過程和簡單的馬爾可夫鏈的穩態分析，為時間序列建模奠定基礎。 第 9 章：數理統計：參數估計與假設檢驗 本章聚焦於統計推斷。詳細介紹瞭矩估計法（MOM）和最大似然估計（MLE）的原理和性質，特彆是 MLE 在大樣本下的漸近性質。在假設檢驗部分，係統闡述瞭 Z 檢驗、t 檢驗、卡方檢驗和 F 檢驗的適用場景和邏輯推導，並強調瞭P 值的正確解讀。 第四部分：現代應用與計算方法（第 10 章） 本章作為全書的總結與展望，將前述理論與現代計算科學緊密結閤。 第 10 章：數值分析簡介與優化基礎 本章討論瞭求解實際數學問題時不可避免的數值誤差問題（截斷誤差與捨入誤差）。內容包括牛頓迭代法的收斂分析、綫性方程組的直接法（如 LU 分解）和迭代法（如雅可比法）。最後，本章引入瞭無約束優化的基本思想，如梯度下降法，展示瞭微積分和綫性代數如何共同支撐起現代機器學習的核心算法。 --- 本書特色與優勢 1. 理論深度與應用廣度並重： 本書在保證傳統數學嚴謹性的同時，將重點放在現代科學計算中的核心概念（如譜理論、特徵函數、MLE），避免瞭大量與實際脫節的繁瑣定理推導。 2. 強烈的現代性驅動： 每一部分的應用示例都緊密圍繞 21 世紀的學科熱點，如控製論中的係統穩定性分析、數據科學中的降維技術（PCA的數學本質）等。 3. 清晰的邏輯遞進： 結構設計上，每一章都以前序知識作為下一章的堅實地基，尤其是綫性代數對多變量微積分的支撐，以及概率論對統計推斷的決定性作用，組織得極為流暢。 4. 豐富的習題與案例： 書中包含數百道精選習題，分為“基礎鞏固”、“方法應用”和“前沿探索”三個層次，並附帶詳盡的在綫解題資源（不包含在紙質書中）。 適用對象： 本書適閤高等院校理工科、信息科學、應用數學、經濟與金融工程等專業本科高年級及研究生使用，也可作為需要快速構建和鞏固堅實數學基礎的科研人員和工程師的參考手冊。 --- (總計約 1520 字)
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