第一幕 空间的本质
第1章　欧几里得几何与非欧几何　2
1.1　欧几里得几何与双曲几何　2
1.2　球面几何　5
1.3　球面三角形的角盈　8
1.4　曲面的内蕴几何与外在几何　9
1.5　通过“直性”来构作测地线　12
1.6　空间的本质　15
第2章　高斯曲率　18
2.1　引言　18
2.2　圆的周长和面积　20
2.3　局部高斯–博内定理　24
第3章　序幕和第一幕的习题　26
第二幕　度量
第4章　曲面映射：度量　34
4.1　引言　34
4.2　球面的投影地图　36
4.3　一般曲面上的度量　38
4.4　度量曲率公式　41
4.5　共形地图　43
4.6　讲一点儿可视化的复分析　45
4.7　球面的共形球极地图　49
4.8　球极平面投影公式　53
4.9　球极平面投影的保圆性　55
第5章　伪球面和双曲平面　57
5.1　贝尔特拉米的洞察　57
5.2　曳物线和伪球面　58
5.3　伪球面的共形地图　61
5.4　贝尔特拉米–庞加莱半平面　62
5.5　利用光学来求测地线　65
5.6　平行角　68
5.7　贝尔特拉米–庞加莱圆盘　71
第6章　等距变换和复数　74
6.1　引言　74
6.2　默比乌斯变换　76
6.3　主要结果　82
6.4　爱因斯坦的时空几何学　84
6.5　三维双曲几何　90
第7章　第二幕的习题　96
第三幕　曲率
第8章　平面曲线的曲率　110
8.1　引言　110
8.2　曲率圆　112
8.3　牛顿的曲率公式　113
8.4　作为转向率的曲率　115
8.5　例子：牛顿的曳物线　119
第9章　三维空间中的曲线　121
第10章　曲面的主曲率　124
10.1　欧拉的曲率公式　124
10.2　欧拉的曲率公式的证明　126
10.3　旋转曲面　127
第11章　测地线和测地曲率　131
11.1　测地曲率和法曲率　131
11.2　默尼耶定理　133
11.3　测地线是“直的”　135
11.4　测地曲率的内蕴量度　136
11.5　量度测地曲率的一个简单的外在方法　136
11.6　用透明胶带构作测地线的一个新解释　137
11.7　旋转曲面上的测地线　138
11.7.1　球面上的克莱罗定理　138
11.7.2　开普勒第二定律　140
11.7.3　牛顿对开普勒第二定律的几何证明　142
11.7.4　克莱罗定理的动力学证明　144
11.7.5　应用：再看双曲平面上的测地线　146
第12章　曲面的外在曲率　149
12.1　引言　149
12.2　球面映射　149
12.3　曲面的外在曲率　151
12.4　哪些形状是可能的？　154
第13章　高斯的绝妙定理　159
13.1　引言　159
13.2　高斯的漂亮定理（1816年）　159
13.3　高斯的绝妙定理（1827年）　161
第14章　尖刺的曲率　165
14.1　引言　165
14.2　锥形尖刺的曲率　165
14.3　多面角的内蕴曲率与外在曲率　168
14.4　多面体的绝妙定理　170
第15章　形状导数　172
15.1　方向导数　172
15.2　形状导数S　175
15.3　S的几何效应　176
15.4　绕道线性代数：奇异值分解和转置运算的几何学　177
15.5　S的一般矩阵　182
15.6　S的几何解释和[S]的化简　184
15.7　[S]由三个曲率完全确定　186
15.8　渐近方向　187
15.9　经典术语和记号：三种基本形式　189
第16章　全局高斯博内定理，引论　191
16.1　一些拓扑学知识与结果的陈述　191
16.2　球面和环面的曲率　194
16.2.1　球面的全曲率　194
16.2.2　环面的全曲率　196
16.3　看一看厚煎饼的K(Sg)　197
16.4　看一看面包圈和桥的K(Sg)　198
16.5　拓扑度和球面映射　200
16.6　历史注释　202
第17章　全局高斯博内定理的第一个证明（启发性证明）　203
17.1　平面环路的全曲率：霍普夫旋转定理　203
17.2　变形圆周的全曲率　206
17.3　霍普夫旋转定理的启发性证明　208
17.4　变形球面的全曲率　209
17.5　全局高斯–博内定理的启发性证明　210
第18章　全局高斯博内定理的第二个证明（利用角盈）　213
18.1　欧拉示性数　213
18.2　欧拉的（经验的）多面体公式　213
18.3　柯西对欧拉多面体公式的证明　216
18.3.1　摊平了的多面体　216
18.3.2　多边形网的欧拉示性数　217
18.4　勒让德对欧拉多面体公式的证明　219
18.5　对曲面增加柄以提高其亏格　222
18.6　全局高斯–博内定理的角盈证明　225
第19章　全局高斯博内定理的第三个证明（利用向量场）　227
19.1　引言　227
19.2　平面上的向量场　227
19.3　奇点的指数　228
19.4　原型奇点：复幂函数　231
19.5　曲面上的向量场　234
19.5.1　蜂蜜流向量场　234
19.5.2　蜂蜜流与地形图的关系　236
19.5.3　怎样在曲面上定义奇点指数？　238
19.6　庞加莱–霍普夫定理　239
19.6.1　例子：拓扑球面　239
19.6.2　庞加莱–霍普夫定理的证明　241
19.6.3　应用：欧拉–吕以利埃公式的证明　243
19.6.4　庞加莱的微分方程与霍普夫的线场的比较　244
19.7　全局高斯–博内定理的向量场证明　249
19.8　往前的路怎么走？　253
第20章　第三幕的习题　255
第四幕　平行移动
第21章　一个历史谜团　268
第22章　外在的构作　270
22.1　一边前进，一边向曲面投影　270
22.2　测地线和平行移动　273
22.3　马铃薯削皮器的移动　274
第23章　内蕴的构作　278
23.1　沿测地线的平行移动　278
23.2　内蕴（即“协变”）导数　279
第24章　和乐性　283
24.1　例子：球面　283
24.2　一般的测地线三角形的和乐性　285
24.3　和乐性是可加的　286
24.4　例子：双曲平面　287
第25章　绝妙定理的一个直观几何证明　291
25.1　引言　291
25.2　关于记号和定义的一些说明　292
25.3　至今所知的故事　293
25.4　球面映射保持平行移动不变　294
25.5　再说漂亮定理和绝妙定理　295
第26章　全局高斯博内定理的第四个证明（利用和乐性）　297
26.1　引言　297
26.2　沿一条开曲线的和乐性？　297
26.3　霍普夫对全局高斯–博内定理的内蕴证明　299
第27章　度量曲率公式的几何证明　301
27.1　引言　301
27.2　向量场围绕回路的环流量　303
27.3　排练：平面上的和乐性　304
27.4　和乐性作为地图中由度量定义的向量场的环流量　306
27.5　度量曲率公式的几何证明　309
第28章　曲率是相邻测地线之间的作用力　310
28.1　雅可比方程简介　310
28.1.1　零曲率：平面　310
28.1.2　正曲率：球面　312
28.1.3　负曲率：伪球面　314
28.2　雅可比方程的两个证明　315
28.2.1　测地极坐标　315
28.2.2　相对加速度=速度的和乐性　318
28.3　小测地圆的周长和面积　320
第29章　黎曼曲率　322
29.1　引言和概要　322
29.2　n 流形上的角盈　323
29.3　平行移动：三种构作方法　325
29.3.1　定角锥上的最近向量　325
29.3.2　在平行移动平面内的定角　326
29.3.3　希尔德的梯子　327
29.4　内蕴（又称“协变”）导数rv　327
29.5　黎曼曲率张量　329
29.5.1　绕一个小“平行四边形”的平行移动　329
29.5.2　用向量换位子把这个“平行四边形”封闭起来　331
29.5.3　黎曼曲率的一般公式　332
29.5.4　黎曼曲率是一个张量　334
29.5.5　黎曼张量的分量　336
29.5.6　对于固定的wo，向量的和乐性只依赖于回路所在的平面及其所围面积　337
29.5.7　黎曼张量的对称性　338
29.5.8　截面曲率　340
29.5.9　关于黎曼张量起源的历史注记　341
29.6　n 维流形的雅可比方程　343
29.6.1　截面雅可比方程的几何证明　343
29.6.2　截面雅可比方程的几何意义　345
29.6.3　雅可比方程和截面雅可比方程的计算证明　346
29.7　里奇张量　347
29.7.1　由一束测地线包围的面积的加速度　347
29.7.2　里奇张量的定义和几何意义　349
29.8　终曲　351
第30章　爱因斯坦的弯曲时空　352
30.1　引言：“我一生中最快乐的想法”　352
30.2　引力的潮汐力　354
30.3　牛顿引力定律的几何形式　358
30.4　时空的度量　360
30.5　时空的图示　362
30.6　爱因斯坦的真空场方程的几何形式　363
30.7　施瓦氏解和爱因斯坦理论的最初验证　366
30.8　引力波　371
30.9　爱因斯坦的（有物质的）场方程的几何形式　374
30.10　引力坍缩成为黑洞　377
30.11　宇宙学常数：“我一生中最严重的错误”　381
30.12　结束语　383
第31章　第四幕的习题　384
第五幕　形式
第32章　1-形式　394
32.1　引言　394
32.2　1-形式的定义　395
32.3　1-形式的例子　397
32.3.1　引力做功的1-形式　397
32.3.2　引力做功1-形式的可视化　398
32.3.3　等高线图和梯度1-形式　399
32.3.4　行向量　402
32.3.5　狄拉克符号（左矢）　402
32.4　基底1-形式　403
32.5　1-形式的分量　404
32.6　梯度df是1-形式　405
32.6.1　复习：梯度 f是一个向量　405
32.6.2　梯度df是一个1-形式　406
32.6.3　1-形式的笛卡儿基{dxj}　407
32.6.4　df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解释　408
32.7　1-形式加法的几何解释　408
第33章　张量　411
33.1　张量的定义：阶　411
33.2　例子：线性代数　412
33.3　从原有的张量做出新张量　412
33.3.1　加法　412
33.3.2　乘法：张量积　413
33.4　分量　413
33.5　度量张量与经典线元的关系　414
33.6　例子：再看线性代数　415
33.7　缩并　416
33.8　用度量张量来改变张量的阶　417
33.9　对称张量和反对称张量　419
第34章　2-形式　421
34.1　2-形式和p-形式的定义　421
34.2　例子：面积2-形式　422
34.3　两个1-形式的楔积　423
34.4　极坐标下的面积2-形式　426
34.5　基底2-形式及投影　427
34.6　2-形式与R3中向量的联系：流量　429
34.7　R3中向量积与楔积的关系　431
34.8　法拉第的电磁2-形式与麦克斯韦的电磁2-形式　433
第35章　3-形式　439
35.1　3-形式需要三个维度　439
35.2　一个2-形式与一个1-形式的楔积　439
35.3　体积3-形式　440
35.4　球极坐标中的3-形式　441
35.5　三个1-形式的楔积，p个1-形式的楔积　442
35.6　基底3-形式　444
35.7　Ψ^Ψ≠0可能吗？　445
第36章　微分学　446
36.1　1-形式的外导数　446
36.2　2-形式和p-形式的外导数　448
36.3　形式的莱布尼茨法则　449
36.4　闭形式和恰当形式　450
36.4.1　基本结果：d2=0　450
36.4.2　闭形式和恰当形式　450
36.4.3　复分析：柯西–黎曼方程　451
36.5　用形式做向量运算　452
36.6　麦克斯韦方程组　456
第37章　积分学　459
37.1　1-形式的线积分　459
37.1.1　环流和功　459
37.1.2　与路径的无关性<=>闭合环路积分为零　460
37.1.3　恰当形式φ=df的积分　461
37.2　外导数是一个积分　461
37.2.1　1-形式的外导数　461
37.2.2　2-形式的外导数　465
37.3　外微积分基本定理（广义斯托克斯定理）　467
37.3.1　外微积分基本定理　467
37.3.2　相伴的历史问题　467
37.3.3　例子：面积　468
37.4　边界的边界是零　468
37.5　向量微积分的经典积分定理　469
37.5.1　Φ=0-形式　469
37.5.2　Φ=1-形式　470
37.5.3　Φ=2-形式　471
37.6　外微积分基本定理的证明　471
37.7　柯西定理　474
37.8　1-形式的庞加莱引理　474
37.9　德拉姆上同调初步　475
37.9.1　引言　475
37.9.2　一个特殊的二维涡旋向量场　476
37.9.3　涡旋1-形式是闭的　477
37.9.4　涡旋1-形式的几何意义　477
37.9.5　闭1-形式的环流的拓扑稳定性　478
37.9.6　第一德拉姆上同调群　480
37.9.7　R3中的平方反比点源　482
37.9.8　第二德拉姆上同调群　483
37.9.9　环面的第一德拉姆上同调群　485
第38章　用形式来讲微分几何　488
38.1　引言：嘉当的活动标架法　488
38.2　联络1-形式　490
38.2.1　关于符号的约定和两个定义　490
38.2.2　联络1-形式　491
38.2.3　注意：以前习惯的记号　493
38.3　姿态矩阵　494
38.3.1　通过姿态矩阵来讲连络形式　494
38.3.2　例子：柱面标架场　495
38.4　嘉当的两个结构方程　498
38.4.1　用ej的对偶dxj来表示mi的对偶θi　498
38.4.2　嘉当第一结构方程　498
38.4.3　嘉当第二结构方程　499
38.4.4　例子：球面标架场　500
38.5　曲面的6个基本形式方程　505
38.5.1　使嘉当的活动标架适用于曲面：形状导数与外在曲率　505
38.5.2　例子：球面　507
38.5.3　基底分解的唯一性　508
38.5.4　曲面的6个基本形式方程　509
38.6　对称性方程和彼得松–梅纳第–科达齐方程的几何意义　510
38.7　高斯方程的几何形式　511
38.8　度量曲率公式和绝妙定理的证明　512
38.8.1　引理：ω12的唯一性　512
38.8.2　度量曲率公式的证明　512
38.9　一个新的公式　514
38.10　希尔伯特引理　514
38.11　利布曼的刚性球面定理　515
38.12　n 流形的曲率2-形式　517
38.12.1　引言和概述　517
38.12.2　广义外导数　519
38.12.3　由曲率2-形式导出黎曼张量　520
38.12.4　再论比安基恒等式　521
38.13　施瓦西黑洞的曲率　522
第39章　第五幕的习题　528
人名索引　541
术语索引　546
· · · · · · (收起)