Random Walks, Brownian Motion and Interacting Particle Systems (Progress in Probability) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Birkhauser Verlag AG

作者:

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1991-12

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764335090

丛书系列:

图书标签:

随机游走
布朗运动
相互作用粒子系统
概率论
数学物理
随机过程
偏微分方程
马尔可夫链
概率模型
数理统计

下载链接在页面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 复制链接

想要找书就要到本本书屋

onlinetoolsland.com

立刻按 ctrl+D收藏本页

你会得到大惊喜!!

具体描述

《随机游走、布朗运动与相互作用粒子系统》内容概述导言：概率论在复杂系统中的基石本书深入探讨了现代概率论在描述和分析复杂物理、生物和社会系统中随机现象的核心地位。我们将聚焦于三个紧密关联且在数学和应用领域都极具影响力的主题：随机游走、布朗运动以及相互作用粒子系统。这些概念不仅是理解微观世界随机性的基础工具，也是构建宏观现象预测模型的关键支柱。全书力求在严谨的数学框架下，展现这些理论如何被应用于解决从金融市场波动到生命体内部分子扩散等跨学科问题。 --- 第一部分：随机游走——离散世界的随机性建模随机游走是研究离散时间、离散空间中随机过程的最基础模型。本部分将系统地介绍其核心概念、基本性质及其在不同场景下的推广。 1. 随机游走的构造与基本性质我们将从最简单的一维对称随机游走开始，定义其转移概率、时间演化以及位置分布的精确表达。重点分析以下关键量：期望位移与方差：证明在对称游走中，期望位移为零，而均方位移（Mean Squared Displacement, MSD）与时间呈线性关系，即 $ ext{MSD} propto t$。这为后续的连续时间模型奠定了基础。首次到达时间（First Passage Time）：详细分析粒子首次回到原点或到达特定边界所需的时间的分布特性，这在排队论和可靠性理论中至关重要。再访概率（Recurrence and Transience）：深入探讨游走在不同维度上的性质。严格证明一维和二维随机游走是“常返的”（Recurrent，即最终必然返回原点），而三维及以上维度则是“暂留的”（Transient，即返回原点的概率小于 1）。这一拓扑学上的差异深刻影响了扩散过程的长期行为。 2. 随机游走的推广与变体为了更贴近实际应用，我们将讨论非对称游走和更高维度的扩展：非对称随机游走：研究当向前和向后移动的概率不等时（$p eq 1/2$），游走最终的漂移方向和速度，以及极限分布的存在性。多维随机游走：扩展到二维和三维格点上的游走，分析粒子在平面或空间中的传播效率，并引入格点上的自避免游走（Self-Avoiding Walks, SAWs）概念，尽管后者在本质上更偏向于统计物理。 3. 极限理论：从离散到连续随机游走理论的精髓在于其能够通过合适的尺度变换收敛到连续时间过程。我们将详细阐述尺度极限的过程，为下一部分布朗运动的严格定义铺平道路。 --- 第二部分：布朗运动——连续空间的随机流体布朗运动（或维纳过程）是描述连续时间、连续空间中随机过程的标准模型，它在数学上是随机游走在时间步长趋于零和步长趋于零的极限。 1. 维纳过程的严格定义与性质布朗运动 $(mathbf{W}(t))_{t ge 0}$ 的定义基于其四个基本公理：独立增量：在不相交的时间区间上，增量是相互独立的随机变量。平稳增量：增量的分布仅依赖于时间间隔的长度，而非起始时间点。正态性：增量 $mathbf{W}(t) - mathbf{W}(s)$ 服从均值为零、方差为 $|t-s|$ 的正态分布。连续轨迹：过程的样本路径几乎处处连续。我们将深入分析其路径的深层特征，例如处处不可微性、瞬时速度的不存在性，以及布朗运动路径的勒贝格测度和分形维度（Hausdorff 维数为 $1.5$）。 2. 随机微积分的基础要处理布朗运动驱动的微分方程，必须引入随机微积分。本部分将重点介绍：伊藤积分（Itô Integral）：解释为何传统的黎曼-斯蒂尔切斯积分无法应用于布朗运动，并给出伊藤积分的严格构造，强调其非预见性（Non-anticipating）的性质。伊藤引理（Itô’s Lemma）：作为随机微积分中最核心的链式法则，展示如何计算布朗运动函数的变化率，这是随机微分方程（SDEs）求解的基础。几何布朗运动：研究形如 $dS_t = mu S_t dt + sigma S_t dW_t$ 的方程，并展示其精确解在金融衍生品定价（如 Black-Scholes 模型）中的关键作用。 3. 扩散过程的停留与遍历性分析布朗运动如何与势场相互作用，特别是当其作为随机力在势能 $V(x)$ 中运动时，如何达到平稳分布（即玻尔兹曼分布）。这直接关联到物理学中的扩散方程（Fokker-Planck 方程）。 --- 第三部分：相互作用粒子系统——从个体到群体的涌现行为当大量的、相互影响的随机个体聚集在一起时，系统会展现出宏观的、往往是确定性的涌现行为。本部分将视角从单个随机过程转向多体系统的统计力学描述。 1. 宏观极限的工具：中心极限定理与大数定律在引入相互作用之前，首先要利用强大的概率工具来理解大量独立粒子的平均行为：粒子平均场（Mean-Field）的收敛性：利用中心极限定理证明，在粒子数量 $N o infty$ 时，系统的平均值会依概率收敛到一个确定的函数，即从微观随机性过渡到宏观确定性。 2. 经典的相互作用模型我们将详细分析两个具有代表性的相互作用模型，它们是研究相变、集体运动和同步现象的基础： Vlasov 方程的概率视角（或 Vlasov-Fokker-Planck 系统）：描述了粒子在平均力场作用下的演化。我们将关注如何从 $N$ 个相互作用粒子的随机动力学方程，通过某种尺度限制，推导出描述粒子密度分布的平均场偏微分方程。霍普夫纳（Hopfield）神经网络/伊辛模型（Ising Model）的演化：虽然伊辛模型通常在统计物理中讨论，但其动态演化（如 Glauber 动力学）本质上是具有相互作用的随机游走过程。重点分析在不同温度下（对应于噪声强度）系统是趋于有序还是无序。 3. 粒子系统的平衡态与非平衡态平衡态分析：探讨系统在时间趋于无穷大时，如何收敛到基于能量最小化的平稳分布（如吉布斯分布）。非平衡态的挑战：分析当系统持续受到外部驱动或存在耗散时，如何使用鞅论、熵流和涨落定理等工具来描述其稳态行为，特别是速度或信息流的维持。 --- 结论本书通过对随机游走、布朗运动的精确刻画，及其在复杂系统中的宏观极限——相互作用粒子系统——的分析，构建了一个从微观随机性到宏观涌现现象的完整概率论框架。掌握这些工具，对于处理现代科学中涉及不确定性、扩散和集体行为的问题至关重要。