具体描述
From one of the premier authors in higher education comes a new linear algebra textbook that fosters mathematical thinking, problem-solving abilities, and exposure to real-world applications. Without sacrificing mathematical precision, Anton and Busby focus on the aspects of linear algebra that are most likely to have practical value to the student while not compromising the intrinsic mathematical form of the subject. Throughout Contemporary Linear Algebra, students are encouraged to look at ideas and problems from multiple points of view.
线性代数前沿：理论精要与计算实践 图书名称： 线性代数前沿：理论精要与计算实践 图书简介 本教材旨在为读者提供一个深入、全面且注重计算实践的线性代数课程体验。我们致力于超越传统教材中对基础概念的简单罗列，而是将其置于现代数学、工程科学与数据分析的语境中进行深入探讨。全书结构清晰，逻辑严密，覆盖了从基础向量空间到高级矩阵分解技术的全部核心内容，并特别强调了理论理解与实际应用之间的桥梁构建。 第一部分：基础构建与核心概念的重塑 本书的开篇部分将重新审视线性代数的基石，但会采用更具现代洞察力的方式进行阐述。 第一章：向量空间与线性结构 本章从集合论的视角出发，定义向量空间的基本公理，并着重探讨有限维空间。我们不仅仅停留在 $R^n$ 的层面，而是将关注点扩展到抽象的函数空间、多项式空间以及矩阵空间。重点章节将深入讲解基、维数的概念，并引入坐标变换的几何直观。一个关键的创新点在于，我们通过一系列实际问题（如信号处理中的基选择）来激励读者对“什么是基”进行深层思考，而非仅仅记住定义。本章将详细分析线性映射（或称线性变换）的性质，包括核空间（Kernel）与像空间（Image）的精确计算与几何意义，并利用秩-零化度定理阐明其重要性。 第二章：线性方程组的系统解法 本章是连接理论与计算的关键。我们将从高斯消元法（Gaussian Elimination）的几何和代数意义入手，详细剖析其每一步操作背后的线性变换视角。我们将着重讨论行阶梯形矩阵（Row Echelon Form, REF）与简化行阶梯形矩阵（Reduced Row Echelon Form, RREF）的唯一性。在讨论解的存在性与解的结构时，我们将引入参数化通解的概念，确保读者能清晰地理解齐次方程组与非齐次方程组的解集构成。此外，本章还将探讨矩阵的LU分解作为高效求解线性系统的强大工具，并讨论数值稳定性在这个过程中的重要性。 第三章：行列式：理论的工具 行列式的引入将侧重于其作为衡量线性变换“定向”或“体积缩放因子”的几何意义。除了传统的代数定义（通过排列和逆序对）外，我们还将探索基于拉普拉斯展开的计算方法，并严格证明行列式的乘法性质。本章的高潮在于展示行列式如何与矩阵的可逆性、特征值（作为后续章节的铺垫）建立联系。我们将通过探讨 Cramer's Rule 的局限性，来引出更优的计算方法，但同时保持对其理论价值的肯定。 第二部分：核心变换与特征分析 本书的第二部分是线性代数的心脏，专注于理解和利用线性变换的内在结构。 第四章：特征值与特征向量：系统的本质 特征值与特征向量的讲解将采用“不变性”的视角。我们将阐明特征向量是线性变换作用下方向保持不变的特殊向量，特征值则代表了在这个方向上的缩放因子。本章将系统地介绍特征多项式的计算、代数重数与几何重数的区别与联系。我们将通过微分方程系统的解耦、动力系统的稳定性分析等实际例子，展现特征分析的威力。对于非对称矩阵，我们将介绍复数域上的特征值分析，为后续的更高级理论做准备。 第五章：对角化与相似性 本章的核心是将复杂的线性变换转化为最简单的对角矩阵形式。我们将严格证明一个 $n imes n$ 矩阵可对角化的充分必要条件（即存在一组线性无关的特征向量）。我们将详细讨论相似矩阵的概念，并证明相似变换下各种重要性质（如迹、行列式、特征值）的保持不变性。对于那些不可对角化的矩阵，我们将引入Jordan 标准形（Jordan Canonical Form, JCF）的概念，详细解释其结构和构建方法，这对于理解微分方程的非齐次解和矩阵函数至关重要。 第六章：正交性：几何的优化 正交性是线性代数中实现几何“简化”和“正交分解”的关键。本章将从内积空间的推广概念出发，定义内积、范数和角度。接着，我们将详细介绍Gram-Schmidt 正交化过程，并利用它来构建任何子空间的正交基。正交投影理论将被视为解决最小二乘问题的几何基础，我们将从几何直觉出发推导最小二乘解，并严格证明其解集的最小范数性质。投影和反射等正交变换的性质将在本章中得到充分体现。 第三部分：矩阵分解与应用深化 第三部分聚焦于将复杂的矩阵分解为更易处理、结构更清晰的因子，这是现代科学计算的基础。 第七章：矩阵分解的威力：SVD 与 QR 本章是连接理论与计算科学（特别是数据分析）的桥梁。 QR 分解： 我们将详细介绍 Householder 反射和 Givens 旋转这两种数值稳定的矩阵分解方法，并展示如何利用 QR 分解来有效地解决最小二乘问题，以及它是最小二乘法的迭代算法（如 QR 算法）的理论基础。 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： SVD 将被视为“终极的”矩阵分解工具。我们将从几何上解释 SVD 如何揭示任何线性变换的“拉伸”和“旋转”行为。我们将严格推导 SVD 与对称矩阵的谱分解之间的关系。本章将花费大量篇幅介绍 SVD 在数据降维（如主成分分析 PCA 的理论基础）、低秩近似（推荐系统、图像压缩）中的核心应用，展示其在信息科学中的不可替代性。 第八章：二次型与正定性 本章深入研究由二次型函数 $q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 所描述的几何形状。我们将利用对称矩阵的特征分解来对二次型进行正交对角化。本章的重点在于正定性、半正定性的判据（如特征值和主子式的条件），这些判据在优化理论（如二次规划和凸性分析）中起着决定性作用。我们将通过实例展示如何利用这些性质来识别椭圆、抛物面和双曲面等二次曲面。 第九章：迭代方法与数值稳定性（选读/选讲） 鉴于现代计算的特点，本章将概述求解大型稀疏线性系统的迭代方法。我们将介绍 Jacobi 方法和 Gauss-Seidel 方法，并探讨它们的收敛条件。更重要的是，我们将讨论迭代方法的数值稳定性，例如条件数（Condition Number）的概念，它量化了矩阵对输入扰动的敏感性，是衡量问题本身“病态”程度的关键指标。这部分内容旨在让读者理解，在面对超大规模问题时，精确解法往往不可行，而可靠的近似迭代解法的理论基础是什么。 总结与学习目标 本书的目标是培养读者形成一种“线性代数思维”：能够将任何复杂的系统（无论是代数、几何还是数据驱动的）抽象为向量空间、线性变换和矩阵分解的形式。通过对理论的严格推导和对核心分解算法的深入理解，读者将为深入学习数值分析、优化理论、机器学习或高等物理学打下坚实的基础。本书强调清晰的推理、严谨的证明，并鼓励读者将抽象的工具应用于实际的计算场景中。
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