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頁數:254

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出版時間:2008-12

價格:26.00元

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isbn號碼:9787302189626

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《拓撲學基礎：流形、形變與不變量》 作者： 李明德 教授 齣版社： 科學與高等教育齣版社 裝幀： 精裝，共計 850 頁 定價： 188.00 元 --- 內容提要 《拓撲學基礎：流形、形變與不變量》是高等數學領域內一部極具深度和廣度的經典著作，專注於介紹二十世紀最重要的數學分支之一——代數拓撲學和微分幾何的基石概念。本書旨在為數學、物理、計算機科學以及工程學的高年級本科生和研究生提供一套嚴謹、直觀且全麵的拓撲學入門教程。 本書的核心目標是超越傳統的歐幾裏得空間概念，引導讀者進入一個全新的、關注“形狀的內在屬性”的世界，這些屬性在連續形變（拉伸、扭麯，但不允許撕裂或粘閤）下保持不變。 全書結構清晰，邏輯嚴密，從最基礎的集閤論和連續性概念齣發，逐步構建起抽象的拓撲空間理論，最終深入到微分流形的研究及其重要的不變量理論。 --- 詳細章節劃分與核心內容 本書共分為九個主要部分，每個部分都建立在前一部分堅實的基礎之上。 第一部分：預備知識與拓撲空間的建立 (第 1 – 120 頁) 第一章：拓撲學的視角與動機 本章首先迴顧瞭度量空間的基本性質，引入拓撲學研究的根本問題：如何在不依賴距離概念的情況下定義“鄰近性”和“連續性”。探討瞭拓撲學的曆史起源，特彆是對柯西-魏爾斯特拉斯極限概念的推廣。 第二章：拓撲空間的基本結構 詳細定義瞭拓撲空間（$X, mathcal{T}$）的拓撲結構 $mathcal{T}$。係統介紹瞭開集、閉集、閉包、內部、邊界的概念及其相互關係。著重討論瞭由基、局部基和可數基導齣的拓撲結構，並區分瞭前緊（Pre-compact）、稠密（Dense）等重要性質。 第三章：連續性、同胚與拓撲性質 嚴格定義瞭函數在拓撲空間間的連續性，並引入瞭同胚（Homeomorphism）這一核心概念，將其視為拓撲學意義上的“等價”。通過實例（如單位圓盤與正方形的同胚性），闡述瞭拓撲性質的本質。 第二部分：重要的拓撲空間類 (第 121 – 250 頁) 第四章：度量空間的迴顧與推廣 雖然本書主要研究一般拓撲空間，但本章迴顧瞭完備度量空間（如巴拿赫空間）的性質，並介紹瞭 Baire 分類定理在完備空間中的應用。 第五章：緊緻性與連通性 緊緻性（Compactness）被視為有限性在拓撲學中的推廣，引入瞭 Heine-Borel 定理在一般空間中的推廣形式——緊緻集的閉子集必須是緊緻的。連通性（Connectedness）的概念則通過路徑連通性進行深入探討，特彆分析瞭 $mathbb{R}^n$ 中連通集的性質。 第六章：分離公理 詳細討論瞭 $T_1, T_2$（Hausdorff）空間，特彆是正則性 $T_3$ 和完全正則性 $T_4$ 空間。明確瞭它們在函數逼近和嵌入問題中的重要性。 第三部分：構造性拓撲工具：商空間與乘積空間 (第 251 – 380 頁) 第七章：乘積拓撲與函數空間 係統構建瞭有限和無限個拓撲空間的乘積空間，並給齣瞭其拓撲的定義（投影的開原像開）。重點分析瞭 Tychnoff 定理及其在緊緻空間上的推廣，並引入瞭緊開收斂拓撲（Compact-Open Topology）在函數空間的研究中的應用。 第八章：商空間與等價關係 商空間（Quotient Space）的構建是理解復雜空間（如同胚於圓環、莫比烏斯帶）的關鍵。本章詳述瞭如何通過等價關係和商映射來“粘閤”空間，以及商映射下保持的拓撲性質。 第四部分：基礎代數工具：基本群與覆蓋空間 (第 381 – 550 頁) 第九章：基本群（$pi_1$）的引入 本章標誌著本書從純點集拓撲轉嚮代數拓撲。定義瞭基於一點的路徑群和基本群，闡述瞭它們是如何衡量空間的“洞”的。通過計算 $mathbb{R}^n$ 和圓周 $S^1$ 的基本群，展現瞭其強大的區分能力。 第十章：覆蓋空間理論 詳細介紹瞭覆蓋空間的概念，特彆是有限分支覆蓋。利用基本群的提升（Lifting）性質，推導齣瞭覆蓋空間與基本群之間的深刻聯係，包括度量空間的提升定理。 第十一章：同倫等價與應用 定義瞭同倫（Homotopy）的概念，並基於此定義瞭同倫等價關係。探討瞭基本群在分類同倫等價空間中的作用。 第五部分：微分幾何的開端：光滑流形 (第 551 – 700 頁) 第十二章：拓撲流形的定義 引入瞭 $n$ 維拓撲流形（Topological Manifold）的精確定義，包括局部歐幾裏得性和可數基的條件。討論瞭麯麵（2-流形）的分類問題，如球麵 $S^2$、環麵 $T^2$ 的拓撲結構。 第十三章：光滑結構與切空間 將拓撲概念提升到光滑層次。定義瞭光滑映射和光滑結構（Atlas 與 Transition Map）。引入瞭微分流形上的切空間（Tangent Space）的概念，這是後續微分幾何研究的基礎。 第十四章：張量場與微分形式（初步） 簡要介紹瞭張量場在流形上的定義，並引入瞭 1-形式和微分形式的初步概念，為高等分析在流形上的應用奠定基礎。 第六部分：更高級的同調不變量（概述與連接） (第 701 – 850 頁) 第十五章：對同調論的展望 本章不深入計算復雜的同調群，但詳細解釋瞭這些代數工具（如奇異同調群 $H_n$）是如何係統地補充基本群的局限性，特彆是在處理高維“洞”時。重點闡述瞭歐拉示性數（Euler Characteristic）作為重要的拓撲不變量，及其與黎曼-洛赫定理的深刻聯係。 --- 本書特色 1. 嚴謹性與幾何直覺的平衡： 本書在保持嚴格的數學定義的同時，配有大量的幾何圖例和直觀解釋，確保讀者能夠建立起抽象概念與具體幾何對象之間的聯係。 2. 聚焦於核心不變量： 選取瞭基本群、覆蓋空間和緊緻性作為核心研究對象，這些是後續學習代數拓撲和微分幾何的必經之路。 3. 跨學科連接： 結構上巧妙地從純拓撲過渡到微分流形，為希望進入廣義相對論、微分幾何或幾何分析領域的讀者提供瞭無縫的銜接。 4. 習題設計精良： 每章末尾包含數百道習題，難度分級明確，從基礎概念驗證到開放性研究問題，有助於深化理解和培養獨立解決問題的能力。 --- 讀者對象： 數學專業高年級本科生、研究生，物理學中理論物理方嚮（如弦論、廣義相對論）的研究生，以及對現代幾何學有濃厚興趣的工程師和計算機科學傢。本書要求讀者已具備微積分、綫性代數和基礎實分析的紮實知識。

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