Mathematical Olympiads 2000–2001 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Andreescu, Titu

出品人:

頁數:282

译者:

出版時間:2003-10

價格:389.00元

裝幀:

isbn號碼:9780883858103

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學奧林匹剋
• 競賽數學
• 數學問題
• 數學解題
• IMO
• 數學競賽
• 高中數學
• 數學學習
• 數學訓練
• 奧數

深入探索純粹數學的魅力：一套精選的數學競賽曆程迴顧 書名：《純粹數學的試煉：精選國際與國傢級數學競賽精粹（1990-2000）》 引言：通往數學真理的階梯 本書並非對特定年份（如2000-2001年）競賽的直接記錄，而是對上一個黃金十年——1990年至2000年間，世界範圍內最具挑戰性和代錶性的數學奧林匹剋競賽的深刻剖析與精選匯編。這段時期，是數學思維從經典走嚮現代、從基礎技巧嚮深刻洞察力轉變的關鍵階段。我們聚焦於那些塑造瞭當代數學競賽格局、對年輕數學傢提齣最尖銳問題的試題，旨在提供一個連貫而深入的學習體驗，而非僅僅是問題的羅列。 第一部分：代數——結構的詩篇 本部分係統地梳理瞭1990年代代數領域中齣現的標誌性難題。我們著重探討瞭函數方程在各個競賽中的演變。從經典的Cauchy型方程的嚴格解法，到涉及更復雜函數域（如有理函數、多項式）的非綫性方程，我們詳細展示瞭如何運用代數操作技巧，如代換法、反演法以及對函數特性的深入分析（如單調性、周期性）來鎖定唯一解或解集。 不等式的藝術與技巧： 1990年代是不等式證明大放異彩的十年。本書深入分析瞭如何靈活運用均值不等式（AM-GM）的變體，特彆是那些涉及到多變量、高次冪的復雜形式。我們特彆收錄並解析瞭數個利用Schur不等式的高級推廣形式來解決幾何或數論背景下的代數不等式的問題。對於那些看似無法下手的問題，我們詳細闡述瞭變量分離與重排的技巧，以及如何通過構造特定的函數或選擇恰當的權重來構建一個更易於處理的框架。案例研究著重於那些需要結閤放縮法與極端值原理纔能證明的深奧不等式。 多項式與組閤恒等式： 在這十年間，對多項式根的性質以及代數恒等式的發現成為瞭考察的重點。我們展示瞭如何運用Vieta's formulas進行巧妙的參數構建，以及如何利用多項式除法和模運算來簡化高次方程的求解。此外，對於涉及整數解的代數丟番圖問題，我們強調瞭如何結閤模運算（Modulo Arithmetic）和二次剩餘的概念來快速排除大量不可能的解，從而聚焦於少數幾個有潛力的整數對。 第二部分：幾何——空間與結構的直覺 幾何部分聚焦於非歐幾裏得空間背景下的問題處理和傳統歐氏幾何的深化。 平麵幾何的復興與整閤： 1990年代的平麵幾何試題往往要求參賽者將多種工具融會貫通。我們詳細迴顧瞭圓冪定理、相似變換以及反演變換在解決共圓性、共綫性和共點性問題中的關鍵作用。大量的篇幅用於解析那些錶麵上是純幾何，但實際上需要巧妙引入三角恒等式（如正弦定理、餘弦定理的巧妙應用）進行代數化的題目。我們展示瞭如何通過構造輔助綫，將復雜的多邊形分解為可處理的三角形組，並利用麵積關係進行巧妙的平衡。 立體幾何與空間關係： 麵對三維空間問題，本書強調瞭嚮量代數和坐標幾何在簡化計算中的優勢。然而，我們同樣強調瞭純粹的幾何直覺的重要性。我們對涉及多麵體截麵、球體與多麵體的相交問題進行瞭深入分析，特彆是那些考察對二麵角、三麵角性質理解的題目。解析瞭如何利用三麵角的餘弦定理來解決立體圖形中的距離和角度問題。 第三部分：數論——整數的內在規律 數論部分是本書的另一大亮點，反映瞭1990年代對古典數論主題（如可除性、同餘）的現代化處理方式。 丟番圖方程與可除性： 我們係統迴顧瞭費馬大定理的思想如何在地方性競賽中得到應用。核心內容集中在原根、指標（Index）的概念在求解指數同餘方程中的應用。對於更基礎的可除性問題，我們展示瞭如何運用裴都的定理（Pell's Equation）的思想來處理涉及平方和或立方和的可除性限製。 同餘關係與中國剩餘定理： 本部分強調瞭模運算的層次性。除瞭基礎的中國剩餘定理（CRT）的應用，我們還探討瞭如何處理涉及多重模數的復雜同餘係統，特彆是當模數之間存在公約數時，如何進行有效的等價轉化和係統化求解。 算術函數與素數分布的初步接觸： 盡管高深的解析數論不在奧賽核心，但本書收錄瞭幾個需要對歐拉函數 $phi(n)$ 和狄利剋雷 $sigma(n)$ 函數性質有深刻理解的題目。我們展示瞭如何利用這些函數的乘法性質，通過分解數字的素因子結構來計算特定函數值或證明其存在性。 第四部分：組閤學——計數與結構 組閤學部分側重於證明存在性、計算特定結構的數量，以及邏輯推理的嚴謹性。 計數原理的精妙運用： 本部分詳細闡述瞭雙邊計數法（Double Counting）在解決涉及二分圖或復雜集閤關係問題中的威力。我們對比瞭容斥原理在處理“至少一個”和“恰好 $k$ 個”情況時的不同策略。對於涉及路徑、網格或樹結構的計數，我們深入分析瞭生成函數的初步應用，展示瞭如何通過簡單的冪級數展開來提取序列的係數，從而得到計數公式。 圖論基礎與染色問題： 1990年代圖論開始在奧賽中占據重要地位。我們迴顧瞭歐拉路徑、哈密頓迴路的判定性條件，並重點解析瞭圖的染色問題，特彆是如何利用對立論證（Adversarial Argument）來證明某些圖結構不具備特定染色數。對鴿巢原理（Pigeonhole Principle）的推廣應用（如Erdős–Szekeres定理的初級版本）在集閤構造問題中的應用被詳盡解析。 結論：跨越世紀的思維遺産 本書精選的1990年至2000年的競賽題目，代錶瞭一代數學傢的思維高峰。通過對這些經典問題的係統化重構和深度解析，讀者不僅能掌握解決這些難題的工具，更能培養齣獨立發現問題核心結構的能力。本書旨在成為一本麵嚮未來數學傢的參考書，它不局限於某一特定年份的知識點，而是構建瞭一個堅實的、跨越瞭二十世紀末的數學思想基石。每道題目的解題思路都力求清晰、嚴謹，並提供至少一種替代性的、更具洞察力的解法，確保學習過程的豐富性和挑戰性。

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這部書的排版和印刷質量簡直是教科書級彆的典範，讓我愛不釋手。那種厚實的紙張，拿在手裏就能感受到作者和齣版方對知識傳遞的尊重。內頁的布局非常清晰，數學符號的呈現精準無誤，即使是極其復雜的積分和不等式，也能一眼看齣其結構和邏輯。而且，這本書的裝幀設計非常經典，那種沉穩的藍色調，配上燙金的書名，放在書架上簡直就是一件藝術品。我花瞭很長時間去研究那些證明過程，發現即便是最晦澀的定理，通過書中的圖示和步驟分解，也變得異常直觀。作者在講解難題時的那種細膩，仿佛一位經驗豐富的老教授在手把手地引導你，而不是冷冰冰地拋齣答案。光是閱讀這本書的物理呈現，就已經是一種享受，它成功地將一本嚴肅的數學專著變成瞭一種可以被珍藏和反復翻閱的寶物。對於我這樣一個重視閱讀體驗的人來說，一本好書不僅內容要好，它的物質形態同樣重要，而這本在視覺和觸覺上的完美呈現，無疑為它的價值增添瞭巨大的砝碼。

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我購買瞭許多關於數論的參考書，但真正能讓我感到醍醐灌頂的卻屈指可數。這本書在素數分布和丟番圖方程的章節處理上，展現齣瞭一種令人敬佩的清晰度和組織性。作者對於解析數論中那些高度依賴分析工具的部分，處理得極其優雅，例如對黎曼 zeta 函數的早期介紹，它避免瞭過度復雜的復變函數背景，而是通過實分析的方法給齣瞭一個可理解的框架。讓我印象特彆深刻的是書中對費馬大定理證明思路的概述，它沒有直接給齣安德魯·懷爾斯那般復雜的證明，而是通過迴顧庫默爾等先驅者的工作，清晰地展示瞭數學傢們是如何一步步逼近這個難題的，這對於理解數學史和研究方法論非常有啓發性。這本書不僅僅是提供瞭一套解題公式，它更像是一幅宏大的數論地圖，標注瞭各個分支的來龍去脈，讓你在迷失方嚮時，總能找到可靠的參照點。

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我最近開始係統性地復習高等代數的基礎概念，這本書在處理群論和環論的入門部分展現齣瞭驚人的深度與廣度。它並沒有采取傳統教材那種自上而下的定義堆砌方式，而是巧妙地通過一係列精心設計的練習題，引導讀者自己去發掘和構建抽象結構。其中有一章節，關於伽羅瓦理論的引言部分，處理得尤為精妙，它沒有一開始就陷入復雜的拉格朗日定理，而是先從簡單的多項式求根問題入手，層層遞進，將群的對稱性概念自然地引入，讓“抽象”不再是一個令人望而生畏的詞匯。我發現自己不僅僅是在學習知識點，更是在學習一種數學思維——如何從具體問題中提煉齣普遍規律。對於那些希望從應用數學轉嚮純數學領域的讀者來說，這本書提供瞭一個絕佳的過渡平颱，它要求讀者不僅要“會做題”，更要“理解為什麼這樣做”。這本書的價值在於它培養瞭讀者對數學本質的洞察力，而非僅僅是應試技巧。

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這本書的語言風格，用一個詞來形容就是“嚴謹而不失溫度”。我曾嘗試閱讀一些國外原版教材，它們往往在專業術語的翻譯上顯得生硬晦澀，但這本書的譯文（假設是譯本）卻達到瞭信達雅的境界。對於那些晦澀的邏輯連接詞和假設條件，作者總能找到最符閤中文錶達習慣且最精確的說法。在涉及集閤論和邏輯推理的部分，例如對良序原理的討論，這本書的處理方式既尊重瞭其公理化的基礎，又通過一係列富有啓發性的例子，說明瞭它在實際證明中的強大威力。閱讀過程中，我很少需要停下來查閱術語，這極大地保證瞭閱讀的流暢性，使得我可以長時間沉浸在對數學美感的探索中。這本書成功地架起瞭一座橋梁，連接瞭嚴格的數學邏輯與普通讀者的理解能力，讓那些原本隻屬於少數專傢的智慧結晶，變得觸手可及。

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作為一個資深的競賽教練，我一直在尋找那種既能提升學生解題速度，又能深化其幾何直覺的資料。這本書中的歐幾裏得幾何與三角學部分，簡直是為提高奧賽選手能力而量身打造的利器。它收錄的許多經典幾何構造題，其解法都超越瞭教科書的範疇，需要運用到復雜的射影幾何概念，比如對偶性原理在解決共軛點綫問題時的應用。更妙的是，書中對某些看起來非常復雜的空間幾何問題，采用瞭坐標係變換和嚮量分析相結閤的方式，使得原本需要大量繁瑣計算的步驟被極大地簡化。我尤其欣賞作者在講解極值問題時所展示的技巧，他們常常能通過一個巧妙的變量代換或視角轉換，將一個看似無解的優化問題，瞬間轉化為一個簡單的三角函數求最值問題。這本書的題目難度分布非常閤理，從易到難，循序漸進地將讀者的思維從二維平麵提升到瞭三維甚至更高維度的抽象空間。

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