Advanced Calculus with Applications in Statistics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Wiley-Interscience

作者:André I. Khuri

出品人:

页数:704

译者:

出版时间:2002-11-18

价格:USD 150.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471391043

丛书系列:Wiley Series in Probability and Statistics

图书标签:

高等微积分
统计
statistics
maths
微积分
高等数学
统计学
应用数学
数学分析
函数
极限
导数
积分
概率论

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具体描述

Designed to help motivate the learning of advanced calculus by demonstrating its relevance in the field of statistics, this successful text features detailed coverage of optimization techniques and their applications in statistics while introducing the reader to approximation theory. The Second Edition provides substantial new coverage of the material, including three new chapters and a large appendix that contains solutions to almost all of the exercises in the book. Applications of some of these methods in statistics are discusses.

《高级微积分在统计学中的应用》一、书籍概述《高级微积分在统计学中的应用》是一本旨在深入探讨微积分理论及其在现代统计学研究与实践中不可或缺的应用的权威著作。本书并非仅仅停留在微积分概念的罗列，而是着重揭示这些看似抽象的数学工具如何成为理解和解决统计学核心问题的基石。本书的目标读者包括但不限于统计学专业的本科生、研究生、研究人员，以及对运用严谨数学方法分析数据感兴趣的领域专家。通过系统阐述多变量微积分、微分方程、测度论等高级数学概念，本书为读者构建一个坚实的理论框架，使其能够深刻理解统计模型的内在逻辑，熟练掌握统计推断的数学原理，并能够独立进行创新性的统计方法研究。二、核心内容介绍本书的结构围绕着“高级微积分工具”与“统计学具体应用”两条主线展开，力求做到理论与实践的完美结合。第一部分：高级微积分基础回顾与扩展本部分将首先对经典微积分的核心概念进行简洁而有效的回顾，为后续更深入的讨论打下坚实基础。这包括但不限于：函数与极限：重点在于多变量函数的连续性、偏导数、全微分等概念，为理解高维概率分布和复杂模型的行为奠定基础。积分理论：涵盖定积分、不定积分、多重积分（包括重积分、曲线积分、面积分）以及格林公式、高斯散度定理、斯托克斯公式等。这些工具在计算期望、方差、联合概率密度函数以及理解随机变量的累积效应中至关重要。级数：泰勒级数、傅里叶级数等将在本书后续章节中用于近似复杂函数、分析平稳随机过程以及处理统计模型中的迭代求解问题。在此基础上，本书将深入引入并详细阐述统计学中常用的高级微积分概念：微分几何初步：尽管不是本书的重点，但对某些概念的引入，例如流形、切空间等，将为理解高维数据流形学习、非参数统计方法中的几何视角提供一定的启发。测度与积分理论：这是本书最重要的理论基石之一。本书将详细介绍勒贝格测度、勒贝格积分及其性质，并解释其在处理非良态分布（如离散分布、奇异分布）以及定义更广泛的概率空间中的优越性。理解测度论对于深入掌握概率论的公理化体系以及处理更复杂的随机变量及其函数至关重要。变分法：学习如何寻找函数的极值，这在统计学中表现为最大似然估计、最小二乘估计等优化问题的求解。本书将介绍欧拉-拉格朗日方程等关键工具。微分方程与差分方程：介绍常微分方程和偏微分方程的解法，以及离散情况下的差分方程。这些工具在建模动态系统、描述随机过程演化（如马尔可夫链、布朗运动）以及分析时间序列数据时极为关键。第二部分：高级微积分在统计学中的核心应用本部分是本书的重中之重，将集中展示上述高级微积分工具如何在统计学的各个分支中发挥关键作用。概率论的数学基础：概率测度与随机变量：基于测度论，严谨定义概率空间、随机变量、概率分布函数（CDF）、概率密度函数（PDF）和概率质量函数（PMF）。期望与方差的计算：利用勒贝格积分计算期望、方差、矩等统计量，特别是对于复杂分布的处理。联合分布与边缘分布：利用多重积分计算联合概率密度，并推导边缘密度函数。条件期望与贝叶斯统计：探讨条件概率和条件期望的定义与计算，为理解贝叶斯推断中的后验分布更新提供数学支撑。数理统计的核心工具：参数估计：最大似然估计（MLE）：将优化问题转化为微积分问题，通过求导使得似然函数取最大值，推导MLE的表达式。讨论MLE的渐近性质（一致性、渐近正态性、渐近有效性），这些性质的证明依赖于泰勒展开和积分的渐进行为。矩估计（Method of Moments）：利用样本矩与总体矩的相等关系建立方程组，求解参数。最小二乘估计（LSE）：在线性回归等模型中，将残差平方和最小化转化为一个二次规划或多元微积分优化问题。假设检验：似然比检验（LRT）：利用似然函数构建检验统计量，其分布的渐近性质（卡方分布）的推导涉及到对数似然函数的二阶导数。检验的功效分析：涉及到积分计算，特别是非中心卡方分布的概率计算。置信区间：其构造和推导过程，特别是对于基于渐近正态性的置信区间，需要利用中心极限定理和泰勒展开。回归分析的深化：线性回归：详细推导普通最小二乘法（OLS）的矩阵形式，并从微积分角度理解其优化过程。广义线性模型（GLM）：介绍联系函数（link function）和方差函数，并解释其在将指数族分布与线性预测器联系起来时的数学原理。GLM的参数估计通常通过迭代加权最小二乘法（IRLS）完成，这涉及微分方程和数值优化。非线性回归：讨论如何利用牛顿-拉夫逊法等数值优化方法求解非线性回归模型的参数。多元统计分析：多元正态分布：详细介绍其概率密度函数（涉及矩阵求导和行列式计算）、协方差矩阵的性质，以及条件分布、边缘分布等。主成分分析（PCA）：理解PCA的数学原理，即寻找数据协方差矩阵的特征向量和特征值。这部分需要涉及线性代数与矩阵微积分的交汇。因子分析：介绍其模型假设和参数估计方法，通常也需要通过最大似然估计等优化技术完成。随机过程与时间序列分析：马尔可夫链：介绍其转移概率矩阵，以及基于微积分的连续时间马尔可夫过程（如泊松过程、指数分布）的性质。布朗运动与随机微分方程：介绍布朗运动的定义及其在金融数学、物理学中的应用，以及随机微分方程（SDE）的解法（例如伊藤积分）。这部分将展示微积分在描述随机现象动态演化中的强大能力。时间序列模型（ARIMA等）：解释这些模型的建立，以及如何利用差分方程和优化方法进行参数估计和预测。贝叶斯统计的数学表达：共轭先验：解释如何利用共轭先验来简化后验分布的计算，通常涉及到积分。马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法：介绍Metropolis-Hastings算法、Gibbs采样等，虽然主要基于概率采样，但其收敛性分析和改进方法常常涉及对概率密度函数的深入理解和数值积分技术的运用。信息论与统计推断：信息量、熵、互信息：介绍信息论的基本概念，它们与概率密度函数的积分计算紧密相关。 Fisher信息矩阵：详细介绍其定义、性质以及在统计推断中的重要性（例如Cramér-Rao下界），其计算涉及对数似然函数的二阶导数。三、本书的特色与贡献严谨性与系统性：本书在保持数学严谨性的同时，系统地梳理了高级微积分与统计学之间的内在联系，避免了碎片化的知识点。理论与应用的深度融合：每一项微积分概念的引入都伴随着清晰的统计学应用案例，帮助读者理解“为什么”需要这些工具，以及“如何”运用它们解决实际问题。强调理解而非记忆：本书注重引导读者理解数学概念背后的逻辑和直觉，而非死记硬背公式。通过大量的推导和解释，培养读者独立分析和解决问题的能力。对前沿统计方法的铺垫：本书所涵盖的理论基础，如测度论、随机微分方程等，是理解许多现代统计方法（如深度学习中的概率模型、复杂统计模型、非参数贝叶斯方法）不可或缺的先决条件。精选的习题：每章配有精心设计的习题，涵盖了从基础概念验证到综合应用能力的拓展，帮助读者巩固所学知识。四、结语《高级微积分在统计学中的应用》是一本旨在赋能读者，使其能够站在数学的制高点上审视统计学问题，从而更深入、更有效地进行数据分析、模型构建和理论创新的重要参考。本书不仅是统计学专业学生必备的理论读物，也是每一位希望在数据科学领域有所建树的研究者和实践者不可或缺的工具书。通过掌握本书所阐述的精髓，读者将能够自信地驾驭各种复杂的统计模型，并为统计学的发展贡献自己的力量。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的“应用”导向处理得非常高明，它成功地避免了陷入纯理论的孤芳自赏，也没有过度迎合肤浅的“速成”需求。作者在引入统计学概念时，总能找到一个既严谨又不失趣味性的切入点。比如，书中对贝叶斯方法的论述，并非简单地罗列公式，而是通过对真实案例的剖析，展示了先验信息如何系统性地修正和优化我们的判断。我特别欣赏作者在处理随机过程部分时，对金融时间序列模型的引入，那种将理论与前沿研究无缝衔接的处理方式，让人感觉手中捧着的不仅是一本教材，更是一份与时俱进的研究指南。它让我清晰地认识到，数学分析的强大之处，不在于其自身的美妙，而在于它能够作为一种精确的语言，去描述和预测我们所处世界的复杂性。

评分☆☆☆☆☆

从使用体验上来说，这本书的结构清晰度几乎达到了教科书的极致。每一章节的开始都有明确的“学习目标”和“知识回顾”，这为我规划学习进度提供了极大的便利。更重要的是，章节之间的逻辑过渡非常自然，作者仿佛是一位经验老道的领航员，总能在关键转折点提供清晰的路标。例如，从实变函数的基础过渡到概率测度论时，他通过对“可测函数”的细致阐释，巧妙地搭建了桥梁，使得前后知识点既有区别又有紧密的内在联系。这种结构上的严谨性，极大地降低了自学过程中常见的迷失感，让我能够高效地追踪作者的思路，而不需要反复翻阅前面的章节去查找上下文。总而言之，这是一本在内容深度、应用广度和教学设计上都达到了极高水准的典范之作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象，它不像传统教材那样刻板，反而带有一种现代的、简洁的美感。拿到手里时，我立刻被它厚实的质感和精良的装帧所吸引，这感觉就像是拿到了一件精心制作的工艺品，而非单纯的工具书。内页的排版也相当考究，字体大小和行间距都处理得恰到好处，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到疲劳。初翻阅时，我注意到书中对复杂概念的图示化处理非常出色，那些抽象的数学结构被转化为清晰、直观的图形，这对于我这种更偏向直觉理解的学习者来说，无疑是一个巨大的福音。尤其是一些涉及到多变量微积分和线性代数的几何解释，配图的精妙程度，足以让初学者望而生畏的壁垒瞬间变得平易近见。这种对细节的关注，从装帧到内页设计，都体现出作者和出版方对读者体验的深度重视，让人感觉这不是一本冷冰冰的知识堆砌，而是一份真诚的教学伙伴。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的习题部分是其最亮眼也最具挑战性的特色之一。不同于许多教材中那种机械重复的计算练习，这里的习题明显被设计成了一系列层次分明的“小项目”。它们不仅仅考验你对公式的记忆和代入能力，更侧重于培养你的建模思维和批判性分析能力。有些题目直接就是对某一经典统计学方法的完整推导和应用场景模拟，你需要从头到尾构建起一个完整的数学框架。我花了整整一个下午来攻克其中一个关于高维概率密度函数的优化问题，虽然过程非常煎熬，但最终得出结论时的那种成就感，是刷一千道基础题都无法比拟的。这套习题系统有效地弥补了课堂教学中实践不足的短板，它迫使你真正走出舒适区，去和那些复杂的、不完美的真实世界数据和理论进行搏斗。

评分☆☆☆☆☆

这本书的讲解深度令人赞叹，它没有仅仅停留在理论的表面，而是深入挖掘了每个定理背后的逻辑链条和历史渊源。对于像我这样，希望不仅仅是“会用”数学工具，更想“理解”其内在机理的读者来说，这种详尽的剖析简直是久旱逢甘霖。作者在阐述偏微分方程或测度论基础时，总能巧妙地将它们与实际应用场景进行对接，使得那些原本看起来遥不可及的数学工具，立刻鲜活了起来。举个例子，书中关于极限定理的讨论，不仅仅是给出了一系列的公式推导，而是通过一系列精心设计的思考题，引导我们去探究为什么在特定条件下，我们会需要这个工具，以及它在统计推断中的核心地位。这种“追本溯源”的叙事方式，极大地增强了学习的内在驱动力，让我感觉自己不是在被动接受知识，而是在主动参与一场知识的发现之旅。

评分☆☆☆☆☆