A Primer of Infinitesimal Analysis

出版者:Cambridge University Press

作者:John L. Bell

页数:140

出版时间:2008-04-07

价格:USD 60.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521887182

具体描述

One of the most remarkable recent occurrences in mathematics is the refounding, on a rigorous basis, of the idea of infinitesimal quantity, a notion which played an important role in the early development of the calculus and mathematical analysis. In this new edition basic calculus, together with some of its applications to simple physical problems, are presented through the use of a straightforward, rigorous, axiomatically formulated concept of 'zero-square', or 'nilpotent' infinitesimal - that is, a quantity so small that its square and all higher powers can be set, literally, to zero. The systematic employment of these infinitesimals reduces the differential calculus to simple algebra and, at the same time, restores to use the "infinitesimal" methods figuring in traditional applications of the calculus to physical problems - a number of which are discussed in this book. This edition also contains an expanded historical and philosophical introduction.

目录信息

Introduction
1. Basic features of smooth worlds
2. Basic differential calculus
3. First applications of the differential calculus
4. Applications to physics
5. Multivariable calculus and applications
6. The definite integral: Higher order infinitesimals
7. Synthetic geometry
8. Smooth infinitesimal analysis as an axiomatic system
Appendix. Models for smooth infinitesimal analysis
· · · · · · (收起)

用户评价

我一直认为，数学的学习应该是充满乐趣和启发的，而《Infinitesimal Analysis入门》恰恰做到了这一点。它打破了传统教材枯燥乏味的刻板印象，用一种极具感染力的笔触，将微积分的魅力展现得淋漓尽致。我最喜欢的一点是，作者在讲解每一个定理和公式时，都会配以精心设计的图示和动画（虽然我阅读的是纸质书，但文字的描述本身就如同动画般生动），使得抽象的概念得以直观呈现。比如，在解释导数的几何意义时，作者用动态的曲线和切线来描绘，让我清晰地看到了“瞬时变化率”是如何被“逼近”出来的。这种可视化教学方法极大地降低了学习门槛，让我能够轻松地掌握那些曾经让我感到困惑的知识点。更让我惊喜的是，书中穿插了许多启发性的思考题，这些题目并非简单地考查公式的应用，而是引导读者去独立思考、去探索数学的本质。完成这些题目带来的成就感，远远胜过任何一次机械的习题练习。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位良师益友，它激励我不断探索、不断超越，让我对数学学习的未来充满了无限的期待。

很少有一本书能让我如此沉迷于阅读，而《Infinitesimal Analysis入门》就是其中之一。它的叙述方式非常独特，作者仿佛是一位经验丰富的探险家，带领读者穿越数学的重重迷雾，去发现那些隐藏在深处的宝藏。我特别欣赏它在处理连续性和可微性等关键概念时所展现出的深度和广度。作者并没有止步于给出定义和证明，而是深入探讨了这些概念背后的哲学含义，以及它们在数学发展史上的重要地位。我曾一度对“连续”这个词语感到模糊，但在这本书的引导下，我明白了它不仅仅是“不间断”，更是一种“整体性”的体现，它连接了离散的个体，赋予了数学模型以生命力。此外，书中对一些经典问题的探讨，也让我受益匪浅。比如，如何用微积分解决 Zeno 的悖论，这让我看到了数学解决哲学难题的强大力量。阅读这本书，我感受到了一种智识上的愉悦，仿佛我的思维在与作者的智慧进行着一场美妙的对话，每一次的交流都让我对数学有了更深刻的理解和更持久的热情。

这本书带给我的感受，远超乎一本“入门”的范畴。我感觉它更像是一扇通往数学殿堂的窗户，透过它，我得以窥见无限的奥秘和精妙的结构。作者的语言风格非常具有感染力，他用一种充满诗意的笔触，将那些看似冷冰冰的数学概念描绘得栩栩如生。我至今难忘他对“无穷”的阐述，他并没有将其视为一个遥不可及的抽象概念，而是将其比作一条永不停息的河流，或者一片无边无际的星空，让我在感受其浩瀚的同时，也体会到了它的秩序和规律。在书中，我学习到了如何运用微积分去分析函数行为，如何理解曲线的弯曲程度，如何计算区域的面积和体积。这些知识的应用场景之广泛，让我感到惊叹。我曾一度以为这些只存在于理论世界的概念，原来早已渗透到我们生活的方方面面，从天体的运行到经济的波动，微积分无处不在，它以一种润物细无声的方式，塑造着我们对世界的认知。这本书让我对数学这门学科产生了全新的视角，它不再是枯燥的计算，而是一种理解和改造世界的强大工具。

我必须毫不犹豫地说，《Infinitesimal Analysis入门》这本书彻底点燃了我对数学的求知欲。在阅读这本书之前，我对微积分的理解，停留在非常表面化的阶段，仅仅是知道一些基本公式和计算方法。但这本书，以一种极其深刻且富有洞察力的方式，带领我深入探索了微积分的精髓。作者在解释“导数”这个概念时，并没有局限于其几何意义，而是将其提升到了“变化率”的本质层面，并将其与实际生活中的各种变化现象联系起来。我曾一度对“变化”这个词感到模糊，但在这本书的引导下，我明白了它不仅仅是量上的改变，更是一种动态的、过程性的理解。书中的数学证明，也并非枯燥乏味的逻辑推演，而是充满了智慧的闪光，作者总能找到最简洁、最优雅的路径，将复杂的数学问题化繁为简。我曾多次在阅读证明时，发出由衷的赞叹，感叹数学的严谨与精妙。这本书让我对数学这门学科产生了前所未有的敬意，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪，一种对真理的追求。

作为一名对数学理论抱有极大热情但又缺乏系统学习机会的自学者，《Infinitesimal Analysis入门》无疑是一份意外的惊喜。我曾尝试过许多教材，但往往因为其艰深的术语和跳跃的逻辑而望而却步。这本书则完全不同，它仿佛是一位经验丰富的向导，带领我在微积分这片广袤的土地上小心翼翼地探索。我欣喜地发现，作者并没有急于求成，而是花了大量篇幅去铺垫基础，从实数系的完备性到集合论的基本概念，都做了详尽的解释。这种严谨的打磨让我对后续的学习充满了信心。更令人称道的是，作者在介绍每一个新概念时，都会引用大量的历史典故和实际应用案例，这不仅丰富了我的知识面，更重要的是，让我深刻理解了这些数学工具的价值和意义。我曾一度认为微积分只是数学工具箱中的几个冰冷的公式，但这本书让我看到了它在物理学、工程学、经济学等众多领域所扮演的至关重要的角色，它不仅仅是计算的工具，更是理解世界运行规律的语言。每一次阅读，都像是在拓展我认知的边界，让我对数学这门学科产生了前所未有的敬意和热爱。

《Infinitesimal Analysis入门》这本书，对我来说，是一次意义非凡的阅读之旅。它以一种极其温和且富有启发性的方式，将我领入了微积分的奇妙世界。作者并没有一开始就用晦涩难懂的术语吓退读者，而是从最基础的直观概念入手，循序渐进地引导我们去理解那些看似高深的数学思想。我印象最深刻的是，作者在引入“不定积分”和“定积分”之间的关系时，所使用的类比。他将不定积分比作“变化过程的记录”，而定积分则是对这个过程“总结果的衡量”。这种形象的比喻，让我瞬间明白了这两个概念之间的内在联系，以及它们在解决实际问题中的重要作用。书中还穿插了许多历史故事和数学家的轶事，这不仅增加了阅读的趣味性，更让我看到了数学发展背后的人文关怀。我曾一度认为数学是冰冷的、机械的，但这本书让我看到了它作为一门充满智慧和创造力的学科所蕴含的魅力。它让我对数学学习产生了前所未有的热情，也让我对未来的探索充满了信心。

我最近有幸翻阅了《Infinitesimal Analysis入门》(A Primer of Infinitesimal Analysis)，这本书在我心中激起了层层涟漪。我原本对微积分一直怀有一种既敬畏又略带畏惧的情感，总觉得那些无限小、无限大的概念离我太过遥远，如同触不可及的星辰。然而，这本书以一种极其温和且循序渐进的方式，悄然拆解了我心中的壁垒。它没有一开始就抛出令人眼花缭乱的符号和定理，而是从最直观的几何概念入手，比如曲线的斜率、面积的计算，用一种叙事性的语言引导读者去理解“变化”本身。我尤其喜欢它在引入极限概念时所使用的类比，作者似乎总能找到最贴切的比喻，将抽象的数学思想形象化，让我在阅读时仿佛置身于一个充满智慧光芒的沙龙，与几位博学的老师在轻松的氛围中探讨着数学的奥秘。每一次翻开它，都像是在进行一次精神的洗礼，那些曾经让我头疼不已的概念，在作者精妙的阐述下，变得如此清晰和动人，仿佛它们一直就隐藏在我思维的深处，只是等待着这本书的钥匙去开启。它的语言风格十分独特，既有学术的严谨，又不失文学的优雅，读起来有一种沉浸式的体验，让人忍不住一口气读下去，生怕错过任何一个精辟的论述。

在《Infinitesimal Analysis入门》这本书中，我找到了一种前所未有的阅读体验。它不像我以往读过的任何一本数学教材，它更像是一场思想的盛宴，一场智力的探险。作者的笔触极为细腻，他对数学概念的阐释，总是那么恰到好处，既不显得冗长，又不至于过于简略。我尤其喜欢他对“收敛”这个概念的讲解。他用一种充满画面感的方式，描述了数列或级数如何一步步“逼近”一个极限值，仿佛我亲眼目睹了那个数字的诞生过程。这种深入人心的讲解，让我对那些看似抽象的数学符号有了更直观的理解。书中的习题设计也非常巧妙，它们不仅仅是检验学习成果的工具，更是一种引导读者深入思考的契机。我曾被一道关于级数收敛性的题目困扰了很久，但经过一番思考和尝试，最终解出它时，那种豁然开朗的感觉，至今仍让我回味无穷。这本书让我明白，学习数学不仅仅是记住公式和定理，更重要的是理解它们背后的逻辑和思想。它让我对数学这门学科产生了更深的感情，也让我对未来的学习充满了信心。

这本书带给我的，是一种全新的学习体验，一种心智的拓展。我感觉作者就像一位经验丰富的向导，带领我在微积分这片浩瀚的海洋中航行。他并没有急于展示那些宏伟的“岛屿”（定理和公式），而是先耐心地教会我如何使用“罗盘”和“六分仪”（基本概念和工具）。我尤其喜欢他对“函数”的阐述。他没有将其视为一个简单的数学表达式，而是将其比作一个“输入-输出”的机器，一个描述事物之间相互关系的模型。这种生动的比喻，让我对函数的理解，上升到了一个全新的高度。书中的许多例子，都与实际生活紧密相连，比如描述人口增长、商品价格波动等，这些都让我深刻体会到微积分在现实世界中的巨大应用价值。我曾一度认为微积分是远离日常生活的抽象理论，但这本书让我看到了它无处不在的力量。阅读这本书，我不仅学到了数学知识，更培养了一种解决问题的能力，一种用数学的视角去审视和分析世界的能力。

我必须承认，《Infinitesimal Analysis入门》这本书的出现，彻底改变了我对数学学习的固有印象。它就像一位技艺精湛的雕塑家，用他娴熟的技法，将一块块坚硬的数学“石头”，雕琢成一件件精美的艺术品。我尤其喜欢作者在引入积分概念时所采用的方法。他没有直接给出积分的定义，而是从面积计算的“分割-累加”思想入手，循序渐进地引导读者理解积分的本质。我曾以为积分只是导数的逆运算，但这本书让我明白了，积分更是一种“度量”的艺术，它能够衡量变化的总量，无论是面积、体积，还是曲线的长度。作者还巧妙地将积分与现实世界的联系起来，比如计算功、计算流量，这些生动的例子让我深刻体会到微积分在解决实际问题中的重要性。阅读这本书，我感受到的不仅仅是知识的增长，更是一种思维的提升。我学会了如何用数学的语言去描述和分析现象，如何从宏观的趋势中洞察细节，如何从局部的信息中推断整体的规律。这是一种前所未有的智识体验，让我对数学这门学科产生了深深的敬意和持久的渴望。