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出版者:Rough Draft Printing

作者:Alfred North Whitehead

出品人:

頁數:256

译者:

出版時間:2007-09-01

價格:USD 12.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9781603860390

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
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探尋數學的深度與廣度：《數學概論》 一本帶領讀者領略純粹數學之美與邏輯之嚴謹的權威之作。 本書旨在為渴望深入理解現代數學核心概念的讀者提供一個堅實而富有啓發性的入門路徑。我們相信，數學不僅僅是一係列計算規則的集閤，而是一門關於結構、模式、邏輯推理和抽象思維的強大語言。通過本書，讀者將不僅學習“如何”解決問題，更重要的是理解數學概念“為何”如此構建，以及它們在更廣闊的知識體係中扮演的角色。 第一部分：奠基：邏輯、集閤與證明的藝術 本部分緻力於構建讀者理解所有高等數學分支所必需的基礎框架——形式化思維。 第一章：數學的邏輯基石 我們從命題邏輯開始，詳細探討連接詞（與、或、非、蘊含、等價）的真值錶及其在構建復雜論證中的作用。重點分析量詞（全稱量詞 $forall$ 和存在量詞 $exists$）的精確使用，這是數學語言精確性的核心。隨後，我們將深入探討證明的結構：直接證明、反證法（Reductio ad Absurdum）、數學歸納法（Principle of Mathematical Induction）作為證明自然數命題的不可或缺的工具，將進行詳盡的案例分析。我們還將介紹構造性證明與非構造性證明的區彆，拓寬讀者對“存在”的理解。 第二章：集閤論的初始構造 集閤論是現代數學的通用語言。本章從樸素集閤論（Naïve Set Theory）齣發，定義集閤、元素、子集、冪集。我們將精確地定義集閤間的基本運算：並集、交集、差集和對稱差集。緊接著，我們將介紹笛卡爾積，這是理解關係和函數的基礎。為瞭避免羅素悖論等集閤論的內部矛盾，我們將簡要介紹公理化集閤論（如 ZFC 係統的基本思想），以展示數學嚴謹性的邊界和要求。 第三章：關係、函數與構造 本章將集閤論的工具應用於建立關鍵的數學結構。關係的定義（內積關係、二元關係）是理解結構的第一步。我們重點研究特殊類型的關係：等價關係（Equivalence Relations）及其誘導齣的劃分（Partitions）——這是理解同構和分類的關鍵。隨後，函數被定義為一種特殊的、滿足特定條件的雙射關係。我們深入探討函數的性質：單射（Injectivity）、滿射（Surjectivity）和雙射（Bijectivity），並研究復閤函數的性質。最後，通過構造函數，展示如何從已知的數學對象構建新的對象。 第二部分：數的本質：從自然數到實數 本部分專注於數學中最基本的研究對象——數係——的嚴格構建過程。 第四章：自然數的公理化 本章將應用集閤論的工具，嚴格地定義自然數 ($mathbb{N}$)。我們將采用皮亞諾公理（Peano Axioms）作為齣發點，定義零、後繼（Successor Function）的概念。然後，我們將利用數學歸納法的強大威力，嚴格證明加法和乘法的基本性質（交換律、結閤律、分配律）。本章的難點和重點在於證明自然數的唯一性，即皮亞諾公理體係的獨立性。 第五章：整數與有理數的擴張 如何從自然數構建齣可以進行減法運算的整數 ($mathbb{Z}$)？我們將利用等價關係來定義整數：將有序對 $(a, b)$ 視為 $a - b$，然後定義等價關係 $[(a, b)] = [(c, d)]$ 當且僅當 $a+d = b+c$。接著，我們考察有理數 ($mathbb{Q}$)，它們是通過整數對 $(p, q)$，其中 $q eq 0$，且定義等價關係 $frac{a}{b} = frac{c}{d}$ 當 $ad = bc$ 得到的。本章深入分析有理數域的封閉性、稠密性，以及它們如何在數軸上形成一個“有間隔”的結構。 第六章：實數的完備性 實數 ($mathbb{R}$) 的構建是分析學的基石。我們首先迴顧無理數的直觀概念（如 $sqrt{2}$ 的不可壓縮性）。本章的核心在於引入戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）的概念來嚴格定義實數。我們將重點分析實數的完備性（Completeness Axiom）——即實數的上確界原理（Least Upper Bound Property），這是區分 $mathbb{Q}$ 和 $mathbb{R}$ 的關鍵性質。理解完備性，是理解微積分中極限概念的先決條件。 第三部分：結構與變換：代數與拓撲的初探 本部分開始將讀者引入更抽象的數學領域，關注對象之間的內在結構和變換。 第七章：基礎代數結構 本章介紹抽象代數中最基礎的結構——群（Groups）。我們定義群的四大公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元），並以整數加法群和非零有理數乘法群為例進行分析。我們深入研究子群、陪集（Cosets）以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）在有限群中的應用。本章也簡要引入環（Rings）和域（Fields）的概念，將數係（如 $mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R}$) 置於統一的代數框架下進行審視。 第八章：度量空間與拓撲入門 為瞭理解“接近”和“連續”的概念，我們需要脫離歐幾裏得幾何的束縛。本章介紹度量空間（Metric Spaces），即定義瞭距離函數（度量）的空間。我們用度量來重新定義極限和收斂性。隨後，我們將引入拓撲空間（Topological Spaces）的基本概念，即通過開集而非距離來定義鄰近性。這使得我們可以討論那些在拓撲形變下保持不變的性質，為讀者理解拓撲學奠定感性認知。 第四部分：變化的度量：分析學的核心概念 本部分將建立起連接代數與分析學的橋梁——微積分的嚴謹基礎。 第九章：極限與連續性 本章迴歸微積分的核心——極限 ($lim_{x o a} f(x) = L$)。我們使用$epsilon-delta$ 定義來嚴格化這一概念，並展示如何用該定義來證明簡單的極限。我們將運用極限的概念來定義函數的連續性——即在每一點上，微小的輸入變化導緻微小的輸齣變化。本章強調拓撲和度量空間背景下的連續性定義，並討論連續函數的關鍵性質，如介值定理（Intermediate Value Theorem）。 第十章：導數與積分的嚴格化 導數被定義為在某一點上的極限（切綫斜率），體現瞭函數瞬時變化率的概念。我們推導並證明微分法則（如乘法定律、鏈式法則）。接著，我們轉嚮積分。本書將積分的概念建立在黎曼和（Riemann Sums）的極限之上，而非僅僅是麵積的概念。我們將嚴格陳述並證明微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus），展示微分和積分之間的深刻對偶關係。 --- 本書特色： 概念先行，計算隨後： 強調理解數學思想的深度，而非僅僅記憶公式。 嚴謹性與可讀性的平衡： 確保證明的滴水不漏，同時輔以豐富的實例和幾何直觀解釋。 結構化敘事： 引導讀者從具體的數係構建，逐步過渡到抽象的結構理論，展示數學知識體係的內在聯係。 目標讀者： 所有對純粹數學感興趣的本科生、自學者，以及希望係統迴顧和夯實數學基礎的理工科高年級學生或研究人員。閱讀本書要求具備基本的代數知識和強烈的邏輯思維意願。

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