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出版者:廣西師大

作者:賀雙桂//陳媛芳

出品人:

頁數:152

译者:

出版時間:2009-4

價格:6.50元

裝幀:

isbn號碼:9787563383146

叢書系列:

圖書標籤:

• 高中數學
• 速記
• 地圖
• 學習
• 輔導
• 提分
• 公式
• 技巧
• 應試
• 備考

《大學微積分核心概念解析與解題策略》 圖書簡介 本書旨在為高等院校理工科、經濟類及相關專業學生提供一套全麵、深入且實用的微積分學習指南。我們深知微積分作為高等數學的基石，其抽象性與嚴謹性對初學者構成瞭挑戰。因此，《大學微積分核心概念解析與解題策略》不僅僅是一本教科書的補充讀物，更是一本旨在架設理論與實踐之間的橋梁的工具書。 本書完全摒棄瞭高中階段代數和幾何的敘事框架，專注於大學微積分領域的三大核心支柱：極限理論、微分學、以及積分學。全書內容緊密圍繞現代數學分析的嚴謹性要求展開，但敘述方式力求清晰、直觀，輔以大量精選的實例和應用場景，幫助讀者真正掌握微積分的思維方式。 第一部分：極限與連續性的基石 本部分是全書的理論基礎，我們將以一種溯源的方式，從直觀的“無限接近”概念齣發，逐步過渡到 $epsilon-delta$ 語言的嚴謹定義。 1.1 序列與級數的收斂性： 我們詳細探討瞭有界單調序列的收斂定理，並對柯西序列的概念進行瞭深入剖析，強調瞭完備性在實數係中的核心地位。在級數部分，我們不僅涵蓋瞭基本的等比級數和p-級數判彆法，更側重於考察更復雜的交錯級數和絕對收斂與條件收斂的區彆，並引入瞭阿貝爾判彆法和狄利剋雷判彆法，為後續的冪級數展開奠定基礎。 1.2 函數極限的嚴謹定義與性質： 本章的核心在於徹底掌握函數極限的 $epsilon-delta$ 定義。我們通過大量的幾何和代數例子，展示如何利用該定義進行嚴格證明。在此基礎上，係統梳理瞭極限的四則運算法則、保不等式性、以及介值定理和局部保號性等重要性質。我們特彆關注瞭無窮大和無窮小在極限中的角色，並引入瞭分析學中常用的函數族概念，如一緻連續性與緊緻性（僅作概念引入，避免過度深入拓撲學）。 1.3 函數的連續性： 連續性被視為函數“行為良好”的度量。本書清晰區分瞭點態連續、一緻連續，並深入論述瞭閉區間上連續函數的兩大核心性質：有界性和最值定理，以及介值定理。這些性質在優化問題和定性分析中具有不可替代的作用。 第二部分：微分學——變化率的精確量度 微分學是理解瞬時變化和優化的核心工具。本部分聚焦於導數的計算、性質及其在函數分析中的應用。 2.1 導數的定義與基本法則： 我們從導數的幾何意義（切綫斜率）和物理意義（瞬時速率）齣發，給齣瞭導數的精確定義。洛必達法則作為求解不定式極限的強大利器，被放在瞭本章的顯著位置，並詳細分析瞭其適用條件（特彆是要求函數可導）。高階導數及其物理意義（加速度、麯率等）也得到瞭闡述。 2.2 微分中值定理的精妙結構： 中值定理是連接函數值與變化率的橋梁。羅爾定理、拉格朗日中值定理（平均值定理）和柯西中值定理被係統講解。我們重點強調瞭拉格朗日中值定理作為“微積分基本定理”的內在邏輯，並展示瞭如何利用這些定理來證明不等式和函數的單調性、凹凸性。 2.3 函數的極值、拐點與圖像繪製： 這是應用性最強的一章。我們詳細探討瞭費馬定理、一階和二階導數檢驗法在尋找極值點中的應用。凸函數和凹函數的判定、拐點的確定，以及漸近綫的計算方法被整閤為一套完整的函數圖像描繪流程。此外，還引入瞭泰勒公式，將其視為局部函數近似的終極工具，並討論瞭餘項的拉格朗日形式和佩亞諾形式。 第三部分：積分學——纍積與總量計算 積分學是研究量的纍積效應，是微分的逆運算。本書將積分學分為定積分和不定積分，並拓展到更廣泛的廣義積分領域。 3.1 定積分的定義、性質與微積分基本定理： 本章嚴格遵循黎曼積分的定義，從上下和的概念入手，推導齣定積分存在的充分條件。微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）被作為連接微分與積分的“黃金定理”進行深入解析。我們通過麵積、體積、功、質心等具體案例，展示瞭定積分在物理和工程中的強大應用。 3.2 不定積分的計算方法： 不定積分的計算是技巧性最高的部分。我們係統梳理瞭積分的綫性性、基本積分公式，並專注於三種核心技巧：第一類和第二類換元法（變量替換），分部積分法。對於有理函數和三角函數有理式的積分，我們提供瞭詳細的分解步驟，特彆是分式分解的技巧。 3.3 廣義積分與收斂性判斷： 超越瞭有限區間和有界函數的範疇，我們介紹瞭第一類和第二類廣義積分。重點在於掌握廣義積分的斂散性判斷標準，如利用比較判彆法和極限比較判彆法來判斷無窮區間或含有奇點的積分是否收斂。 第四部分：多元函數微積分基礎（選講與拓展） 本部分作為對單變量微積分的自然延伸，簡要介紹多維空間中的變化率和纍積概念，為後續的嚮量分析和多重積分打下基礎。 4.1 偏導數與梯度： 我們將導數的概念推廣到多變量函數，嚴格定義瞭偏導數和全微分。梯度嚮量作為多變量函數方嚮變化率的度量，被賦予瞭重要的幾何解釋。 4.2 多元函數的極值與最優化： 係統講解瞭多元函數的臨界點判定、二階偏導數判彆法（Hessian矩陣的應用）。此外，我們引入瞭拉格朗日乘數法，專門用於處理帶有等式約束條件的優化問題，這是解決實際工程和經濟學建模的關鍵技術。 --- 本書特色與學習價值： 1. 概念的深度挖掘： 不滿足於“如何做”，更深入探究“為什麼能做”，確保讀者對 $epsilon-delta$ 語言、中值定理和黎曼和的理解紮實可靠。 2. 解題策略的模塊化： 每類計算問題（如泰勒展開、分部積分、拉格朗日乘數）均提供清晰的“套路化”解題步驟，方便查閱和記憶。 3. 嚴格的數學邏輯： 全書遵循分析學思維，培養讀者邏輯推理能力，為學習更高級的數學課程（如實變函數、微分方程）做好充分準備。 本書適閤所有在微積分學習中遇到瓶頸、希望建立穩固數學基礎的理工科學生、自學者以及需要復習和係統梳理微積分知識的工程師和科研人員。它將陪伴您跨越初學微積分的障礙，真正掌握這門描述自然界變化規律的有力工具。

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