Problem Book for First Year Calculus pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:George W. Bluman

出品人:

頁數:400

译者:

出版時間:1985-07

價格:USD 59.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780387961729

叢書系列:

圖書標籤:

• Calculus
• First Year
• Problem Book
• Mathematics
• Exercises
• Solutions
• Textbook
• Higher Education
• STEM
• Engineering

《微積分第一年習題集》內容概述（非原書內容） 本書旨在為初次接觸微積分學習的大學生提供一套全麵、循序漸進的習題資源，其設計理念側重於夯實基礎概念，並通過大量的計算和應用實例，幫助讀者將理論知識轉化為實際解題能力。本書的結構遵循標準大學微積分課程的邏輯順序，內容涵蓋瞭從預備知識迴顧到單變量微積分核心概念的廣泛領域。 第一部分：基礎迴顧與函數（Review and Functions） 本部分作為引入，旨在確保讀者對高等數學學習所需的代數、三角函數以及函數基本概念有紮實的掌握。 第1章：預備知識與函數基礎 代數與三角函數復習： 包含瞭對指數、對數、多項式運算、有理函數以及反三角函數的深入練習。特彆強調瞭函數圖像變換、定義域與值域的確定方法。 數列與級數初步： 引入序列和級數的基本概念，著重於等差數列和等比數列的通項公式及求和公式的熟練應用。 第2章：極限的嚴格定義與計算 本章是微積分學習的基石。習題設計從直觀理解過渡到 $varepsilon-delta$ 語言的嚴格證明。 直觀極限： 大量涉及通過觀察函數圖像和錶格來估計極限值的練習。 代數求極限： 重點訓練處理不定式（如 $0/0, infty/infty$）的技巧，包括因式分解、有理化以及利用共軛錶達式進行簡化。 夾逼定理與單側極限： 涉及利用已知函數的界限來確定復雜函數的極限，以及區分左極限與右極限在處理分段函數時的重要性。 無窮極限與漸近綫： 練習判斷垂直漸近綫，理解極限在無窮遠處的行為。 第二部分：導數的概念與應用（Differentiation: Concepts and Applications） 本部分係統地介紹瞭導數的定義、求導法則及其在描述函數變化率方麵的強大作用。 第3章：導數與導函數 導數的定義： 大量的定義式計算練習，要求讀者能夠使用極限定義來求齣基本函數（如 $x^n, sqrt{x}, 1/x$）的導數。 基本求導法則： 恒定、冪、常數倍數、和/差法則的快速應用。 乘積法則與商法則： 強調區分在何種情況下應用這些法則，並進行多項式和有理函數的求導練習。 鏈式法則（The Chain Rule）： 本章的重點和難點。設計瞭多層嵌套函數的復閤求導題組，要求讀者能夠清晰地識彆“內層”和“外層”函數。 第4章：超越函數的求導 三角函數與反三角函數的導數： 熟練掌握 $sin x, cos x$ 等六大三角函數的求導，並深入練習涉及 $arcsin x, arctan x$ 的復閤求導。 指數函數與對數函數的導數： 特彆關注以任意底 $a$ 為底的指數函數和自然對數函數的求導，包括 $ln|f(x)|$ 的導數。 對數求導法： 針對復雜冪函數（如 $y = f(x)^{g(x)}$）的專用解法訓練。 隱函數求導： 大量涉及在未明確解齣 $y$ 的情況下求齣 $dy/dx$ 的練習，這是後續隱式麯綫分析的基礎。 第5章：導數的應用 本章將導數理論與實際問題相結閤，是考察學生綜閤應用能力的關鍵部分。 相關變化率問題（Related Rates）： 經典的幾何問題集，例如水箱注水、影子長度變化、氣球膨脹等，要求學生正確設置變量關係式，並根據時間變化率求齣未知變化率。 函數的極值（Extrema）： 第一與第二導數檢驗： 練習如何利用一階導數判斷函數的增減性（確定局部最大值和最小值），以及利用二階導數檢驗鞍點或確定函數的凹凸性。 絕對極值： 求解閉區間上函數的絕對最大值和最小值（端點值檢驗）。 中值定理： 羅爾定理和均值定理（MVT）的理論理解與簡單應用，包括證明在特定條件下函數必有導數為零的點。 洛必達法則（L'Hôpital's Rule）： 針對 $0/0$ 和 $infty/infty$ 不定式的極限求解，以及如何通過代數變形將其他不定式（如 $0 cdot infty, 1^infty$）轉化為洛必達可用的形式。 函數圖像的描繪： 綜閤運用極限、導數（增減性、凹凸性）和漸近綫信息，精確地繪製函數圖像。 最優化問題： 涉及成本最小化、利潤最大化、麵積最大化等經典應用題，強調建立目標函數和約束條件的過程。 第三部分：積分學基礎（Introduction to Integration） 本部分介紹定積分和不定積分的概念，並將積分視為導數的逆運算。 第6章：反導數與定積分 反導數（Antiderivatives）： 學習基礎積分公式的逆運算，熟練掌握常數、冪函數、三角函數等反導數的求法，並正確添加積分常數 $C$。 黎曼和（Riemann Sums）： 通過左、右、中點黎曼和的計算，建立定積分作為極限的直觀理解。 定積分的性質： 練習定積分的綫性性質、區間可加性等。 第7章：微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC） FTC 第一部分： 理解定積分的上限函數 $F(x) = int_a^x f(t) dt$ 的導數是 $f(x)$。 FTC 第二部分（牛頓-萊布尼茨公式）： 學習使用反導數來計算定積分，這是實際計算定積分的主要工具。 積分中的鏈式法則（換元法的基礎）： 在計算定積分時，預習如何應用 $u$-代換法。 第四部分：積分技巧與應用（Techniques and Applications of Integration） 本部分是計算能力的深度訓練場。 第8章：積分技巧 變量代換法（u-Substitution）： 大量的、結構復雜的 $u$-代換練習，包括在定積分中如何對應地改變積分上下限。 分部積分法（Integration by Parts）： 詳細練習如何選擇 $u$ 和 $dv$，特彆是針對乘積形式（如 $x e^x, x sin x$）和涉及到對數函數的積分。 三角函數積分： 涉及 $sin^n x cos^m x$ 和 $sec^n x an^m x$ 等標準形式的三角函數冪次積分。 三角代換（Trigonometric Substitution）： 針對含有 $sqrt{a^2 - x^2}, sqrt{a^2 + x^2}, sqrt{x^2 - a^2}$ 形式的積分，要求熟練進行代換（如 $x=asin heta$）。 有理函數積分（Partial Fraction Decomposition）： 詳細訓練多項式的長除法、因式分解，以及如何根據分母的因子類型（綫性因子、重根、不可約二次因子）設置部分分式，並進行積分。 積分的數值近似： 梯形法則和辛普森法則的計算應用，以評估無法求齣精確反導數的積分。 第9章：積分的應用 麵積計算： 求解兩條麯綫之間圍成的麵積，以及涉及絕對值函數的麵積計算。 體積計算： 介紹圓盤法（Disk Method）和墊片法（Washer Method），用於計算繞坐標軸鏇轉所得的鏇轉體體積。 殼層法（Shell Method）： 針對特定類型的積分，訓練使用圓柱殼層法計算體積，並對比其與圓盤/墊片法的適用性。 弧長與麯麵麵積： 涉及函數 $y=f(x)$ 和參數方程下麯綫的弧長公式的應用。 本書的特點在於其高度的“計算導嚮性”和“概念應用性”，通過分步解析的例題和難度遞增的習題，確保學生能夠從容應對微積分課程中的所有標準測試和作業要求。

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說實話，這本書的排版和設計初衷，似乎就不是為瞭讓你“輕鬆閱讀”而準備的，更像是一份精心設計的“挑戰書”。它的重點完全傾斜於題目的質量和廣度，而不是那些花裏鬍哨的圖示或者冗長的背景介紹。拿到手上，最直觀的感受就是：厚實，且內容密度極高。每一頁都塞滿瞭需要你動腦筋的錶達式和需要你動手演算的步驟。我發現這本書的巧妙之處在於它對“陷阱”的設置。很多看起來很直接的題目，在深入計算後會發現隱藏的條件限製或者需要特殊的處理技巧，這大大提高瞭對細節的敏感度。比如，在涉及隱函數求導的章節，它會設置一些在特定點導數不存在或者不連續的情況，要求你必須嚴謹地論證每一步的有效性。此外，這本書對概念的覆蓋範圍非常全麵，不局限於教科書的標準內容，它還涉及瞭一些在高等數學中纔會深入探討的初級內容，為後續學習鋪平瞭道路。使用這本書時，我幾乎必須備著一張足夠大的草稿紙，因為許多中間步驟無法在腦海中完成。它迫使你迴歸到傳統、嚴謹的數學解題模式中去，這在如今許多依賴圖形計算器的時代，顯得尤為珍貴和令人懷念。

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這本練習冊的體驗簡直是場“洗禮”，尤其是對於剛剛踏入微積分世界的新生來說。我記得我剛拿到它的時候，心裏是既期待又忐忑。那些習題的難度分布非常有層次感，絕不是那種隻會堆砌簡單計算的入門讀物。初期的題目像是溫柔的領航員，幫你熟悉微積分的語言和基本操作，比如極限的epsilon-delta定義，或者導數的鏈式法則在不同函數組閤下的應用。但是，很快，難度就會陡然上升。我尤其欣賞它在概念深度上的挖掘。它不滿足於讓你知道“怎麼做”，而是強迫你去思考“為什麼是這樣”。比如，在涉及黎曼和計算麵積時，它會拋齣一些非標準函數，讓你不得不迴歸到積分的本質定義去思考，而不是套用公式。有些題目需要巧妙的代數變形，或者需要結閤其他數學分支（比如三角恒等式或復數概念）纔能找到解題的突破口，這對於培養數學直覺至關重要。我感覺自己每天都在和這些題目“搏鬥”，但每一次的成功解決都帶來瞭巨大的成就感。這本書的價值就在於，它用實際的題目訓練瞭你的“數學肌肉”，讓你真正掌握瞭微積分的工具，而不是停留在理論的錶麵。如果你隻是想應付考試，這本書可能有點“過猛”，但如果你真的想打下堅實的基礎，它絕對是不可或缺的“磨刀石”。

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對我來說，這本書最大的貢獻在於它係統性地打破瞭我對“微積分就是求導和積分”的刻闆印象。起初，我以為微積分無非就是掌握幾大公式然後進行機械運算，但這本書的某些章節，尤其是關於級數收斂性測試的部分，徹底顛覆瞭我的認知。那些對各種判彆法的應用，比如比值檢驗、根值檢驗，以及更復雜的阿貝爾試驗的應用，被設計成瞭極具迷惑性的組閤題。你不能指望一種方法能解決所有問題，你必須根據級數的具體形式，快速判斷哪種工具最有效率，或者哪種工具能最快地證明發散性。更讓我印象深刻的是它對中值定理的考察。它不會直接讓你代入函數驗證羅爾定理，而是會設計一個復雜的函數，讓你通過構造輔助函數或者利用微積分的幾何意義來證明某個點的存在性。這要求學習者不僅要記住定理的錶述，更要理解定理背後的深刻幾何或物理意義。這本書的使用過程更像是一場馬拉鬆式的智力訓練，它不斷地測試你的耐心、邏輯連貫性以及對基礎知識的熟練程度。

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我曾試圖找一些參考書來輔助學習，但很快就發現，很多參考書提供的例題過於簡化，或者隻針對某個特定主題進行重復練習。然而，這本《Problem Book》的結構簡直是教科書級彆的“集大成者”。它對每一個核心概念，從最基礎的極限到更進階的微分方程的初步應用，都提供瞭多維度的練習。我特彆喜歡它在處理“證明題”上的處理方式。微積分不僅僅是計算，更是一種嚴謹的數學語言。這本書中包含的許多證明題，比如證明某個函數在某點可微時必連續，或者證明某個積分的某些性質，都是讓你直接麵對數學邏輯的硬骨頭。它沒有提供詳細的步驟，你必須自己構建證明鏈條。有時候，一個證明需要你來迴翻閱前麵的定義和定理，構建一個清晰的邏輯橋梁。對於我這種偏嚮於理解理論深度的學生來說，這種“放手讓你自己去試錯”的教學方法是最好的。它教會瞭我如何在沒有明確路綫圖的情況下，通過邏輯推理找到正確的答案。

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這本書的使用體驗，如果用一個詞來形容，那就是“厚重感”。這不是一本可以輕鬆翻閱的消遣讀物，它要求你投入時間、精力和專注力。我發現自己常常需要暫停很長時間，盯著一道題的某個代數展開式冥思苦想，因為它似乎總有一層細微的、需要洞察力纔能看穿的障礙。例如，在處理涉及到泰勒級數展開式餘項的題目時，它會要求你對拉格朗日餘項或柯西餘項進行精確的界限估計，這不僅考察瞭你對公式的記憶，更考察瞭你對餘項函數性質的理解，比如在特定區間內函數的單調性和最大值。這種對細節的苛刻要求，使得這本書在市場上顯得獨樹一幟。它不是那種“教你速成”的秘籍，而是“訓練你成為一個真正的解決問題者”的工具。讀完這本書後，我感覺自己對微積分的理解已經從“會用”提升到瞭“精通”的層麵，即便是麵對更抽象或更復雜的工程問題，我也能迅速找到微積分的切入點。

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