Analysis III. Funktionentheorie, Differentialgleichungen. pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Aula-Verlag GmbH

作者:Wolfgang Luh

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1994-01-31

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9783891045671

丛书系列:

图书标签:

数学
复分析
微分方程
高等数学
函数论
解析函数
常微分方程
偏微分方程
数学分析
工程数学

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具体描述

数学分析专题研习：代数拓扑与黎曼几何导论内容简介本书旨在为具备扎实微积分和线性代数基础的读者提供进入现代数学前沿领域的阶梯。聚焦于代数拓扑和黎曼几何两大核心分支，本书系统性地梳理了从经典分析向现代几何和抽象代数过渡的关键概念和技术。全书结构严谨，从基础的集合论和拓扑空间回顾开始，逐步深入到更为复杂的结构，旨在培养读者运用代数工具解决几何问题的能力，并理解微分几何在物理学中的深远影响。第一部分：拓扑空间的重访与基础代数工具的引入第一章：拓扑空间的结构与连续性本章首先对拓扑空间的概念进行严格的定义和细致的剖析，超越了欧几里得空间的基本框架。我们探讨了子空间拓扑、积拓扑和商拓扑的构造及其性质。特别关注了紧致性和连通性的概念，它们是现代分析中不可或缺的工具。紧致性的基本性质，例如紧子集的闭性和连续映射下的像的紧致性，将通过具体的例子和反例进行阐述。连通性部分，我们将引入路径连通性，并论证在 $mathbb{R}^n$ 中，路径连通性与连通性等价，同时指出在一般拓扑空间中这种等价性的失效。第二章：度量空间与完备性度量空间作为拓扑空间的一个特例，其上的距离概念为分析提供了丰富的工具。本章详细讨论了完备度量空间（巴拿赫空间）的概念，这是不动点定理（如巴拿赫不动点定理）成立的必要条件。我们深入研究了压缩映射原理的应用，并展示了它在证明微分方程解的存在性与唯一性中的经典作用。此外，本章还将引入可分性和可数紧性，并探讨它们与完备性之间的微妙关系。第三章：基础代数结构：群、环与域的复习代数拓扑的本质在于使用代数结构来区分拓扑空间。本章作为必要的铺垫，对抽象代数中的核心概念进行回顾，重点放在群论上。我们复习了子群、同态、同构、正规子群和商群的概念。特别是，规范地介绍了自由群和陪集空间（商集）的构造。这些代数工具将直接应用于后续章节中构造基本群和同调群。此外，对环和域的基本性质的简要回顾，也为理解切丛上的张量代数提供了背景知识。第二部分：代数拓扑学的核心——基本群与同调论的开端第四章：基本群：路径依赖的洞察基本群是第一个可以量化“洞”的代数不变量。本章从环路（loops）和同伦（homotopies）的严格定义开始，构造了映射 $pi_1(X, x_0)$。我们证明了基本群是一个群，并且它与基点的选择无关（对于路径连通空间）。通过计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，读者将清晰地看到代数工具如何揭示拓扑空间的内在结构。本章还将介绍覆盖空间（Covering Spaces）的概念，并利用覆盖映射的性质来更深入地分析基本群的结构，特别是单连通性的判定。第五章：同调群的直观构建与辛尼特定理尽管基本群强大，但其非交换性使其计算往往非常困难。本章引入了更具操作性的不变量——链复形和同调群。我们从最简单的情形——单体复形（Simplicial Complexes）出发，定义了链群 $C_n(K)$、边界算子 $partial_n$ 以及同调群 $H_n(K) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。辛尼特定理（Simplicial Homology Theorem）的描述，将明确说明如何从组合结构计算出拓扑不变量。对欧拉示性数的推导，将把代数运算的结果与几何直觉联系起来。第六章：同伦等价与拓扑不变量的局限性在这一章中，我们将探索拓扑空间的分类问题。通过定义同伦等价（Homotopy Equivalence），我们界定了一类可以在拓扑意义下被视为“相同”的空间。本章讨论了基本群和同调群作为拓扑不变量的性质，即它们在同伦等价下保持不变。然而，我们也会展示这些不变量的局限性，指出同伦等价与同胚之间的区别，并引入更精细的不变量（如纤维丛理论的初步概念）来区分那些具有相同同调群但拓扑结构不同的空间。第三部分：微分几何的基石——流形与张量分析第七章：微分流形的构造微分几何的舞台是微分流形。本章细致地定义了微分流形的概念，即局部具有欧几里得结构，且坐标变换是光滑的拓扑空间。重点讨论了光滑性（C度可微性）的定义，以及在不同坐标系之间进行光滑映射的条件。我们将构造一些基本流形，如球面 $S^n$ 和环面 $T^2$，并探讨嵌入（Imbedding）的概念。第八章：切空间与张量场流形上的分析依赖于局部的线性化工具。本章引入切空间 $T_p M$ 作为流形上所有“方向”的向量空间。我们定义了向量场作为切空间的截面，并精确阐述了向量场在不同坐标系下的坐标表示变换律。随后，我们将推广到张量的概念，区分协变（共变）和逆变（反变）向量，并引入张量积和收缩运算。张量场的概念是理解曲率和度量的基础。第九章：微分形式与外微分为了在流形上进行积分和建立广义的斯托克斯定理，我们需要引入微分形式（或称外微分形式）。本章定义了 $k$ 阶微分形式 $Omega^k(M)$，它是切空间上反协变向量的反对称多重线性函数。核心在于外微分算子 $d$ 的定义，并证明其基本性质：$d^2 = 0$。这将自然地引导出微分形式的闭性与正交性之间的关系，为下一章的德拉姆上同调奠定基础。第十章：黎曼度量与曲率黎曼几何的核心在于流形上定义了一个黎曼度量 $g$，即一个处处光滑的正定对称的 $(0, 2)$ 张量。本章研究度量的性质，特别是如何利用度量来定义角度、长度和体积元。我们定义了列维-奇维塔联络，它允许我们谈论向量场的“平行移动”和测地线（局部最短路径）。最终，本章导出了黎曼曲率张量 $R$ 的定义，它度量了流形偏离平直欧几里得空间（零曲率）的程度。通过对 $S^2$ 和 $mathbb{R}^2$ 的具体计算，读者将体会到曲率的几何意义。结论本书的架构旨在通过代数拓扑提供对空间结构本质的理解，并通过微分几何提供对光滑空间上分析和度量的工具。所涵盖的主题是现代几何分析、理论物理（如广义相对论和规范场论）以及高等数学研究的基石。本书的读者在完成学习后，将能够自信地迈入专业研究领域，如纤维丛理论、可积系统或更高级的同调论分支。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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如果说市面上大多数教科书是在教你“如何爬山”，那么这本《Analysis III》更像是带你重新审视“山体”本身的构造学。我对它在“微分方程”部分的处理方式印象尤为深刻。它并没有像许多面向工程的教材那样，上来就给出拉普拉斯变换或特征值方法，而是花了大量篇幅讨论方程解的存在性、唯一性，以及解的正则性（smoothness）。特别是椭圆型偏微分方程的弱解理论，作者采取了一种非常“宏大叙事”的方式，先建立起强大的函数空间工具箱，然后再用这些工具去“攻击”问题。这套方法论无疑是顶级的，它为你未来解决更复杂、更前沿的问题打下了无比坚实的基础。但作为一名需要快速搭建模型的学习者，我不得不承认，阅读过程中的“挫败感”是真实存在的。这本书的难度曲线不是平缓上升，而是像锯齿一样，在看似平稳的理论推进中突然出现一个需要花费数小时才能突破的概念黑洞。它要求读者具备极高的自学能力和对数学结构高度的敏感度。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我感到“敬畏”的地方，在于它处理“功能理论”时所展现出的跨学科融合能力。它似乎不仅仅关注于传统的复分析或实分析范畴，而是自然地将拓扑学的概念巧妙地嵌入进来，构建了一个更统一、更强大的理论框架。比如，在讨论共形映射时，它并没有停留在基础的莫比乌斯变换层面，而是迅速升级到了黎曼曲面的拓扑结构，以及它如何影响函数在整个复平面上的行为。这种深层次的连接使得这本书的知识体系非常完整，几乎没有“知识盲点”，任何一个定理的引入都有其深刻的数学动机。但这种完整性也意味着极高的阅读门槛。我经常发现，理解某一章节的某个关键证明，需要回溯到本书前三章甚至第一册（如果我猜的没错的话）中的某个抽象定义。它不是一本可以孤立使用的书，它要求读者对整个分析学领域有一个连贯的、深入的认知基础。对于初学者来说，这简直是一场灾难；但对于有一定基础的人来说，这无疑是一次知识的“大补元”。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，我立刻被它那种古典而又坚韧的学术气息所吸引。它的排版风格，嗯，怎么说呢，有点像上世纪八十年代的德文教科书，字体紧凑，图表极少，几乎所有的信息都以文字和数学符号的形式密集地呈现出来。这使得它在深度上无可匹敌，但阅读起来的节奏感非常缓慢，需要不断地在章节之间来回翻阅，对照着前面对Lebesgue积分或Sobolev空间定义的理解。我特别欣赏它在处理“函数论”部分时展现出的哲学思辨深度。它不仅仅是罗列公式，而是试图探讨函数空间结构本身的内在美感和局限性。例如，关于解析函数的唯一性定理，它用了好几种不同的视角去阐述，从复变函数的基础，到更抽象的微分形式理论，每一种论述都像雕刻家在打磨一件艺术品，力求在最简洁的表达中蕴含最丰富的信息。然而，正是这种“精雕细琢”导致了阅读效率的下降，我花了很长时间才消化完关于Schwartz分布理论的开篇介绍，感觉自己像是在徒步穿越一片茂密的原始森林，风景壮丽，但每一步都走得异常艰辛。

评分☆☆☆☆☆

这本厚重的砖头书，封面设计得相当朴素，拿到手里沉甸甸的，一看目录就知道不是什么“轻松阅读”的读物。我本意是想找一本能帮我迅速过一遍基础概念，然后直奔应用去的参考书，结果这本《Analysis III》给我的感觉更像是一本需要“朝圣”才能抵达目的地的百科全书。它对基础理论的挖掘深度，简直到了令人发指的地步。比如讲解傅里叶分析时，它没有直接跳到那些大家熟悉的级数公式，而是花了足足三章的篇幅，从测度论和泛函分析的视角，层层剥笋般地构建了收敛性的严格证明框架。坦白说，我跳过了其中大约百分之四十的证明细节，直接去看定理的应用案例了，否则我可能在第一章就彻底迷失在$epsilon-delta$的汪洋大海里。这本书的优点在于其无与伦比的严谨性，它似乎是为那些立志成为纯数学研究者的人准备的终极教材，确保你对“为什么”的理解比“是什么”要牢固得多。但对于我这种急需解决工程问题的应用型用户来说，阅读体验称得上是“史诗级”的挑战，每一页都需要高度的专注力，生怕错过一个微小的假设条件导致后续所有推导失效。

评分☆☆☆☆☆

从我个人的使用角度来看，这本书更像是一部“工具箱的说明书”，而不是一本“快速上手指南”。它详尽地描述了每一个工具的材料、制造工艺，以及它在各种极端条件下的性能极限，但很少直接告诉你“用这个扳手去拧那个螺丝”。我尝试用它来准备一次关于某种偏微分方程解的数值方法的研讨会，结果发现，书中关于“解的先验估计”的部分，其深度远超研讨会所需的理论背景。它对误差分析的讨论细致入微，几乎涵盖了所有可能的病态情况。这表明，这本书的作者群显然对理论的“鲁棒性”有着近乎偏执的追求。阅读过程伴随着大量的自我检验和交叉引用，我甚至需要准备一本笔记本专门记录自己对书中各个引理的理解和反驳（或者说，是尝试推翻它们的合理性）。总而言之，如果你想在数学分析的某个领域达到专家级别的理解深度，并且不惧怕面对逻辑上极其密集的论述，那么这本书是无价之宝；但如果你的目标是快速掌握解题技巧，这本书可能会让你感到迷失方向，因为它更关心的是“为什么”数学结构是这个样子的，而不是“如何”用它来计算一个积分。

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