具體描述
《概率論與數理統計》（第4版） 內容概要 本書是一本旨在全麵介紹概率論和數理統計基本理論、方法及其應用的教材。全書共分為十六章，循序漸進地從概率的基本概念講起，逐步深入到隨機變量、隨機嚮量、數理統計的推斷方法，並最終延伸到實際應用。內容緊扣學科發展前沿，力求理論的嚴謹性與方法的實用性相結閤，同時注重數學思想的滲透與訓練。 第一篇 概率論基礎 第一章 隨機事件與概率： 本章首先引入瞭隨機現象和隨機事件的概念，通過對大量重復試驗結果的統計規律性進行分析，自然地引齣瞭概率這一核心概念。我們區分瞭古典概型、幾何概型以及基於頻率的統計概型，並詳細闡述瞭概率的基本性質，如非負性、規範性、可列可加性等。在此基礎上，引入瞭條件概率和獨立性，這是理解復雜隨機過程和進行概率推斷的重要基石。條件概率的概念不僅幫助我們理解“已知某事發生的情況下另一事件發生的可能性”，更在後續的許多理論推導中發揮關鍵作用。獨立性則為簡化概率計算和模型構建提供瞭便利。通過大量的例子，如擲骰子、抽簽、産品抽檢等，幫助讀者建立對概率的直觀認識。 第二章 隨機變量及其分布： 這一章聚焦於隨機變量的概念，它是刻畫隨機現象數量結果的重要工具。我們區分瞭離散型隨機變量和連續型隨機變量，並詳細介紹瞭它們的概率分布律（概率質量函數）和概率密度函數。對於離散型隨機變量，我們將重點放在瞭泊鬆分布、二項分布、幾何分布等常見分布的模型構建與性質分析。對於連續型隨機變量，我們深入探討瞭指數分布、均勻分布、正態分布及其相關參數的意義。特彆地，正態分布因其在自然界和社會科學中的廣泛應用而被給予瞭重點關注，其“鍾形”麯綫的特性以及與中心極限定理的聯係將在後續章節中進一步闡述。此外，本章還引入瞭隨機變量的期望和方差，它們是描述隨機變量取值集中趨勢和離散程度的兩個重要統計量，為後續的統計推斷奠定瞭基礎。 第三章 多維隨機變量及其分布： 現實世界中的許多隨機現象並非由單一隨機變量刻畫，而是由多個隨機變量共同決定。本章將研究對象擴展到多維隨機變量，包括二維離散型和連續型隨機變量。我們詳細闡述瞭聯閤分布、邊緣分布以及條件分布的概念。聯閤分布描述瞭多個隨機變量取值的聯閤概率，邊緣分布則可以從聯閤分布中分離齣單個隨機變量的分布，而條件分布則揭示瞭當一個隨機變量取特定值時，其他隨機變量的概率特性。本章的重點之一是協方差和相關係數，它們是衡量兩個隨機變量之間綫性關係的統計量，有助於我們理解變量之間的依賴程度。最後，我們還將介紹一些重要的多維分布，如多維正態分布，並分析其在統計建模中的應用。 第四章 隨機變量的數字特徵： 這一章是對前兩章內容的進一步提煉和概括，旨在係統地梳理和深入理解隨機變量的各種數字特徵。我們詳細討論瞭期望的計算方法，包括離散型和連續型隨機變量的期望公式，以及期望的綫性性質。方差的計算公式、性質以及與標準差的關係也被清晰地闡述。本章還會介紹高階矩，如偏度（衡量分布的不對稱性）和峰度（衡量分布的尖峭程度），這些統計量能夠提供更豐富的分布信息。對於多維隨機變量，我們將深入研究協方差矩陣，它不僅包含瞭變量之間的成對協方差，還通過對角綫元素揭示瞭各個變量的方差，是理解多變量數據結構的重要工具。 第五章 隨機變量的獨立性與大數定理： 獨立性是概率論中的一個核心概念，本章將深入探討隨機變量的獨立性判定方法及其重要性。我們區分瞭兩個隨機變量獨立與不相關的區彆，並給齣瞭判定方法。接著，我們將目光投嚮大數定理，這是連接樣本統計量與總體參數的重要橋梁。本章將介紹切比雪夫大數定理和伯努利大數定理，它們都錶明，隨著樣本量的增加，樣本均值將依概率收斂於總體期望。大數定理的存在使得統計推斷成為可能，因為我們可以通過有限的樣本來估計無限總體的信息。 第六章 中心極限定理： 中心極限定理是概率論中最重要、最深刻的定理之一。本章將詳細闡述中心極限定理，特彆是林德伯格-列維中心極限定理。該定理錶明，無論原始總體服從何種分布（隻要滿足一定條件），大量的獨立同分布隨機變量的均值（或其標準化形式）的分布都將趨近於標準正態分布。這個強大的結果極大地簡化瞭統計推斷，因為它使得我們可以對各種總體的均值進行近似推斷，即使我們對其原始分布知之甚少。我們將通過圖示和計算示例來直觀地展示中心極限定理的威力，並解釋其在統計學中的關鍵作用。 第二篇 數理統計基礎 第七章 樣本與抽樣分布： 數理統計的核心在於通過樣本來推斷總體的性質。本章首先介紹樣本的概念，包括簡單隨機樣本的含義和選取方法。隨後，我們將重點介紹統計量，即由樣本構成的函數，它們是用來估計總體參數的。特彆地，我們將詳細討論樣本均值、樣本方差等統計量的抽樣分布。理解統計量的抽樣分布是進行統計推斷的基礎，例如，樣本均值的抽樣分布就與中心極限定理緊密相關。此外，本章還將介紹一些重要的抽樣分布，如卡方分布、t分布和F分布，它們在後續的參數估計和假設檢驗中扮演著至關重要的角色。 第八章 參數估計： 在實際問題中，我們常常需要估計總體的未知參數，例如總體的均值、方差等。本章將介紹參數估計的兩種主要方法：點估計和區間估計。在點估計方麵，我們將介紹矩估計法和最大似然估計法，並討論它們的優良性質，如無偏性、一緻性和有效性。最大似然估計法尤其重要，它能夠根據樣本數據找到最有可能産生這些數據的參數值。在區間估計方麵，我們將介紹置信區間的概念，即根據樣本數據構造一個區間，該區間以一定的概率包含真實總體參數。我們將針對不同的參數（均值、方差等）和不同的樣本大小，推導齣相應的置信區間，並解釋置信水平的含義。 第九章 假設檢驗： 假設檢驗是數理統計中用於對總體的某些性質做齣決策的統計方法。本章將係統地介紹假設檢驗的基本原理和步驟。我們首先區分瞭原假設（零假設）和備擇假設，並介紹瞭檢驗統計量的選取和構建。然後，我們將詳細闡述如何根據檢驗統計量的分布來判斷是否拒絕原假設，並引入瞭顯著性水平、P值、第一類錯誤（棄真）和第二類錯誤（取僞）等重要概念。本章將針對均值、方差等參數，介紹多種常見的假設檢驗方法，如t檢驗、F檢驗、卡方檢驗等，並通過具體的案例分析，演示如何運用這些方法解決實際問題。 第十章 方差分析： 方差分析（ANOVA）是一種用於比較兩個或多個組均值是否相等的統計方法，它在農業、醫學、工程等領域有廣泛應用。本章將介紹單因素方差分析和多因素方差分析的基本原理。我們將通過將總變異分解為組間變異和組內變異，來判斷不同處理或因素對結果的影響程度。本章將詳細介紹方差分析的計算步驟，以及如何解釋方差分析錶中的F統計量和P值，從而得齣關於各組均值是否相等的結論。 第十一章 迴歸分析： 迴歸分析是研究變量之間綫性關係的重要統計工具，它能夠幫助我們建立數學模型來描述一個變量（因變量）與一個或多個其他變量（自變量）之間的關係。本章將從簡單綫性迴歸開始，介紹迴歸方程的建立、迴歸係數的估計以及迴歸方程的顯著性檢驗。隨後，我們將擴展到多元綫性迴歸，介紹如何處理多個自變量的情況。本章還將討論迴歸模型的擬閤優度檢驗，以及如何利用迴歸模型進行預測。 第十二章 非參數統計： 當我們對總體的分布形式不確定，或者數據不滿足參數檢驗的某些假設時，非參數統計方法就顯得尤為重要。本章將介紹一些常用的非參數統計方法，例如，秩和檢驗（如Wilcoxon秩和檢驗）用於比較兩組或多組數據的中位數，符號檢驗用於檢驗總體中位數是否等於某個特定值，以及Spearman秩相關係數用於度量兩個變量之間的單調關係。這些方法不依賴於對總體分布的假設，因此具有更廣泛的應用範圍。 第三篇 應用與專題 第十三章 質量控製： 質量控製是數理統計在工業生産中最成功的應用之一。本章將介紹統計過程控製（SPC）的基本原理和常用工具，如控製圖。我們將詳細講解如何構建和解釋各種控製圖（如X-bar控製圖、R控製圖、P控製圖等），以監測生産過程是否處於穩定狀態，及時發現和排除導緻産品質量波動的因素。本章還將介紹抽樣檢驗在質量控製中的應用，例如，如何根據産品的不閤格率來決定是否接受或拒收一批産品。 第十四章 實驗設計： 科學研究和工程實踐中的實驗設計旨在以最有效的方式收集數據，以便對研究對象做齣可靠的結論。本章將介紹實驗設計的基本原則，包括隨機化、重復和區組化。我們將介紹一些經典的實驗設計方案，如完全隨機設計、隨機區組設計和拉丁方設計，並討論如何根據實驗目的和研究條件選擇閤適的實驗設計方案。 第十五章 濛特卡羅方法與模擬： 濛特卡羅方法是一種利用隨機抽樣來近似求解復雜數學問題的方法，它在概率統計、數值計算、金融建模等領域有著廣泛的應用。本章將介紹濛特卡羅方法的基本思想，包括隨機數的生成，以及如何利用濛特卡羅方法來估計概率、計算期望、求解積分等。本章還將通過一些具體的例子，展示濛特卡羅模擬在解決實際問題中的強大能力。 第十六章 貝葉斯統計簡介： 貝葉斯統計是一種與經典統計學不同的推斷框架。本章將簡要介紹貝葉斯統計的基本思想，包括先驗分布、似然函數和後驗分布的概念。我們將展示如何利用貝葉斯定理來更新我們對參數的認識，並解釋貝葉斯方法與經典方法的區彆和聯係。本章旨在為讀者提供一個初步的瞭解，激發進一步學習的興趣。 本書特色 理論嚴謹與方法實用並重： 本書在闡述概率論與數理統計基本理論的同時，也注重介紹各種統計方法的實際應用，力求理論的嚴謹性與方法的實用性相結閤。 由淺入深，循序漸進： 知識點的編排遵循由易到難、由簡到繁的原則，幫助讀者逐步建立紮實的學科基礎。 概念清晰，講解透徹： 對核心概念的定義和解釋力求準確、清晰，避免含糊不清之處，並通過豐富的例證加以說明。 注重數學思想培養： 在講解過程中，滲透數學思想，引導讀者理解概率論與數理統計背後的邏輯和方法論。 配備豐富的例題和習題： 每章都配有大量的例題，覆蓋瞭各種典型問題，並提供有不同難度層次的習題，供讀者練習和鞏固。 本書適閤高等院校理工科專業本科生作為教材使用，也可作為研究生、科研人員及相關領域從業人員學習和參考的讀物。通過學習本書，讀者將能夠掌握概率論與數理統計的基本理論和方法，並將其應用於解決實際問題，提高分析和解決問題的能力。
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