Diophantine Equations (Studies in Mathematics) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Narosa Publishers

作者:N. Saradha

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2008-05-06

價格:USD 99.95

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9788173198984

叢書系列:

圖書標籤:

• Diophantine equations
• Number theory
• Algebraic geometry
• Arithmetic
• Mathematical analysis
• Polynomials
• Integer solutions
• Algebra
• Mathematics
• Pure mathematics

數學之美：初探數論的奧秘 圖書名稱： 《數論導論：整數的結構與性質》 圖書簡介： 本書是一本全麵而深入的數論入門讀物，旨在引導讀者領略這門古老而充滿活力的數學分支的魅力。數論，被譽為“數學的女皇”，關注的是整數及其性質的研究。它不僅是純數學中最基礎、最優雅的領域之一，其思想和方法也深刻影響著現代密碼學、計算機科學乃至物理學的多個方麵。本書從最基本的算術概念齣發，循序漸進地構建起一個堅實而豐富的數論知識體係。 第一部分：基礎構建——算術的基石 本書伊始，我們將從皮亞諾公理和集閤論的視角重新審視自然數的構造，為後續的理論發展打下嚴謹的邏輯基礎。核心內容集中於整除性的概念。我們將詳細闡述歐幾裏得算法，不僅展示其在求解最大公約數中的高效性，更深入探究其在數域擴張中的作用。費馬小定理、歐拉定理及其推廣——歐拉函數的性質和計算方法，是本部分的高潮。讀者將學習到如何利用這些基礎工具來簡化復雜的指數運算，並理解它們在模運算中的核心地位。 二次剩餘與三次剩餘的引入 在建立起模算術的框架之後，我們將轉嚮更具挑戰性的問題：二次剩餘。勒讓德符號和雅可比符號的定義與性質將被詳盡闡述。關鍵在於二次互反律的證明及其應用，這不僅是數論中最精妙的定理之一，也是將看似不相關的素數之間的關係聯係起來的橋梁。我們將通過大量的例子，展示如何利用互反律來判斷一個數是否為模某個素數的平方數，這對於理解費馬平方和定理至關重要。 丟番圖方程的初步接觸 雖然本書的核心並非集中於高階的丟番圖方程，但作為數論的自然延伸，我們將介紹最基礎的綫性丟番圖方程 $ax + by = c$ 的求解方法。我們將證明其解的存在性條件，並給齣所有整數解的一般形式。這部分內容將作為連接代數結構與整數解問題的初步嘗試，為讀者對更復雜方程的探索埋下伏筆。 第二部分：進階結構——同餘係統與特殊數列 進入第二部分，我們將探討更為復雜的結構——同餘係統。中國剩餘定理（CRT）是本部分的核心工具。我們將詳細討論如何利用CRT來求解多個模數下滿足的綫性同餘方程組，這在編碼理論和周期性問題分析中具有實際意義。 原根與離散對數 對於模 $n$ 的乘法群 $mathbb{Z}_n^$，原根的存在性是一個深刻的問題。本書將清晰地闡述原根的定義、判定準則，以及它們在構造密碼學基礎（如Diffie-Hellman密鑰交換的數學基礎）中的作用。與原根緊密相關的是離散對數問題，我們將探討其在計算上的難度，並簡要介紹解決這一問題的基本算法思路。 素數的分布與漸進性質 數論的另一大主題是素數的分布。本書將介紹素數定理的精確錶述及其意義，解釋 $pi(x) sim frac{x}{ln x}$ 如何刻畫素數在自然數中齣現的稀疏性。我們還將考察梅爾滕斯定理、阿達瑪乘積等結果，使讀者對素數的宏觀結構有更深刻的認識。此外，對孿生素數猜想的最新進展和現有方法的介紹，將激發讀者對未解之謎的興趣。 第三部分：代數與解析的交匯 本書的後半部分開始深入代數數論和解析數論的邊緣。 代數整數與唯一分解 為瞭更好地研究丟番圖方程，我們需要超越普通整數的範疇。我們將引入高斯整數 $mathbb{Z}[i]$，並證明其具備歐幾裏得域的性質，從而保證瞭素因子分解的唯一性。接著，我們將推廣到更一般的代數整數環，探討哪些代數數域能夠保持唯一分解的特性。這部分內容為理解雅可比的求和公式和對希爾伯特類域理論的初步概念做瞭鋪墊。 黎曼$zeta$函數與解析方法 本書將係統介紹黎曼$zeta$函數 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$。讀者將學習其解析延拓、函數方程，以及它與素數定理之間的深刻聯係（歐拉乘積公式）。我們將討論$zeta(s)$在復平麵上的零點分布，這是現代解析數論的核心議題。盡管不會深入復雜的復分析，但黎曼$zeta$函數的性質將清晰地展示如何利用連續函數的方法來研究離散的整數問題。 數論中的應用實例 本書最後將通過幾個具體的應用實例來鞏固所學知識： 1. RSA加密係統的數學原理： 詳細解釋如何基於大素數的選取和歐拉定理來構建公鑰加密體係。 2. 模冪運算的效率： 介紹平方-乘算法（Exponentiation by Squaring）在處理大指數時的效率優勢。 3. 費馬大定理的曆史背景迴顧： 簡要介紹費馬的猜想及其最終被證明的裏程碑意義，強調代數數論在解決古老問題中的決定性作用。 目標讀者： 本書適閤具有微積分和基礎綫性代數知識的數學專業本科生、研究生，以及對整數奧秘有濃厚興趣的自學者。它旨在提供一個紮實、嚴謹且富有啓發性的數論學習體驗，為讀者進一步探索代數數論、解析數論或應用數論打下堅實的基礎。通過本書的學習，讀者將能夠欣賞到整數世界中蘊含的深刻結構與無限的數學美感。

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這本書的敘述口吻帶著一種令人放鬆的對話感，盡管主題嚴肅，但作者似乎總能找到一種方式，將復雜的邏輯以一種近乎耳語般的方式傳遞給讀者。它沒有那種冰冷的、純粹公式堆砌的刻闆印象，而是穿插著對數學史的思考和對某個結論“為什麼會這樣”的哲學追問。這種人性化的處理，使得學習過程不再是枯燥的記憶和計算，而變成瞭一場與先賢思想的深度對話。我尤其喜歡它在介紹某個高級工具時，會先迴顧一下曆史背景和引入動機，這極大地幫助我理解瞭該工具的“意義”而非僅僅是“用法”。這種敘事上的溫度，讓我在麵對那些看似無解的問題時，依然能保持一份探索的樂趣和內在的熱情。

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這本書的適用範圍比我想象的要廣泛得多，它巧妙地平衡瞭理論的深度和實踐的可操作性。它不僅為理論研究者提供瞭堅實的根基，也為那些希望將數學工具應用於實際問題（比如密碼學或優化理論）的工程師和應用科學傢提供瞭寶貴的資源。書中那些經過精心挑選的習題，不僅僅是用來檢驗理解程度的，它們本身就是對理論的進一步深化和拓展。解題的過程本身就是一種創造性的實踐，迫使讀者跳齣書本的框架進行思考。這種“理論與實踐的無縫對接”，使得這本書的價值大大超齣瞭純粹的學術專著範疇，它更像是一座連接純數學與應用領域的橋梁，為不同背景的學習者提供瞭共同的語言和深刻的洞察力。

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這本書的學術深度令人敬畏，它毫不含糊地深入到瞭數論的腹地，探討瞭那些睏擾瞭數學傢數個世紀的難題。它絕非是那種泛泛而談、隻停留在錶麵現象的讀物，而是直接挑戰瞭理論的核心。我感受到作者的筆觸中蘊含著一種對數學真理的執著追求，每一次對定理的引入和證明，都充滿瞭對前人智慧的尊重與批判性繼承。閱讀體驗是一種智力上的攀登，需要投入大量的專注力和時間去消化其中蘊含的精妙思想。特彆是它在處理那些經典難題時的獨到見解，讓人仿佛站在瞭巨人的肩膀上，得以窺見更廣闊的數學圖景。對於那些已經有一定基礎，渴望突破現有知識邊界的研究者來說，這本書無疑是一座燈塔，指引著探索的航嚮，提供瞭足夠多的挑戰和思考的深度。它要求讀者付齣，但迴報的知識密度也是無與倫比的。

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這部著作的敘事風格簡直是教科書式的典範，語言的組織和邏輯的推進都體現齣一種嚴謹而又深邃的數學美學。作者似乎花費瞭極大的心血來構建一個堅實的基礎，每一步推導都像是精心雕琢的寶石，閃爍著清晰的光芒。我特彆欣賞它在處理復雜概念時所展現齣的耐心和清晰度，那種由淺入深、層層遞進的講解方式，讓即便是初涉這一領域的讀者也能找到自己的立足點。它不是那種故作高深的著作，而是緻力於真正地“教”給你思考數學問題的方法。閱讀過程中，我時常被那種結構上的完美感所吸引，仿佛在欣賞一座宏偉的數學建築，每一個支撐點都無可挑剔。書中的圖示和例子選取得極其巧妙，它們不僅僅是例證，更是理解抽象理論的橋梁，極大地降低瞭理解門檻，讓人在實際操作中鞏固瞭理論知識。這種對教學細節的關注，使得它在眾多同類書籍中脫穎而齣，成為案頭常備的工具書。

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從裝幀和排版來看，這本書的設計充滿瞭對讀者的體貼入微。紙張的質感一流，印刷清晰，即便是長時間的閱讀，眼睛也不會感到疲勞，這對於需要反復查閱和演算的數學書籍來說至關重要。更重要的是，作者和編輯團隊在格式上的處理達到瞭近乎藝術的水平。公式的對齊、引用的標注、術語的統一性，都體現齣極高的專業素養和對細節的苛求。這使得在查找特定定理或證明時，過程變得異常流暢，大大減少瞭閱讀中的“摩擦力”。這種對物理載體的重視，無形中提升瞭整體的閱讀體驗，讓人願意將它作為長期學習的夥伴，而不是快餐式的參考資料。它不僅是知識的載體，也是一種精美的學術工藝品，值得收藏和細細品味。

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