Convexity Properties of Hamiltonian Group Actions pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:American Mathematical Society, Centre de Recherches Mathematiques

作者:Victor Guillemin and Reyer Sjamaar

出品人:

頁數:82

译者:

出版時間:2006-9-8

價格:USD 36.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780821842362

叢書系列:

圖書標籤:

• 哈密頓群作用
• 凸性
• 群論
• 拓撲學
• 微分幾何
• 李群
• 李代數
• 不動點理論
• 代數拓撲
• 幾何群論

凸性與群作用在數學物理中的交叉研究 本書旨在對現代數學物理領域中一個核心且快速發展的交叉學科——凸性理論與哈密頓群作用的相互作用——進行一次深入而全麵的探討。本書並非專注於哈密頓動力學中的特定應用或某一種群作用的專門研究，而是著重於利用幾何分析、拓撲學以及泛函分析中的工具，來理解和量化涉及李群和李代數作用的係統中的凸性結構。 全書結構分為五個主要部分，每一部分都以前沿研究的深度和廣度為目標。 --- 第一部分：基礎框架與幾何化（Foundational Framework and Geometric Formalism） 本部分首先為讀者奠定堅實的理論基礎，重點迴顧並深化瞭理解凸性在無限維空間中如何被重新定義和應用的必要概念。 1. 廣義凸集與變分原理的聯係： 我們不再局限於傳統的歐幾裏得空間中的凸集定義。本章詳細介紹瞭K-凸集（K-convex sets）、強凸性（Strong convexity）在黎曼流形上的推廣，特彆是當流形配備有特定的對稱性結構時。引入瞭次梯度分析（Subgradient analysis）在非光滑優化問題中的作用，並展示瞭如何將哈密頓係統的能量泛函視為一個具有特定對稱性約束的凸函數。 2. 辛幾何與對稱空間（Symplectic Geometry and Symmetric Spaces）： 深入探討瞭李群作用在辛流形上的哈密頓性的幾何本質。重點分析瞭作用群$G$如何作用於相空間$(M, omega)$，産生一套滿足Noether定理的守恒量。在此基礎上，我們引入瞭阿諾索夫流（Anosov flows）和泊鬆極限的概念，將群作用的動力學特性與流形的幾何結構（如常麯率空間）中的凸性聯係起來。 3. 凸集族上的李群作用： 研究李群 $G$ 如何作用於一個固定的凸集 $mathcal{C}$ 上。特彆是，當 $mathcal{C}$ 是一個凸錐（Convex Cone）或玻爾環（Borel Set）時，群作用保持瞭某些重要的代數結構。本章通過Cartan-Hadamard 定理的推廣，探討瞭在具有負截麵麯率的空間中，群作用下的測地綫凸性。 --- 第二部分：對稱性、正則化與逼近（Symmetry, Regularization, and Approximation） 本部分關注在存在對稱性的情況下，如何利用凸性方法來處理復雜的、病態的（ill-posed）問題，尤其是在逼近理論和正則化技術中。 4. 凸函數在對稱群下的不變性與不變測度： 係統分析瞭由一個緊緻李群 $K$ 作用於一個 Banach 空間 $X$ 上時，$K$-不變凸函數的結構。引入瞭馮·諾依曼定理在凸優化中的變體，即利用不變性來降低問題的維度。探討瞭哈爾測度（Haar Measure）在對凸函數進行平均化（即軌道平均）操作中的關鍵作用，這些平均化後的函數往往具有更強的正則性。 5. 凸正則化與群作用的共軛性： 側重於解決欠定或病態問題時，凸正則化（如 $ell_1$ 範數）的有效性。我們將對偶理論（Duality Theory）與群作用的共軛錶示（Dual Representation）相結閤。關鍵在於證明：如果正則化項（如 $ell_1$ 範數）在某個對稱群作用下是等變的（equivariant），那麼其解集也傾嚮於繼承這種對稱性，從而在特定子空間中保持凸性。 6. 近似算法的收斂性： 本章分析瞭基於交替方嚮乘子法 (ADMM) 或次梯度下降法的迭代算法，當它們應用於具有哈密頓群作用約束的優化問題時，其收斂速度和全局收斂性。核心是利用李群作用保持的二次形式（Quadratic forms）來建立誤差項的幾何界限，從而證明算法對初始值的敏感度降低。 --- 第三部分：李群錶示與凸性（Lie Group Representations and Convexity） 本部分深入研究瞭群錶示論如何直接影響或決定相空間中凸結構的幾何性質。 7. 綫性凸集上的群作用： 在矩陣空間或張量空間上研究李群的作用。特彆關注正定矩陣錐（Positive Definite Cone）——這是一個天然的凸集，其邊界由特徵值決定的非綫性條件定義。分析瞭群作用如何保持（或破壞）這個錐的洛倫茲凸性（Lorentzian convexity），並聯係到Schatten 範數的凸性。 8. 結閤錶示論與凸函數分析： 利用不可約錶示（Irreducible Representations）來分解復雜的凸問題。如果一個凸函數 $F$ 在群作用下是“近似不變”的，則可以通過將其投影到不同的不變子空間上來簡化分析。介紹瞭Krein-Milman 定理在描述由群作用生成的最接近的凸集時的應用。 9. 作用在函數空間上的凸性： 研究群作用在 $L^p$ 空間或索伯列夫空間上的作用，這些空間是無限維的。重點分析瞭譜（Spectrum）的概念如何與函數空間的凸性聯係起來，例如，特徵函數（eigenfunctions）的綫性組閤在特定範數下形成的凸包的性質。 --- 第四部分：隨機性與凸性（Stochasticity and Convexity in Dynamics） 本部分將視角轉嚮更具隨機性的係統，探討隨機微分方程（SDEs）的解集和其統計性質與凸性的關係。 10. 隨機哈密頓係統中的凸包： 考慮具有隨機擾動的哈密頓係統。係統的演化路徑不再是確定的，而是一個概率測度。我們分析瞭係統在長時間尺度上覆蓋的相空間區域的凸包的統計特性。這涉及到使用大偏差理論（Large Deviation Theory）來估計隨機路徑在偏離“平均”（或平衡態）凸結構時的概率。 11. 熵與凸性在統計力學中的交匯： 從統計物理的角度審視凸性。吉布斯自由能（Gibbs Free Energy）是信息論和熱力學的核心凸函數。本章研究瞭在對稱性驅動的（例如，晶格模型）係統中，熵（作為凹函數）與其共軛凸函數（自由能）之間的關係，以及群作用如何影響這些熱力學勢的極值點。 --- 第五部分：高級應用與開放問題（Advanced Applications and Open Problems） 最後一部分將理論工具應用於當前研究熱點，並指齣未來研究的方嚮。 12. 凸性在量子信息中的體現： 在量子力學中，密度矩陣集閤是一個凸集。研究群作用（如酉變換群）如何作用於這個集閤。重點探討瞭量子保真度（Fidelity）作為一種非凸度量，如何通過巧妙的重構轉化為在特定子空間上的凸問題，尤其是在量子場論中處理規範不變性時。 13. 幾何優化與對稱性破缺的邊界： 分析瞭在連續係統（如場論）中，對稱性如何通過能量最小化（即凸性極小值）來自發破缺。利用莫爾斯理論（Morse Theory）和非綫性泛函的凸性分析，精確地識彆齣導緻對稱性破缺的臨界幾何配置。 本書通過這種多層次、跨學科的視角，為研究者提供瞭一個統一的框架，用以理解：在一個具有內在對稱結構的係統中，其全局的、最優的性質（通常錶現為凸性）是如何被維持、量化或破壞的。 書中嚴格的數學推導與清晰的幾何直覺相結閤，旨在推動對復雜動力學係統和高維幾何分析的認識。

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讀瞭前幾章之後，我發現作者的論述風格極其嚴謹，仿佛在進行一場精密的外科手術。他似乎對每一個概念的定義都進行瞭反復的推敲，力求做到無懈可擊。特彆是對於一些基礎概念的引入，作者並沒有直接跳到復雜的情形，而是先從一些經典的例子入手，逐步引導讀者進入更抽象的框架。這種循序漸進的方式對於初次接觸這個領域的讀者來說，無疑是一劑強心針。不過，對於那些已經有紮實背景的讀者來說，可能需要稍微耐心一點。我特彆欣賞作者在論證過程中穿插的那些曆史背景介紹和與其他領域研究的聯係，這使得原本枯燥的數學推導過程變得生動起來，也讓我對這些理論的産生動機有瞭更深的理解。整本書的邏輯鏈條非常緊密，每一章的結論都自然地導嚮下一章的探討，讀起來有一種“一氣嗬成”的酣暢淋灕感，讓人忍不住想一口氣讀完。

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我嘗試著將書中的一些抽象結論應用到我目前正在研究的一個物理模型中，結果發現，這本書提供的框架確實具有極強的普適性和解決實際問題的潛力。特彆是關於某些對稱性和不變性的討論，為我提供瞭一個全新的視角去審視我的模型，過去睏擾我的一個難題，在應用瞭書中的某個定理後，似乎豁然開朗。這種理論與實踐的完美結閤，是優秀數學專著的標誌。當然，這本書的閱讀體驗也並非總是輕鬆愉快的，在一些涉及高維幾何或拓撲的章節，我不得不反復查閱相關的背景知識，這確實對讀者的綜閤數學素養提齣瞭較高的要求。但正是這種“硬核”的內容，纔使得這本書的價值得以凸顯，它毫不留情地篩選齣瞭真正有誌於此的讀者。

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這本書的封麵設計非常引人注目，那種深邃的藍色調配閤燙金的標題，立刻就給人一種嚴肅、高深的學術氛圍。我是在圖書館的數學物理交叉學科區域偶然發現它的，當時就被標題中“Hamiltonian Group Actions”這個詞組所吸引。雖然我對具體的“Convexity Properties”還不太瞭解，但作為一個對動力係統和幾何力學有濃厚興趣的研究生來說，這樣的組閤無疑具有巨大的吸引力。翻開扉頁，印刷質量上乘，紙張的觸感也很好，這在學術專著中是難得的。書的排版也相當考究，公式的編號清晰明瞭，參考文獻的引用格式也十分規範，這體現瞭作者在細節上的認真態度。雖然我還沒有深入閱讀正文，但僅從這本書的外在錶現來看，它顯然是一部經過精心打磨、麵嚮專業讀者的嚴謹著作。它給人的感覺就像是一件精美的工藝品，讓人期待內部知識的深度和廣度。

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從整體結構和學術貢獻來看，這本書的野心很大，它試圖構建一個連接代數、幾何和物理的統一框架。我個人感覺，作者在某些部分的處理上，似乎更偏嚮於代數結構和不變式的研究，對於具體的物理圖像的描繪略顯不足，這可能是為瞭保持數學上的純粹性。如果作者能在附錄或後續章節中增加一些更貼近實際物理應用（例如在規範場論或可積係統中）的案例分析，或許能讓更廣泛的物理學讀者受益。不過，瑕不掩瑜，這本書無疑是該領域近年來最重要的著作之一，它不僅是對現有知識的係統整理，更是對未來研究方嚮的一種大膽預測和開拓。它不是一本用來消遣的書，而是需要沉下心來，反復研讀，並最終融入自己研究體係中的經典之作。

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這本書的難度梯度設置得非常陡峭，但同時也充滿瞭挑戰的樂趣。當你成功地跟上作者的思路，證明瞭某個定理，那種成就感是難以言喻的。我注意到作者在討論某些關鍵引理時，會引用一些非常前沿或比較冷門的文獻，這錶明作者的研究視野非常開闊，緊跟學術前沿。對於那些希望在這領域做齣突破性研究的人來說，這本書無疑提供瞭一個極佳的知識儲備庫和研究方嚮的指引。它不是那種提供現成答案的“工具書”，更像是一張詳細的藏寶圖，告訴你寶藏在哪裏，但如何挖掘，還需要讀者自己下功夫。對於那些希望係統學習或深入研究這一特定領域的博士生而言，這本書的分量是毋庸置疑的。它更像是一位資深導師在耳邊低語，引導你思考更深層次的問題。

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