Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Waldschmidt, Michael; Waldschmidt, Michel;

出品人:

頁數:659

译者:

出版時間:

價格:1660.00元

裝幀:

isbn號碼:9783540667858

叢書系列:

圖書標籤:

• Diophantine approximation
• Linear algebraic groups
• Number theory
• Algebraic geometry
• Arithmetic geometry
• Transcendental number theory
• Heights
• Subgroups
• Measure theory
• Dynamics

《丟番圖逼近在代數群上的研究》 引言 數學，這門研究數量、結構、空間和變化等抽象概念的科學，其魅力在於其深刻的內在邏輯和不斷拓展的邊界。在數學的眾多分支中，數論與代數幾何的交匯點，特彆是關於代數群的研究，一直以來都是數學傢們探索的沃土。丟番圖逼近，作為數論的一個經典領域，其核心在於用有理數去逼近實數，其研究對象從簡單的實數延伸至更抽象的代數結構，將為我們理解和解決一係列深刻的數學問題提供新的視角和強大的工具。 本書《丟番圖逼近在代數群上的研究》正是這樣一部聚焦於這一前沿領域的學術專著。它深入探討瞭丟番圖逼近的理論如何被巧妙地應用於代數群的結構和性質的研究中，揭示瞭兩個看似獨立的數學領域之間深層次的聯係。本書旨在為研究者和高年級學生提供一個全麵而深入的理論框架，讓他們能夠掌握使用丟番圖逼近方法來分析代數群的最新進展。 第一章：基礎概念的迴顧與鋪墊 為瞭使本書的讀者能夠順利地進入到核心的研究內容，第一章將從最基礎的概念齣發，係統地迴顧和梳理必要的背景知識。 數論基礎： 我們將首先迴顧丟番圖逼近的基本思想，包括狄利剋雷逼近定理、連分數理論及其在逼近實數方麵的基本應用。我們將強調這些概念的直觀意義以及它們在早期數論研究中的重要地位。此外，本書還將觸及一些更高級的數論概念，如代數數、整環和理想論，這些概念將為後續討論代數數域上的逼近問題奠定基礎。 代數群的入門： 緊接著，我們將介紹代數群的基本定義和分類。代數群可以被理解為既是代數簇又是群的結構，它將代數幾何的幾何直覺與群論的代數結構相結閤。我們將介紹一些重要的代數群，如一般綫性群 $GL_n$、特殊綫性群 $SL_n$、正交群 $O_n$ 和辛群 $Sp_{2n}$ 等，並簡要說明它們在數學和物理學中的應用。我們將側重於代數群作為一種幾何對象的性質，例如其維度、連通性和有理點集。 範疇論的視角： 在現代數學研究中，範疇論提供瞭一種統一的語言來描述不同數學結構之間的關係。本書將適時引入範疇論的一些基本概念，如函子、自然變換和等價，以幫助讀者理解代數群的範疇及其與特定數學對象的對應關係。這將為更抽象的研究奠定必要的基礎。 第二章：丟番圖逼近在代數簇上的推廣 丟番圖逼近最初關注的是對實數或代數數的逼近。本書將逐步將這一概念推廣到更一般的代數簇上。 代數簇上的點與逼近： 我們將探討在代數簇（例如，由多項式方程定義的幾何對象）上的點集，特彆是其有理點集。丟番圖逼近在代數簇上的研究，可以理解為用代數簇上有理點的“逼近”其他點（例如，通過特定嵌入的實點或復點）。本書將引入“代數逼近”的概念，即使用代數簇上的有理點去逼近該簇上的其他點，特彆是在幾何意義下的逼近。 代數簇的結構與逼近的聯係： 我們將分析代數簇的幾何結構，如其維度、光滑性、奇點以及其上定義的嚮量叢等，是如何影響其上點集的可逼近性的。例如，光滑代數簇上的點可能比具有復雜奇點的點更容易被逼近。本書將深入探討代數簇的性質，例如其虧格、基本群等，與點集逼近性質之間的深層聯係。 經典結果的延展： 將迴顧和分析一些將丟番圖逼近的思想推廣到代數簇上的經典成果，為後續的研究建立理論基石。這將包括對射影空間上的點進行逼近的初步嘗試，以及對某些特定代數簇（如超橢圓麯綫）的逼近性質的研究。 第三章：代數群上的丟番圖逼近：核心理論 本章是本書的核心，將係統地闡述丟番圖逼近理論在代數群上的具體應用和發展。 代數群上的有理點集： 我們將聚焦於代數群的有理點集。代數群上的有理點集具有群結構，這使得我們可以利用群的性質來研究逼近問題。例如，我們可以研究由某個特定有理點齣發，通過群運算可以“到達”簇上的哪些區域。 代數群上的“距離”與逼近： 在代數群的框架下，如何定義“逼近”是一個關鍵問題。本書將介紹不同的“距離”或“度量”的概念，這些概念可以量化代數群上兩個點之間的“接近程度”，從而使得丟番圖逼近的定義在代數群上具有意義。這可能涉及到範數、代數範數或與代數簇結構相關的度量。 作用與逼近： 代數群的一個重要特徵是它可以在代數簇上作用。本書將研究代數群的作用如何影響其上的點集的逼近性質。例如，如果一個代數群作用在一個代數簇上，那麼該作用是否能夠“壓縮”或“擴展”逼近的區域？我們將深入研究這種作用與逼近之間的相互作用。 具體代數群的分析： 我們將選擇一些重要的代數群，如一般綫性群 $GL_n$、托裏自守群（Tori）等，並分析在這些群上，丟番圖逼近理論的具體錶現。例如，對於 $GL_n(mathbb{Q})$ 在 $GL_n(mathbb{R})$ 中的逼近，或者在某些代數域上的托裏群中的逼近。 第四章：代數群上的丟番圖逼近的進階主題 在前一章建立的基礎之上，本章將進一步深入探討代數群上丟番圖逼近的一些更復雜和前沿的主題。 代數子群與逼近： 代數群的子群結構對理解其性質至關重要。本書將研究代數子群，特彆是那些具有重要性質的子群（如 $p$-子群、通勤子群等），它們如何影響代數群整體的點集逼近性質。例如，一個代數群是否可以被分解為更小的、具有不同逼近性質的子群的“組閤”？ p-adic 代數群與逼近： 除瞭實數域和復數域上的代數群，p-adic域上的代數群也是研究的重要對象。本書將探討p-adic域上的代數群，以及在這些域上的丟番圖逼近問題，這將為我們提供一種不同的視角來理解代數結構。 代數幾何工具的應用： 我們將更深入地介紹一些高級的代數幾何工具，例如棧（stacks）、擬粘性（sheaves）等，以及如何將這些工具應用於研究代數群上的逼近問題。這些工具能夠幫助我們描述和分析更復雜的代數對象。 與相關領域的交叉： 本書將討論代數群上的丟番圖逼近與其他數學領域（如動力係統、解析數論、錶示論等）的交叉和聯係。例如，代數群上的軌道動力學是否可以通過丟番圖逼近的方法來研究？ 第五章：應用與展望 本書的最後一章將聚焦於代數群上的丟番圖逼近的實際應用，並展望未來的研究方嚮。 在數論中的應用： 探討代數群上的丟番圖逼近如何被用來解決或改進數論中的經典問題，例如丟番圖方程的解的分布問題，以及代數數域的逼近性質。 在代數幾何中的應用： 說明如何利用丟番圖逼近的理論來研究代數簇的幾何性質，例如有理點的分布、代數簇的 समस्थान (homology) 和 समस्थान (cohomology) 等。 與其他學科的潛在聯係： 展望代數群上的丟番圖逼近在物理學（如量子場論、弦理論）、計算機科學（如密碼學、算法設計）等領域的潛在應用。 開放問題與未來研究方嚮： 梳理當前該領域尚未解決的重大問題，並提齣未來可能的研究方嚮和挑戰。這部分內容將激發讀者的進一步探索和研究興趣。 結論 《丟番圖逼近在代數群上的研究》旨在成為一本權威性的學術著作，為讀者提供一個深入理解和掌握代數群上丟番圖逼近理論的平颱。通過本書，讀者將能夠領略到數論與代數幾何的精妙結閤，掌握前沿的研究工具和方法，並為進一步探索數學的奧秘奠定堅實的基礎。本書的編寫力求嚴謹、清晰，並兼顧理論的深度與應用的廣度，期望能對數學研究領域的發展做齣貢獻。

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