Complex Manifolds without Potential Theory

出版者:Springer

作者:Shiing-shen Chern

页数:168

出版时间:1979-6-18

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387904221

具体描述

From the reviews of the second edition: "The new methods of complex manifold theory are very useful tools for investigations in algebraic geometry, complex function theory, differential operators and so on. The differential geometrical methods of this theory were developed essentially under the influence of Professor S.-S. Chern's works. The present book is a second edition...It can serve as an introduction to, and a survey of, this theory and is based on the author's lectures held at the University of California and at a summer seminar of the Canadian Mathematical Congress...The text is illustrated by many examples...The book is warmly recommended to everyone interested in complex differential geometry." #Acta Scientiarum Mathematicarum, 41, 3-4#

用户评价

这本《Complex Manifolds without Potential Theory》的书名倒是挺引人注目的，至少对我这个对复几何有那么点兴趣，但又对势论望而生畏的人来说，它听起来就像是一剂解药。我原本以为复流形的研究离不开那些深奥的调和函数、拉普拉斯算子，以及那些动辄需要借助庞大分析工具才能搭建起来的理论框架。然而，这本书似乎另辟蹊径，它宣称可以在“没有”势论的情况下探讨复流形，这让我非常好奇它到底是如何构建起一个自洽且深刻的理论体系的。我猜想，作者可能更侧重于代数拓扑、微分拓扑或者某些纯粹的几何构造，比如 Kähler 几何中的某些纯代数表述，或者某些奇点的局部性质。想象一下，如果在不依赖于某个经典分析工具的情况下，我们依然能够对复结构的深层特性做出有力的陈述，那将是多么优雅的数学成就啊。我期待着看到那些熟悉的几何概念，比如典范度量、曲率的计算，是如何通过完全不同的、更偏向于拓扑或代数的视角来展现其内在联系的。如果这本书真的能做到这一点，它无疑会为那些“分析疲劳”的研究者提供一个全新的、或许更具洞察力的观察角度，让复几何的讨论不再被某种单一的方法论所束缚。

作为一个对数学史和思想演变感兴趣的人，我对《Complex Manifolds without Potential Theory》这个标题感到格外着迷。这仿佛是对数学发展路径的一种反思和重构。历史上，复几何的发展无疑深受十九世纪分析学，特别是黎曼和庞加莱工作的影响，势论是其内在的驱动力之一。这本书的出现，挑战了这种历史的必然性。我猜测，作者可能受到了诸如 A. Weil 在代数几何中的工作启发，试图建立一个更具“内在一致性”的理论框架。我期待书中能有对经典结果的“去势论化”的详细论证。比如，如何绕过 Dirichlet 能动性积分来讨论调和映射的稳定性？如何用纯粹的截面张量或奇点理论来替代热核展开？我尤其关注那些需要用到 $Delta u = f$ 这种形式来证明存在性的关键步骤，如果它们被巧妙地用代数或拓扑的等价命题取代，那将是极具启发性的。这本书如果能成功，将会展示出数学理论在不同分支之间其实存在着许多可替代的、同样有效的逻辑桥梁。

我购买这本书是带着一种“探险”的心态，因为我知道它描述的领域通常被视为分析的堡垒。我希望它能提供一些非常规的、甚至可能是初看起来有些反直觉的论证技巧。我设想，作者可能采取了一种非常强硬的立场，即只使用那些在所有特征域上都成立的几何或代数工具。例如，如果能够用 Fp 上的代数方法来推导某些在特征零下通过势论证明的结论，那将是惊人的成就。我特别希望书中能够对“完备性”和“紧致性”的讨论提供新的见解，因为这些概念在势论中往往与能量最小化直接相关。没有了势论，这些概念将如何通过拓扑覆盖、或者局部环的完备化来刻画？我期待看到那些原本需要长时间分析演算的定理，被压缩成几行简洁而有力的代数或几何断言。这本书如果能做到这一点，它将不仅仅是面向专业研究者的工具书，更会成为一个展示数学美感和统一性的典范作品，揭示出复流形几何深藏于其分析外衣下的、更纯粹的骨架结构。

我最近在寻找一些能够拓宽我研究边界的读物，尤其是那些能够将看似不相关的数学分支巧妙地联系起来的书。这本书的名字——《Complex Manifolds without Potential Theory》——立刻抓住了我的注意力，因为它暗示了一种“去中心化”的叙事方式。通常，在学习复几何时，我们总要先跨过势论这座大山，比如在处理 Hodge 理论或者 Calabi-Yau 流形时，势论几乎是绕不开的基石。因此，一个完全绕开它的版本，意味着它必须在基础建设上投入巨大的精力，用其他更基础的工具来替代原有的分析框架。我非常好奇作者是如何处理那些经典的、通常依赖于最大值原理或椭圆方程的结论的。是采用了更具构造性的方法，还是转向了更精妙的代数几何语言？我希望看到对 Chern 类、Ricci 张量等核心概念的重新阐释，这种重新阐释如果足够彻底，将揭示出这些几何不变量背后更本质的、可能与势能无关的拓扑或代数起源。这本书如果成功，将不仅仅是一本教科书，更像是一份宣言：证明复几何的丰富性远超其传统的分析根基。

坦白地说，我之前对复流形的研究一直停留在比较表层的应用阶段，对于那些深入到微分形式的精确计算和势函数的构造细节总是感到力不从心。势论的符号和无穷维空间的极限操作常常让我感到思维的断裂。因此，这本书对我来说，简直就是及时雨。我的期待是，它能够提供一个更坚实、更“离散”或至少是“拓扑友好”的切入点。我希望它能侧重于诸如 Dolbeault 上同调群的代数性质，或者是在没有势论背景下，如何更直接地理解这些流形上的向量丛的稳定性问题。也许它会大量使用代数拓扑中的工具，比如纤维丛、Chern-Weil 理论的代数版本，或者专注于那些在代数几何中更容易处理的、具有特殊结构的例子，比如 Fano 流形。如果作者能够清晰地展示出，哪些几何洞察是完全独立于势论的，那么这本书的价值就不仅仅是提供知识，更是提供了一种看待问题的全新视角——一种更加结构化、更少依赖于连续分析的几何直觉。我希望读完后，能对那些看似分析性的定理的几何意义有更深刻的理解。