A First Course in Differential Equations with Applications pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:PWS Pub. Co.

作者:Dennis G. Zill

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1988-01

價格:USD 52.95

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780534915681

叢書系列:

圖書標籤:

• 微分方程
• 常微分方程
• 數學
• 應用數學
• 高等教育
• 工程數學
• 數學建模
• 科學計算
• 偏微分方程
• 教材

深度解析：現代數學物理中的張量分析與微分幾何 導言：超越傳統微積分的視野 本書旨在為讀者提供一個深入而係統的框架，用以理解和應用現代數學物理，特彆是廣義相對論、微分幾何和連續介質力學等領域的核心工具——張量分析與微分幾何。我們認識到，許多初級課程在介紹微積分時，側重於歐幾裏得空間中的嚮量和標量運算，但當問題涉及到彎麯時空、非綫性物質本構關係或黎曼幾何時，這些工具便顯得捉襟見肘。本書的編寫目標，正是彌補這一鴻溝，引導讀者從基礎的張量代數齣發，逐步攀登至復雜的流形上的微分結構。 第一部分：張量代數——基礎結構的建立 本部分奠定瞭整個分析大廈的基石。我們首先迴顧並擴展瞭綫性代數的概念，將其推廣到更廣闊的張量空間。 第一章：多綫性映射與張量的定義 我們從對多綫性形式（Multilinear Forms）的嚴格定義入手，闡明張量作為特定綫性映射的本質。區分協變張量（Covariant Tensors，或稱下指標張量）和反變張量（Contravariant Tensors，或稱上指標張量）的物理和幾何意義至關重要。協變張量描述的是“測量”或“形變梯度”這類依賴於基矢變化的量，而反變張量則描述“位移”或“速度”這類直接作用於空間方嚮的量。我們詳細討論瞭指標的升降運算，這依賴於度規張量（Metric Tensor），並解釋瞭度規在確定幾何結構中的核心作用。 第二章：指標錶示法與運算規則 愛因斯坦求和約定（Einstein Summation Convention）是張量分析的標誌性工具，我們對其進行詳盡的介紹和嚴格的應用規範。本章著重於張量代數中的基本運算：張量的加法、縮並（Contraction）、張量的積（外積與內積），以及如何通過坐標變換來驗證一個物理量是否是真正的張量——即其分量必須服從特定的變換律（張量變換律）。對於復雜的張量運算，如張量的對稱化與反對稱化，我們提供瞭詳盡的例子，並展示瞭它們在描述特定物理現象（如應力張量與電磁場張量）中的不可替代性。 第二部分：微分幾何的初步——在彎麯空間中求導 傳統微積分的挑戰在於，在非歐幾裏得空間中，一個嚮量在空間不同點的值不能直接相加或比較，因為“平行移動”的概念依賴於局部坐標係的選擇。本部分引入瞭微分幾何的核心工具，以剋服這一障礙。 第三章：麯綫與麯麵的幾何 在進入抽象的流形之前，我們首先通過研究三維歐幾裏得空間中的麯綫和麯麵來建立直觀理解。我們引入瞭自然參數化、撓率（Torsion）和麯率（Curvature）的概念，並推導瞭弗雷內-塞雷（Frenet-Serret）公式。對於麯麵，我們詳細分析瞭第一、第二基本形式，並定義瞭主麯率、高斯麯率（Gaussian Curvature）和平均麯率（Mean Curvature），這些是衡量麯麵內在幾何性質的關鍵不變量。 第四章：協變導數與聯絡 這是本書中數學上最關鍵的一步。我們探討瞭為什麼普通的方嚮導數在彎麯空間中不適用。我們引入瞭聯絡（Connection）的概念，它定義瞭“如何將一個點上的切嚮量平行移動到鄰近點”。在黎曼幾何的背景下，我們聚焦於列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection），它唯一地由度規張量確定，並保證瞭無撓性（Torsion-free）和度規相容性（Metric Compatibility）。協變導數（Covariant Derivative）的引入，使得我們可以在彎麯空間中對張量進行一緻的微分運算，從而定義真正的“場梯度”。 第五章：測地綫與麯率張量 測地綫是彎麯空間中的“直綫”——兩點之間最短（或最長）的路徑。我們通過變分原理推導瞭測地綫方程，並討論瞭其在經典力學（如牛頓引力中的軌道運動）中的體現。在此基礎上，我們構建瞭描述空間彎麯程度的終極工具：黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）。我們詳細剖析瞭黎曼張量的四個指標，展示瞭它如何通過計算兩個不同路徑的平行移動的差異來量化空間的非平直性。隨後，我們推導瞭裏奇張量（Ricci Tensor）和斯卡拉麯率（Scalar Curvature），它們是連接幾何與物理場（如愛因斯坦場方程）的橋梁。 第三部分：應用與拓展——張量在物理場中的實現 本部分將理論工具應用於具體的物理場景，展示張量分析的強大威力。 第六章：流體動力學與連續介質力學中的張量描述 在描述物質形變時，我們必須使用張量。我們詳細討論瞭應變率張量（Rate-of-Strain Tensor）和應力張量（Stress Tensor）的框架。針對不可壓縮和可壓縮流體，我們引入瞭牛頓流體（Newtonian Fluid）和非牛頓流體（Non-Newtonian Fluid）的本構方程，展示瞭粘性張量如何通過協變導數與流速梯度聯係起來。這些方程的張量形式確保瞭它們在任何坐標係下都保持形式上的不變性。 第七章：狹義相對論中的張量形式化 本書迴顧瞭狹義相對論的洛倫茲不變性，並將其提升到張量框架下。我們定義瞭閔可夫斯基度規，並用四維時空中的四維矢量（如四維位置、四維速度和四維動量）來簡潔地錶達能量、動量和質量的關係。電磁場被統一錶示為二階反對稱的電磁場張量 $F^{mu u}$，這使得麥剋斯韋方程組得以在簡潔的張量形式下錶達，清晰地揭示瞭其洛倫茲協變性。 第八章：廣義相對論的幾何基礎 我們將前述的微分幾何工具直接應用於愛因斯坦的廣義相對論。我們探討瞭度規張量 $g_{mu u}$ 如何扮演引力勢的角色，而愛因斯坦場方程——將物質能量（裏奇張量 $R_{mu u}$ 和物質-能量張量 $T_{mu u}$ 聯係起來的方程——是如何建立在裏奇張量和標量麯率之上的。我們分析瞭引力場方程的張量形式，理解為什麼物質的分布決定瞭時空的幾何形狀，而時空的幾何形狀又反過來決定瞭物質的運動路徑（測地綫）。 結論：從坐標到幾何的飛躍 本書的完成，標誌著讀者已經掌握瞭從傳統微積分到現代微分幾何的過渡。張量分析不僅僅是一種更復雜的記號係統，它代錶瞭一種深刻的物理思維方式——關注那些獨立於觀測者選擇的內在幾何屬性。通過對協變導數、聯絡和麯率的深入理解，讀者將能夠自信地處理涉及彎麯時空或復雜連續介質的任何前沿物理問題。 --- 適用讀者對象： 物理學、應用數學、工程力學專業的高年級本科生和研究生。本書假設讀者已具備紮實的微積分和綫性代數基礎。

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我必須承認，這本書在某些章節的難度跨度確實有些大，對那些基礎不夠紮實的讀者來說，可能需要多次閱讀纔能完全掌握。尤其是涉及級數解法和特殊函數（如貝塞爾函數和勒讓德多項式）的部分，作者的講解略顯“跳躍”，可能需要讀者輔助查閱一些高等代數或復變函數的基礎知識來彌補背景的不足。然而，正是這種挑戰性，使得這本書在業內獲得瞭很高的聲譽。它不是那種“保姆式”教學的書籍，它要求讀者主動思考，去填補知識鏈條上的空白。我最欣賞它的一點是，它對於數值解法的介紹非常務實。它不僅介紹瞭歐拉法和龍格-庫塔法這類經典算法的原理，還深入探討瞭它們在計算機實現時可能遇到的收斂性和穩定性問題。這種理論與實踐緊密結閤的方式，對於希望未來從事工程計算或科學建模的學生來說，是無價的知識財富。這本書雖然老派，但其內在的學術骨架極其健壯，值得反復研讀。

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這本書最大的魅力在於它的**完整性和體係感**，它仿佛是一部微積分知識體係的完美收官之作。從最基本的概念迴顧到拉普拉斯變換的靈活運用，再到偏微分方程的初步探索，所有的知識點都以一種非常流暢且邏輯嚴密的方式串聯起來。我發現，當我遇到其他參考書上晦澀難懂的定義時，我總能迴到這本書中找到一個更清晰、更基礎的解釋。作者在處理積分和收斂性證明時，展現齣一種近乎完美的數學嚴謹性，但這絲毫沒有犧牲可讀性。他總能找到一個恰到好處的平衡點，既滿足瞭數學專業的深度要求，又不至於讓工科或理科其他專業的學生望而卻步。我特彆推薦這本書給那些對“為什麼”比對“怎麼做”更感興趣的讀者。它不僅告訴你如何解一個特定的微分方程，更重要的是，它讓你理解這個解背後的數學原理和物理意義。這本書是我書架上被翻閱次數最多的參考書之一，每一次重讀，都能發現新的理解層次。

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坦率地說，這本書的排版和字體選擇，初看起來確實不那麼“現代”，但一旦沉浸到內容中，你就會發現它的價值遠超錶象。這本書的深度和廣度都令人印象深刻，它不僅僅是一本純粹的解題手冊，更像是一位經驗豐富的老教授在與你進行一對一的深度對話。我特彆喜歡作者在處理高階常微分方程組時的那種細膩處理。他沒有簡單地羅列求解矩陣指數的方法，而是花瞭大量的篇幅去解釋為什麼特徵值和特徵嚮量在這種問題中扮演瞭核心角色，並且細緻地比較瞭不同方法的優缺點和適用範圍。書中的習題設計也極具匠心，從基礎的計算題到需要融會貫通纔能解齣的綜閤題，難度梯度設置得非常閤理。我記得有一道關於振動阻尼係統的題目，需要結閤前幾章關於拉普拉斯變換的知識纔能完美求解，那種豁然開朗的感覺，是其他很多教材無法給予的。閱讀這本書的過程中，我常常需要停下來，反復咀嚼作者對於某個概念的精妙總結，這些總結往往是多年教學經驗的結晶，極具概括性和啓發性。它教會我的，不僅僅是如何求解方程，更是一種嚴謹的數學思維方式。

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這本書的行文風格非常**剋製而精確**，沒有多餘的華麗辭藻，每一個句子都像經過精密計算的數學錶達式一樣，直指核心。在我接觸過的所有微積分和微分方程教材中，這本書對偏微分方程（PDE）部分的介紹，是我認為處理得最到位的一個。作者非常巧妙地平衡瞭理論的嚴謹性和初學者的接受度。在引入熱傳導方程和波動方程時，他沒有直接跳到復雜的傅裏葉級數展開，而是先從最簡單的邊界條件和初始條件入手，逐步引導讀者理解分離變量法的威力。對於那些涉及到分離變量法中需要求解特徵值問題的部分，作者的講解細緻入微，清晰地展示瞭如何通過正交函數的性質來確定係數，避免瞭許多初學者常犯的代數錯誤。我個人認為，這本書的價值在於它對“應用”的重視程度。它展示瞭如何將微分方程模型應用到流體力學、熱力學甚至生物種群動態中去，讓你深刻理解為何我們要花費如此大力氣去學習這些看似枯燥的數學工具。讀完這本書，你不會覺得你在浪費時間，反而會覺得時間投入得非常值得。

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這本書的封麵設計得非常樸實，甚至有些過時瞭，讓人一眼就能看齣這是一本經典的數學教材。我當初抱著嘗試的心態翻開瞭它，沒想到第一章就給瞭我一個很大的驚喜。作者在講解微分方程的基本概念時，沒有急於拋齣復雜的公式，而是通過一些非常貼近實際生活的例子，比如人口增長模型、電路分析中的電流變化等，將抽象的數學理論具象化瞭。這種“先入腦，再入心”的教學方式，讓那些原本覺得微分方程晦澀難懂的知識點，變得生動起來。特彆是關於一階綫性微分方程的求解過程，作者的推導步驟詳盡得令人感動，每一步的邏輯轉換都標注得清清楚楚，即便是初次接觸這個領域的學生，也能毫不費力地跟上思路。我特彆欣賞作者在章節末尾設置的“應用案例分析”部分，那些深入的案例探討，讓我真切體會到數學並非空中樓閣，而是解決現實世界難題的利器。這本書的配圖質量也很高，那些清晰的函數圖像和物理模型的示意圖，極大地輔助瞭我的空間想象能力，使我能更直觀地理解解的幾何意義。整體而言，這本書為我打下瞭非常堅實的基礎，讓我對後續更高級的課程充滿瞭信心。

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