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出版者:Mcgraw-Hill College

作者:[美] Kenneth H·Rosen

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1991-05

價格:USD 51.25

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780070537446

叢書系列:

圖書標籤:

離散數學
數學基礎
集閤論
圖論
邏輯
組閤數學
數論
算法
計算機科學
數學應用

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具體描述

《離散數學及其應用》概述《離散數學及其應用》是一本廣泛應用於計算機科學、信息技術、數學、工程學及其他相關領域的教材。它為讀者提供瞭理解和掌握離散結構及其在實際問題中應用的基礎。本書內容涵蓋瞭離散數學的核心概念，包括邏輯、集閤論、函數、關係、圖論、組閤計數、概率論、算法分析以及代數結構等，並著重於這些概念的實際應用，旨在培養讀者的數學建模和問題解決能力。核心內容詳解 1. 邏輯與證明 (Logic and Proofs) 命題邏輯 (Propositional Logic): 介紹命題、邏輯連接詞（如“與”、“或”、“非”、“蘊含”、“當且僅當”）、真值錶、邏輯等價、重言式、矛盾式。重點講解如何將自然語言語句轉化為邏輯錶達式，並進行邏輯推理。謂詞邏輯 (Predicate Logic): 引入量詞（全稱量詞和存在量詞），探討謂詞、個體變量、個體常量。講解如何處理帶有量詞的語句，以及如何進行更復雜的邏輯推理。證明方法 (Methods of Proof): 係統介紹多種證明技巧，包括直接證明、間接證明（反證法、逆否證法）、數學歸納法、構造性證明、非構造性證明等。通過大量實例，幫助讀者掌握嚴謹的數學證明技能。 2. 集閤論 (Set Theory) 集閤及其運算 (Sets and Operations on Sets): 定義集閤、子集、冪集。詳細講解集閤的並集、交集、差集、補集等基本運算，以及這些運算的性質。關係 (Relations): 定義二元關係，探討關係的性質（自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性），以及等價關係和偏序關係。介紹關係的矩陣錶示和圖錶示。函數 (Functions): 定義函數、定義域、值域。講解函數的類型（單射、滿射、雙射），以及函數的復閤和逆函數。 3. 數論與模運算 (Number Theory and Modular Arithmetic) 整除性 (Divisibility): 介紹整除的定義、性質，以及最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）。歐幾裏得算法 (Euclidean Algorithm): 詳細闡述歐幾裏得算法及其擴展算法，用於求解最大公約數和綫性丟番圖方程。模運算 (Modular Arithmetic): 定義模運算，介紹模運算的性質，並將其應用於密碼學、時鍾運算等實際場景。講解綫性同餘方程的解法。素數 (Prime Numbers): 介紹素數、閤數、素數定理，以及素數在數論中的重要性。 4. 組閤學 (Combinatorics) 計數技術 (Counting Techniques): 乘法原理和加法原理 (Multiplication and Addition Principles): 基礎的計數法則，用於計算各種組閤的可能性。排列 (Permutations): 計算從n個不同元素中取齣k個元素進行排列的方法數。組閤 (Combinations): 計算從n個不同元素中取齣k個元素而不考慮順序的方法數。帶重復的排列與組閤 (Permutations and Combinations with Repetition): 討論包含重復元素的計數問題。二項式定理 (Binomial Theorem): 闡述二項式定理，介紹二項式係數的計算和性質。容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle): 介紹如何計算不相容事件的並集大小，用於解決更復雜的計數問題。鴿巢原理 (Pigeonhole Principle): 介紹鴿巢原理及其應用，簡單而強大的計數工具。 5. 圖論 (Graph Theory) 圖的基本概念 (Basic Concepts of Graphs): 定義圖、頂點、邊、度、子圖、圖的同構。介紹不同類型的圖，如無嚮圖、有嚮圖、完全圖、正則圖、二分圖。圖的連通性 (Connectivity): 探討圖的連通分支、割頂、割邊，以及圖的連通度。圖的遍曆 (Graph Traversal): 介紹深度優先搜索（DFS）和廣度優先搜索（BFS）算法，及其在圖搜索和求解問題中的應用。歐拉路徑與漢密爾頓路徑 (Eulerian and Hamiltonian Paths): 定義歐拉路徑、歐拉迴路、漢密爾頓路徑、漢密爾頓迴路，並介紹判斷是否存在這些路徑的條件。圖的著色 (Graph Coloring): 介紹圖的著色問題，如邊著色和頂點著色，以及其在調度和資源分配等問題中的應用。樹 (Trees): 定義樹、生成樹、最小生成樹（MST），介紹根式樹、二叉樹等。講解普裏姆算法和剋魯斯卡爾算法求最小生成樹。圖算法 (Graph Algorithms): 介紹迪傑斯特拉算法（最短路徑）和弗洛伊德算法（所有頂點對最短路徑）等經典圖算法。 6. 布爾代數與邏輯門 (Boolean Algebra and Logic Gates) 布爾代數 (Boolean Algebra): 定義布爾代數，介紹布爾運算（AND, OR, NOT, XOR）及其性質。邏輯門 (Logic Gates): 將布爾代數與數字電路設計聯係起來，介紹各種邏輯門（AND門, OR門, NOT門, XOR門, NAND門, NOR門）及其功能。邏輯電路 (Logic Circuits): 講解如何使用布爾代數來設計和化簡邏輯電路，以及電路的邏輯功能。 7. 代數結構 (Algebraic Structures) 半群、幺半群與群 (Semigroups, Monoids, and Groups): 定義代數結構，介紹半群、幺半群（包含單位元）和群（滿足封閉性、結閤律、單位元、逆元）的概念。環與域 (Rings and Fields): 介紹包含兩個運算的代數結構，如環（滿足加法群性質，乘法滿足結閤律，且乘法對加法滿足分配律）和域（在環的基礎上，非零元素構成乘法群）。同態與同構 (Homomorphisms and Isomorphisms): 探討代數結構之間的映射，研究它們的結構保持性。 8. 概率論基礎 (Basics of Probability) 概率空間 (Probability Spaces): 定義隨機試驗、樣本空間、事件，以及概率的公理化定義。條件概率與獨立性 (Conditional Probability and Independence): 介紹條件概率的概念，以及事件的獨立性。隨機變量與概率分布 (Random Variables and Probability Distributions): 定義離散型隨機變量和連續型隨機變量，介紹常見的概率分布（如二項分布、泊鬆分布、正態分布）。期望與方差 (Expectation and Variance): 計算隨機變量的期望值和方差，用於度量隨機變量的平均值和離散程度。應用領域本書內容廣泛應用於：計算機科學: 算法設計與分析、數據結構、數據庫理論、網絡設計、計算理論、操作係統、編譯器設計。信息技術: 密碼學、編碼理論、信息論、人工智能。數學: 離散數學作為許多數學分支的基礎，例如組閤數學、圖論、數論、抽象代數。工程學: 信號處理、控製係統、通信工程。其他領域: 運籌學、經濟學、運籌管理、生物信息學等。學習目標通過學習《離散數學及其應用》，讀者將能夠：建立嚴謹的數學思維: 掌握邏輯推理和數學證明的方法。理解和應用核心離散數學概念: 熟練運用集閤論、圖論、組閤學等工具。培養計算思維: 學習算法設計、分析和評價。提升問題解決能力: 將抽象的數學概念應用於解決實際問題，進行數學建模。為更高級的課程和研究打下堅實基礎: 為學習計算機科學、數學等相關領域的高階課程做好準備。