The elements of analytical geometry; comprehending the doctrine of the conic sections, and the gener pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library

作者:Michigan Historical Reprint Series

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2005-12-20

价格:USD 23.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781425527334

丛书系列:

图书标签:

Analytical Geometry
Conic Sections
Curves
Surfaces
Mathematics
Second Order
Geometry
Young, J
R
19th Century Mathematics
Calculus

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具体描述

《解析几何要义：圆锥曲线、二次曲线与曲面论》引言在数学的宏伟殿堂中，解析几何占据着举足轻重的地位。它如同一座桥梁，巧妙地连接了抽象的代数世界与直观的几何图形，赋予了我们描述、分析和理解空间形状的强大工具。本书《解析几何要义》正是基于这一理念，旨在为读者提供一套系统、深入的解析几何知识体系，尤其侧重于圆锥曲线的精妙理论以及二次曲线与曲面一般性的深入探讨。本书将带领读者踏上一段严谨而富有启发的数学探索之旅，从最基本的概念出发，逐步构建起对高中等几何对象的深刻认识，并为更高级的数学领域打下坚实的基础。第一部分：平面解析几何基础本书的开篇，将从解析几何最核心的概念——坐标系入手。我们将详细介绍笛卡尔坐标系的建立，理解点的位置如何通过有序数对在平面上被唯一确定。在此基础上，我们将深入探讨两点间的距离公式，这是解析几何中解决各种几何问题的基础。接着，直线方程的引入将是我们解析几何学习的重要里程碑。我们将从不同的角度考察直线的表示方式，包括斜截式、点斜式、两点式以及一般式，并着重分析斜率的几何意义，以及直线与坐标轴的夹角关系。平行线与垂直线的条件，以及点到直线的距离公式，都将一一呈现，使读者能够熟练运用这些工具解决平面几何问题。进一步地，我们还将学习如何利用解析方法处理多条直线相交、平行以及求交点等问题，从而将代数运算与几何图形的性质紧密联系起来。曲线方程的概念将被引入，理解方程如何刻画特定几何图形的集合，这将是贯穿全书的核心思想。我们将从最简单的曲线入手，如圆的方程，理解其标准形式和一般形式，并探讨圆心、半径的确定，以及圆与直线的相交情况。第二部分：圆锥曲线的精妙世界本书的第二部分将聚焦于解析几何中最具魅力的部分之一——圆锥曲线。我们将从圆锥曲线的几何定义出发，即它们是平面与一个圆锥面相截所产生的曲线。通过对截面的角度和位置的改变，我们可以得到四种基本类型的圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线和双曲线。抛物线：我们将首先深入研究抛物线。我们将探讨其标准方程，理解顶点、焦点、准线以及对称轴的几何意义。通过代数推导，我们将揭示抛物线的轨迹性质，例如“到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的距离”这一基本定义如何通过方程得到体现。我们还将学习如何识别不同方向和位置的抛物线，以及如何处理平移和旋转后的抛物线方程。抛物线的切线性质及其在物理和工程中的应用也将有所提及，例如反射望远镜和天线的设计。椭圆：接着，我们将进入椭圆的世界。我们将分析椭圆的标准方程，并详细解释长轴、短轴、中心、焦点以及离心的几何概念。离心率将是衡量椭圆“扁”或“圆”程度的关键参数。我们将学习如何通过方程确定椭圆的各项几何要素，并理解椭圆的对称性和其在天文学（行星轨道）和建筑学（拱形结构）中的重要性。椭圆的切线性质也将被深入探讨。双曲线：然后，我们将转向双曲线。我们将学习双曲线的标准方程，并理解其两个顶点、焦点、中心、虚轴以及渐近线的概念。渐近线对于描绘双曲线的整体形状至关重要，我们将阐释其代数和几何的联系。离心率在双曲线中同样扮演重要角色，并决定了双曲线的开口方向和形状。双曲线在物理学（如某些轨道）和导航系统（如双曲线定位）中的应用将得到介绍。圆：作为圆锥曲线的一种特殊情况，本书将圆作为独立部分进行复习和深化。我们将从解析几何的角度再次审视圆的方程，并将其与前面介绍的椭圆、抛物线、双曲线进行对比，理解它们之间的联系与区别。在本部分，我们将强调解析方法在研究圆锥曲线时的强大威力。通过对这些曲线方程的代数运算，我们可以精确地确定它们的几何特性，解决诸如求交点、求切线、求焦点等问题，而无需依赖复杂的几何作图。第三部分：二次曲线与曲面的普遍理论在掌握了圆锥曲线的精髓之后，本书将进一步拓展到更普遍的二次曲线和二次曲面。我们将学习如何识别和分类一般的二次方程所代表的几何图形。二次曲线的一般方程：对于平面上的二次曲线，其一般方程的形式为 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。我们将学习如何通过判别式（如 $B^2 - 4AC$）来判断二次曲线的类型，包括椭圆、抛物线、双曲线，以及退化的二次曲线（如直线、点）。我们还将介绍通过旋转坐标轴来消去 $xy$ 项，从而将方程化为标准形式，便于分析其几何性质。二次曲面：随着维度的提升，我们将进入三维空间，研究二次曲面。我们将介绍二次曲面的一般方程，并分析常见的二次曲面类型，例如：椭球面：类似于椭圆在三维空间的推广，如球体、扁球体。抛物面：包括椭圆抛物面和双曲抛物面，它们在工程和设计中应用广泛。双曲面：包括单叶双曲面和双叶双曲面，具有独特的空间形状。圆柱面：如椭圆柱面、抛物线柱面、双曲线柱面。锥面：如椭圆锥面、双曲线锥面。退化曲面：如平面、直线、点。我们将学习如何通过考察二次曲面的截面来理解其三维形状，例如，将一个二次曲面与一系列平行平面相截，得到的截线将揭示其内在结构。同时，我们还将探讨如何通过坐标系的旋转和变换来简化二次曲面的一般方程，从而将其归结为标准形式，便于识别和分析。第四部分：解析几何的应用与展望在系统阐述了解析几何的核心理论之后，本书还将简要探讨解析几何在其他科学和工程领域中的应用。我们将看到，解析几何不仅仅是数学理论，更是解决实际问题的强大工具。例如：物理学：在经典力学中，运动轨迹的描述（如抛射体运动）常常需要解析几何的方法。在光学中，透镜和反射镜的成像原理也与圆锥曲线的性质息息相关。工程学：桥梁的拱形设计、卫星轨道的计算、雷达和声纳系统的定位都离不开解析几何的原理。计算机图形学：在计算机辅助设计（CAD）和三维建模中，解析几何提供了描述和操纵复杂几何形状的基础。本书的宗旨是培养读者严谨的数学思维和解决问题的能力。通过对代数工具和几何直觉的结合运用，读者将能够更深入地理解数学的本质，并为未来在高层次的数学和科学研究中打下坚实的基础。本书力求在理论的深度和应用的广度之间取得平衡，使读者在掌握抽象概念的同时，也能感受到数学的实用价值。结语《解析几何要义》旨在为有志于深入理解几何与代数之间深刻联系的读者提供一个清晰、详尽的学习路径。通过对圆锥曲线的细致剖析以及对二次曲线和曲面普遍理论的介绍，本书将帮助读者建立起一套完整的解析几何知识体系。我们相信，本书将成为读者在探索数学奥秘旅程中的宝贵指南。