Introduction to Partial Differential Equations. pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Aslak Tveito

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-07-24

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387983271

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
数学分析
微分方程
高等数学
工程数学
科学计算
数学物理
应用数学
PDE
数值分析

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具体描述

好的，这是一本关于偏微分方程（PDEs）的图书简介，它不包含“Introduction to Partial Differential Equations”这本书的具体内容，而是侧重于一个更广泛的、深入的、注重应用和现代研究视角的PDEs教材或专著可能包含的内容。书名：《偏微分方程：理论、方法与应用前沿》导言：跨越数学与物理的桥梁偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界中各种连续介质和场演化规律的核心数学工具。从流体力学、电磁学到量子力学、金融衍生品定价，PDEs无处不在。本书旨在为读者提供一个全面、深入且具有前瞻性的PDEs知识体系，它不仅涵盖了经典理论的严谨基础，更着重探讨了现代分析方法、数值模拟技术以及当前研究领域的热点问题。本书的结构设计旨在平衡理论的深度与应用的广度。我们力求在奠定坚实分析基础的同时，引导读者理解如何将抽象的数学框架应用于解决实际的工程和科学难题。目标读者群体包括高年级本科生、研究生以及需要深入了解PDEs理论和计算方法的科研人员与工程师。第一部分：经典理论与基础分析本部分奠定PDEs的数学基础，重点关注经典方程的适定性（Well-posedness）和解的性质。第一章：PDEs基础与分类首先，系统回顾一、二阶常微分方程（ODEs）的解法，并将其推广到偏微分方程的范畴。详细介绍线性二阶偏微分方程的分类——椭圆型、抛物线型和双曲型方程，并分析其各自对应的物理背景（如稳态、扩散和波动）。引入强解、弱解和分布解的概念，为后续的泛函分析方法做铺垫。第二章：基本解与积分表示法深入探讨具有代表性的基本解（Fundamental Solutions），如拉普拉斯方程的$frac{1}{r}$解和热传导方程的格林函数。重点阐述积分表示法（如格林函数法和傅里叶变换法）在求解特定边界条件下非齐次方程（如泊松方程和亥姆霍兹方程）中的应用。探讨最大值原理及其在椭圆型方程解的唯一性证明中的关键作用。第三章：椭圆型方程：拉普拉斯与泊松方程本章聚焦于稳态问题的核心——拉普拉斯方程。详细分析Dirichlet问题和Neumann问题的适定性。深入研究调和函数的性质，包括平均值性质、收敛性与紧性。引入变分法原理，阐述变分解与强解之间的关系，为后续的有限元方法打下理论基础。对非线性椭圆方程，如Monge-Ampère方程，进行初步的分析介绍。第四章：抛物线型方程：热传导与扩散过程主要研究热传导方程（扩散方程）。分析初边值问题（Cauchy problem）的解的存在性与唯一性，特别是利用热核（Heat Kernel）的性质来构造解。深入讨论稳态与瞬态解的渐近行为。对非线性抛物线方程，如反应-扩散系统，讨论激波的形成和定性特征。第五章：双曲型方程：波动与守恒律本章处理波动现象，核心是波动方程。详细分析带初值和边界条件的波动方程解的构造，重点介绍达朗贝尔公式（d'Alembert’s formula）及其在无界域上的应用。随后，转向一阶和高阶拟线性双曲方程，深入分析黎曼问题（Riemann problems）和激波（Shocks）的形成，介绍熵条件（Entropy Conditions）在选择物理上合理解中的重要性。第二部分：现代分析工具与泛函分析方法为了处理更一般的、不光滑的或具有奇异性的方程，必须借助现代泛函分析工具。第六章：Sobolev空间与弱解理论这是现代PDEs理论的核心。系统介绍Sobolev空间$W^{k,p}$和嵌入定理（如Sobolev嵌入定理）。基于Sobolev空间，严格定义和分析弱解的概念，特别是针对那些经典意义下无解的方程（如Sobolev方程）。讨论Sobolev不等式及其在估计解的先验范数中的应用。第七章：分布论与泛函分析基础简要回顾核（Tempered Distributions）和卷积运算。利用Lp空间上的先验估计（如Schröder-John估计和Hölder估计）来证明解的正则性，这是从弱解提升到经典解的关键步骤。第八章：半群理论与演化方程利用半群理论（Semigroup Theory）处理抽象的线性偏微分方程（如$u_t = Au$）。系统介绍$C_0$半群、生成元算子（Infinitesimal Generator）以及Hille-Yosida定理。将此理论应用于无穷维空间中的演化问题，如无限维热方程和波方程的推广形式。第三部分：数值方法与计算实现理论分析往往无法提供精确解，数值方法成为解决复杂PDE问题的关键。第九章：有限差分法（FDM）详细介绍将连续的PDEs离散化到网格上的有限差分方法。针对抛物线、双曲和椭圆方程，推导显式、隐式和Crank-Nicolson格式。重点分析数值格式的相容性（Consistency）、稳定性和收敛性（Lax等价定理）。讨论处理复杂边界条件和非均匀网格的挑战。第十章：有限元法（FEM）基础系统介绍有限元方法，从Galerkin方法出发，详细推导椭圆方程的变分弱形式。讲解如何构建形函数（Shape Functions）和单元刚度矩阵。重点分析标准单元（如三角形、四面体单元）的构建、网格剖分（Triangulation）以及全局系统的装配与求解。讨论FEM在处理复杂几何和高阶方程中的优势。第十一章：谱方法与高精度计算介绍谱方法（Spectral Methods），包括傅里叶谱方法和切比雪夫谱方法，这些方法在求解具有光滑解的问题时能实现指数级的收敛速度。探讨如何利用快速傅里叶变换（FFT）高效计算卷积和梯度项。第四部分：前沿课题与现代应用模型本部分探讨当前PDEs研究的前沿领域，连接纯数学与尖端应用。第十二章：非线性波动方程与奇性深入研究非线性波动方程，如KdV方程、Sine-Gordon方程。利用反散射变换（Inverse Scattering Transform）求解可积系统，并分析奇性传播和能量集中现象。第十三章：变分不等式与自由边界问题从能量最小化角度出发，引入变分不等式，它们是描述非光滑域或存在接触现象问题的有力工具。分析著名的Stefan问题（相变问题）和Black-Scholes方程中的金融应用。第十四章：随机偏微分方程（SPDEs）介绍随机性在物理系统中的重要性。系统性地引入随机微积分基础，如Itô积分。讨论随机热方程和随机波动方程的解的存在性与正则性，侧重于其在金融建模和不确定性传播分析中的应用。结论：开放性问题与未来展望全书最后展望PDEs领域中尚未完全解决的核心问题，例如Navier-Stokes方程的全局正则性、非线性椭圆方程的界面问题、以及高维SPDEs的有效数值模拟策略。鼓励读者将所学知识应用于新的跨学科挑战中。本书的特点在于其严谨的数学推导与对现代计算和物理模型需求的深度结合。通过对经典理论的系统回顾和对前沿方法的详细介绍，读者将能够掌握解决当今复杂科学工程问题的必备工具和思维框架。内容组织逻辑清晰，从一阶方程的直观理解逐步过渡到高维、非线性、随机情形的复杂分析，确保了知识体系的连贯性和深度。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书在练习题的设计上也极具匠心。它们不只是简单的重复，而是呈现出一种递进式的挑战。从基础的概念验证，到需要综合运用多个知识点的综合题，再到一些启发性的开放性问题，都能让我在不同层面上检验自己的掌握程度。我尤其喜欢书末的一些“思考题”，它们让我跳出书本的框架，尝试将所学知识应用到更广阔的领域，这极大地激发了我的学习兴趣和探索欲。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的第一印象是它在概念阐释上的深度。作者没有选择直接丢出复杂的公式，而是花了大量的篇幅去构建物理背景和直观理解。这种循序渐进的方式，对于我这样刚接触偏微分方程的初学者来说，简直是雪中送炭。它让我明白，每一个方程都不是凭空产生的，而是源于对现实世界某个现象的抽象和刻画。这种理解上的“通透”，是学习任何学科的基础，而这本书恰恰做到了这一点。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，这本书让我对偏微分方程的认识不再是停留在抽象的数学符号层面，而是将其与物理世界紧密联系起来。它就像一位循循善诱的老师，用清晰的语言、生动的例子和严谨的逻辑，为我打开了一扇通往数学世界的大门。读完这本书，我感到自己不仅掌握了必要的工具，更重要的是，培养了对这个领域的好奇心和求知欲，这对我未来的学习之路有着深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，这本书最出彩的地方在于它对例题的选择和解析。每一个例题都像是精心挑选的“压轴戏”，它们不仅紧密联系了理论知识，而且在难度上设置得恰到好处，既能检验读者的理解程度，又能激发进一步思考。更重要的是，作者在解答过程中，对每一步的推导都进行了细致的说明，甚至会点出一些容易出错的陷阱，这一点对于我这种容易“钻牛角尖”的学习者来说，无疑是宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计真是让人眼前一亮，简约而不失专业感。当我第一次拿到它的时候，就有一种想要立刻翻开它，探究其中奥秘的冲动。书的装订质量也很不错，纸张的触感温润，字体印刷清晰，长时间阅读也不会感到疲劳。我尤其欣赏的是它在内容组织上的巧思，每一章的过渡都显得十分自然，仿佛一条精心铺设的河流，引导着读者一步步深入。

评分☆☆☆☆☆