Formelsammlung Höhere Mathematik. pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Deutsch (Harri)

作者:Barbara Ralle

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1999-01-01

價格:0

裝幀:Paperback

isbn號碼:9783817115921

叢書系列:

圖書標籤:

• 工具書
• 數學公式
• 高等數學
• 數學手冊
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• 數學

好的，這是一本名為《Formelsammlung Höhere Mathematik》的圖書的詳細內容簡介，它不包含您提到的那本書的任何內容。 --- 《歐幾裏得的遺産：幾何與拓撲的精妙構建》 導言：空間、結構與測量的藝術 在人類文明的長河中，對空間、形狀和它們之間關係的探索從未停歇。從古巴比倫的土地測量到文藝復興時期的透視藝術，再到現代物理學對時空結構的深刻洞察，幾何學始終是理性思維的基石。《歐幾裏得的遺産：幾何與拓撲的精妙構建》並非一本冰冷的公式匯編，而是一部帶領讀者深入理解空間本質、結構變換及其內在不變性的深度導覽手冊。 本書的定位是為高等數學、理論物理、計算機圖形學、數據科學以及工程領域的研究人員、高級學生和專業人士提供一個全麵、係統且富含直覺洞察的幾何與拓撲學知識庫。我們聚焦於從經典歐幾裏得幾何的嚴謹邏輯齣發，逐步過渡到更抽象、更具普適性的黎曼幾何、微分幾何和代數拓撲的基本概念，強調幾何直觀與分析工具的結閤。 第一部分：歐幾裏得空間的高級視角 本部分旨在鞏固讀者對經典幾何的理解，但會采用現代分析的視角來重構這些概念，特彆是強調嚮量空間結構和內積對幾何的影響。 第一章：歐幾裏得空間中的剛體運動與坐標變換 基礎綫性代數迴顧與幾何解釋： 嚮量空間、內積空間、施密特正交化在三維空間中的直觀意義。 正交矩陣與鏇轉： 鏇轉矩陣的性質、歐拉角係統及其局限性、四元數（Quaternions）在描述三維鏇轉中的優勢與應用，特彆是在剛體動力學中的關鍵作用。 歐幾裏得群（Euclidean Group）： 剛體運動的群論結構，平移與鏇轉的半直積性質。 二次型與二次麯麵分類： 利用特徵值分解對橢球、雙麯麵、拋物麵進行規範化分類，並探討它們在物理場中的應用。 第二章：微分幾何的起點——麯綫與麯麵的局部分析 本章將經典微分學工具應用於空間中的幾何對象，奠定後續微分幾何的基礎。 空間麯綫的微分幾何： 弧長參數化、切嚮量、主法嚮量和從法嚮量構成的弗雷內-塞雷（Frenet-Serret）標架。麯率與撓率的物理意義（如何描述麯綫的彎麯和扭轉）。 麯麵的第一、第二基本形式： 內蘊（Intrinsic）與外蘊（Extrinsic）幾何的初步區分。度量張量（First Fundamental Form）如何決定麯麵上的測地距離。 麯率的深入研究： 概念性地引入高斯麯率（Gaussian Curvature）和平均麯率（Mean Curvature）。高斯絕妙定理（Theorema Egregium）的深刻內涵——麯率是內蘊的。 第二部分：黎曼幾何與廣義相對論的幾何基礎 本部分是本書的核心，專注於推廣歐幾裏得幾何至彎麯空間，引入張量分析的強大框架。 第三章：流形的概念與切空間結構 拓撲流形基礎： 局部歐幾裏得性、開復蓋、圖冊（Atlas）和坐標變換。流形作為“披著歐幾裏得外衣的彎麯空間”的直觀理解。 張量場的定義與運算： 協變、反變張量，張量場的微分（協變導數與散度）。理解張量在坐標變換下的行為是區分其幾何本質的關鍵。 切空間與切叢： 切嚮量如何捕捉流形上“方嚮”的信息。嚮量場和微分形式（Differential Forms）的引入。 第四章：聯絡、測地綫與黎曼麯率張量 聯絡的引入： 如何定義嚮量在流形上“平行移動”的概念。剋裏斯托費爾符號（Christoffel Symbols）——聯絡的坐標錶示，及其與度量張量（Metric Tensor）的關係。 測地綫方程： 彎麯空間中的“直綫”——測地綫的微分方程，及其在廣義相對論中描述自由落體運動的核心作用。 黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）： 對空間彎麯程度的精確刻畫。麯率的翻轉對稱性，以及體積形式的彎麯效應。 第五章：黎曼幾何的應用與張量分析工具箱 裏奇張量與斯卡拉麯率： 從黎曼麯率張量降階得到的關鍵幾何量，它們與能量動量張量的直接聯係。 外微分與霍奇理論的萌芽： 德拉姆上同調（de Rham Cohomology）的幾何視角——“洞”的代數拓撲錶述。 測地麯率與高斯-邦內特定理： 闡釋內蘊幾何的強大結論，即麯率在局部上的積分（拓撲性質）與全局拓撲特徵之間的深刻聯係。 第三部分：拓撲學的核心思想與應用 本部分脫離瞭距離和角度的概念，轉而關注空間在連續形變下的不變性質。 第六章：拓撲空間與連續性 拓撲空間的嚴格定義： 開集、閉集、鄰域和連續映射。拓撲空間作為最一般的“空間”概念。 度量空間與拓撲空間的關係： 哪些拓撲性質可以從度量中導齣，哪些不能。完備性（Completeness）的概念及其在分析中的重要性。 同胚（Homeomorphism）與拓撲不變量： 拓撲學的核心問題——什麼樣的形變是允許的。 第七章：連通性、緊緻性與基本群 連通性與路徑連通性： 空間是否可以被分成不相交的部分。 緊緻性（Compactness）： 局部緊緻性與 Heine-Borel 定理的推廣。 基本群（Fundamental Group）： 描述空間中“環路”結構的不變量。圓周的 $pi_1$ 性質，以及如何用它來區分拓撲上不同的空間（如環麵與球麵的區彆）。 第八章：同調理論的初步接觸 鏈復形與邊界算子： 從組閤學的角度構建代數工具來研究拓撲。 同調群的直覺： 用代數群來“計數”拓撲空間中的洞（高維的洞）。從球麵到環麵的同調群計算示例。 結語：從歐幾裏得到現代物理的橋梁 《歐幾裏得的遺産》旨在展示幾何學並非靜止的教條，而是一門持續演進的動態科學。它為讀者提供瞭一套從分析到幾何、從局部到整體的強大思維框架。掌握這些工具，讀者將能夠更深入地理解從經典力學中的坐標變換，到廣義相對論中的時空彎麯，再到現代計算機科學中對復雜數據結構的拓撲分析等前沿領域。本書的價值在於它構建的橋梁——連接瞭嚴謹的分析基礎與宏大的空間想象力。

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這本《Formelsammlung Höhere Mathematik》的編排實在讓人眼前一亮，它不像那種堆砌公式的冷冰冰的參考書。首先，從裝幀和紙張的選擇上就能感受到齣版方的用心，拿在手裏沉甸甸的，翻閱時也不會有廉價感。我特彆欣賞它在內容組織上的邏輯性。高等數學的學習往往伴隨著概念的抽象和公式的繁復，很多教材習慣於將所有知識點一股腦地拋齣來。然而，這本書似乎是站在一個實際解題者的角度來構建知識體係的。它不是簡單地羅列定理，而是通過清晰的闆塊劃分，將微積分、綫性代數、微分方程等核心分支進行瞭有效的整閤。比如，在處理特定類型的積分問題時，它會非常巧妙地將相關的變換公式和特殊函數的性質放在一起進行對比展示，這種並置的結構極大地減輕瞭我在不同章節間來迴翻閱尋找關聯的負擔。更值得稱道的是，它對於一些關鍵公式的推導背景或適用條件的注釋非常到位，雖然沒有詳細的證明過程（畢竟是公式集），但那些簡短的提示往往能幫助我迅速迴憶起在課堂上老師強調的那些“陷阱”所在，避免在計算中齣現方嚮性的錯誤。這種對實用性的極緻追求，讓它成為瞭我書桌上最常被翻開的那一本工具書，遠超齣瞭我對一本“公式集”的初始期望。

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這本書給我最大的感受是它對“跨領域知識連接”的重視。高等數學的學習者經常遇到的睏境是，綫性代數的知識和微積分的知識點在實際應用中往往需要同時調用，但不同章節的組織結構使得這種調用變得睏難。這本書的編輯似乎意識到瞭這一點，它在某些關鍵的交叉點上設置瞭“參考指嚮”。比如，在討論多元函數極值和拉格朗日乘數法時，它會用一個非常醒目的小框提示讀者迴顧相關矩陣的秩和行列式性質。這種設計的好處是，它強迫讀者在應用復雜工具時，必須迴顧其前提條件，從而加深對理論基礎的理解，而非僅僅停留在機械的計算層麵。這比那些隻會把公式並列在一起的書要高明得多。這種內在的關聯性，使得這本書不僅僅是一本“死”的公式庫，而是一個有生命的知識網絡，鼓勵使用者主動地在知識點之間建立聯係，對於構建紮實的數學思維框架非常有幫助。

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從教學法和學習輔助的角度來看，這本書的結構設計無疑是經過深思熟慮的。它非常適閤作為正在學習高數課程的學生，或者需要重拾基礎知識的工程師作為輔助教材。我尤其欣賞它在排版上所體現齣的“視覺層次感”。例如，當涉及到不同維度的嚮量空間或不同階的微分方程時，作者會通過字體大小、粗細甚至是小圖標來區分概念的層級，這種非文本的提示機製，極大地增強瞭信息的可提取性。不像有些德語教材那種一闆一眼的、全等寬字體印刷，這本書的版麵設計更具有現代感，長時間閱讀下來眼睛不容易疲勞。此外，它對單位和量綱的標注也做得非常細緻，這在物理和工程背景下的數學應用中至關重要，可以有效避免因為單位混淆而導緻的計算錯誤。總而言之，它成功地將一本旨在查閱的工具書，轉化成瞭一本可以“沉浸式”學習的參考資料，閱讀體驗堪稱一流。

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深入使用一段時間後，我發現這本書在細節處理上的匠心獨白，是真正體現其價值的關鍵所在。市麵上的很多公式匯編，要麼過於精簡導緻信息缺失，要麼過於冗長失去參考效率。這本書巧妙地找到瞭一個平衡點。舉個例子，在綫性代數部分，關於特徵值和特徵嚮量的計算流程，它沒有用大段的文字描述，而是采用瞭流程圖式的簡潔錶達，配以關鍵的矩陣運算符號，這對於需要快速迴顧解題步驟的讀者來說，效率提升是立竿見影的。再者，它對一些不太常見的特殊函數（比如伽馬函數、貝塞爾函數）的性質和級數展開式進行瞭相當詳盡的收錄，這些往往是教材中輕描淡寫的，但在處理高級應用問題時卻不可或缺。我記得有一次我卡在一個涉及到復變函數留數定理的計算上，翻遍瞭常用的參考書都覺得不夠直接，最後在這本“公式集”中找到瞭一個關於特定積分路徑的收斂條件的速查錶，瞬間茅塞頓開。這種深度和廣度兼備的特點，讓它不僅僅是一個公式的搬運工，更像是一位經驗豐富的老教授在你身邊低聲提點，幫你節省瞭大量整理和驗證信息的時間。

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坦白講，對於那些隻求通過考試、對數學原理不感興趣的讀者來說，這本書或許顯得有些“過重”。但對於真正想在數學領域深耕的人，它的價值就顯現齣來瞭。它對於一些晦澀的、在初級階段很少被提及的“邊緣知識”的收錄，體現瞭作者的專業深度和對全麵性的追求。例如，其中關於勒讓德多項式或球麵調和函數的某些特定積分公式的精確錶述，在標準的本科教材中幾乎是找不到的，但對於從事數值分析或場論計算的研究者來說，卻是至關重要的捷徑。此外，這本書在處理不等式方麵也頗有建樹，收集瞭許多經典不等式（如赫爾德不等式、閔可夫斯基不等式）的推廣形式，這在優化問題和誤差分析中極具威力。它不是一本讓你“輕鬆”通過考試的書，而是一本在你麵對真正具有挑戰性的數學問題時，能夠提供堅實理論後盾的寶藏。使用它，你會感覺到自己的數學工具箱被係統性地升級瞭。

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