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☆☆☆☆☆

出版者:Dover Publications

作者:G. H. Hardy

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:1999-02-12

价格:USD 7.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486406817

丛书系列:

图书标签:

数学
实分析7
傅里叶级数
数学分析
信号处理
工程数学
高等数学
振动
波动
电路分析
通信原理
数值分析

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具体描述

《傅立叶级数：揭示周期现象的数学之钥》本书并非一本详尽介绍特定书籍《Fourier Series》内容的导览，而是旨在从更宏观的角度，阐述傅立叶级数这一深刻的数学概念及其在科学、工程和数学领域的广泛影响力，以及它所代表的一种强大的分析方法。我们将深入探讨傅立叶级数的诞生背景、核心思想、数学形式、重要性质，以及它如何成为理解和处理周期性现象的基石。一、傅立叶级数的诞生：源于热量的脉动傅立叶级数的起源可以追溯到19世纪初，法国数学家兼物理学家约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）在研究热传导问题时提出的革命性观点。他注意到，即使是最复杂的温度分布，如果它具有周期性，都可以被分解成一系列简单正弦和余弦波的叠加。这一大胆的假设，挑战了当时数学界对函数的普遍认知，并引发了持续数十年的激烈争论。然而，随着其在物理学和工程学中展现出的惊人解释力，傅立叶级数最终被广泛接受，并成为现代数学和科学的基石之一。二、核心思想：分解与重构的艺术傅立叶级数的核心思想在于“分解”。它提供了一种将一个复杂的周期性函数，无论其形状如何，都表示为一系列无限个简单正弦和余弦函数的线性组合的方法。这些正弦和余弦函数，以不同的频率和振幅出现，共同“拼凑”出原始的周期性函数。这就像是将一首复杂的交响乐分解成单独的音符，然后通过精确组合这些音符来重现整首乐章。数学形式：对于一个在区间 $[−L, L]$ 上定义且周期为 $2L$ 的函数 $f(x)$，其傅立叶级数展开形式通常表示为： $f(x) = frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(frac{npi x}{L}) + b_n sin(frac{npi x}{L}))$ 其中，$a_0, a_n, b_n$ 称为傅立叶系数，它们决定了每个正弦和余弦分量的振幅。这些系数可以通过积分公式计算得出： $a_0 = frac{1}{L} int_{-L}^{L} f(x) dx$ $a_n = frac{1}{L} int_{-L}^{L} f(x) cos(frac{npi x}{L}) dx$ $b_n = frac{1}{L} int_{-L}^{L} f(x) sin(frac{npi x}{L}) dx$ 当周期为 $2pi$ 时（即 $L=pi$），公式会简化为： $f(x) = frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$ $a_0 = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(x) dx$ $a_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(x) cos(nx) dx$ $b_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(x) sin(nx) dx$ 三、重要性质：揭示周期现象的本质傅立叶级数并非仅仅是一种表示方法，它还赋予了我们理解和分析周期性现象的强大工具，其关键性质包括：唯一性：对于满足一定条件的周期函数，其傅立叶级数展开是唯一的。这意味着，一旦我们找到了正确的傅立叶系数，我们就唯一确定了这个函数的周期性分解。收敛性：傅立叶级数是否收敛到原始函数是数学上的一个重要问题。在许多实际应用中，函数满足一定的光滑性条件（如狄利克雷条件）即可保证其傅立叶级数在大部分点上收敛到函数值。即使在函数不连续的点上，傅立叶级数也会收敛到不连续点两侧函数值的平均值。正交性：正弦和余弦函数在区间上的正交性是计算傅立叶系数的基础。这种正交性使得我们可以通过积分的方式，“隔离”出每个频率分量的贡献。频率域分析：傅立叶级数将一个在时间和空间域上定义的函数，转换到频率域。在频率域中，我们不再关注函数在特定点的数值，而是关注其包含哪些频率成分以及它们各自的强度（由傅立叶系数表示）。这为信号处理、频谱分析等领域打开了大门。近似能力：截断的傅立叶级数（即只取前有限项）可以作为原始函数的一个良好近似。项数越多，近似越精确。这在数值计算和信号滤波中至关重要。四、广泛应用：渗透于科学与工程的脉络傅立叶级数的影响力几乎渗透到现代科学和工程的各个角落：物理学：热传导：傅立叶最初的研究领域，利用傅立叶级数可以解决热方程，分析热量在物体内的传播规律。声学与光学：声音和光的波动性可以用傅立叶级数进行分析，将复杂的声音信号分解成不同频率的纯音，或者分析光的频谱。量子力学：薛定谔方程的求解，以及粒子波函数的分析，都离不开傅立叶分析。工程学：信号处理：这是傅立叶级数应用最广泛的领域之一。通信、音频处理、图像处理、雷达、声纳等都依赖于傅立叶变换（傅立叶级数的推广）来分析和处理信号的频率成分，实现滤波、压缩、去噪等功能。控制理论：分析系统的频率响应，设计控制器，确保系统稳定性和性能。振动分析：分析机械结构的振动模态，预估和防止共振。电路分析：分析交流电路的响应，理解电路中的频率特性。数学：微分方程：傅立叶级数是求解一些偏微分方程（如热方程、波动方程）的重要工具。数值分析：用于函数逼近，以及一些快速算法（如快速傅立叶变换，FFT）的开发。函数逼近理论：傅立叶级数提供了一种将任意函数表示为基本波形叠加的框架，促进了函数逼近理论的发展。其他领域：数据分析：在金融、经济、生物医学等领域，用于分析周期性数据模式，如股票价格波动、生物节律、心电图等。图像处理：将图像分解成不同频率的成分，用于边缘检测、图像压缩、去噪等。五、结语：理解世界的另一种视角傅立叶级数提供了一种全新的视角来审视周期性现象。它告诉我们，看似复杂和无序的周期性运动，实际上是由一系列简单、有序的波动叠加而成。掌握傅立叶级数，不仅仅是掌握一种数学工具，更是获得了一种理解世界运行规律的深刻洞察。它让我们能够从“时间域”或“空间域”的直观描述，切换到“频率域”的抽象分析，从而发现隐藏在表面之下的本质结构。从热量的流动到声音的传播，从电信号的传递到图像的构成，傅立叶级数都扮演着不可或缺的角色，是连接抽象数学与具体现实世界的强大桥梁。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

对于一本专注于特定数学领域的专著而言，《Fourier Series》在概念的统一性和术语的一致性上做得堪称典范。我过去翻阅过几本相关书籍，常常因为符号系统和定义上的细微差别而感到困惑，但在这本书中，作者建立了一套连贯、自洽的数学语言体系。从勒贝格积分的铺垫到傅里叶系数的计算，每一步的逻辑衔接都如同精密的齿轮咬合。最令我赞叹的是，书中对傅里叶级数在偏微分方程求解中的应用给出了详尽的案例分析。它不仅仅是给出了一个“如何做”的步骤，更着重于解释“为什么这样做有效”，通过对比不同的边界条件对解的影响，让抽象的数学工具瞬间变得鲜活且富有实际意义。这本书的学术严谨性毋庸置疑，它更像是一部经典教科书的现代重塑，既尊重了历史上的理论发展脉络，又融入了当代数学研究的最新视角。

评分☆☆☆☆☆

这本《Fourier Series》的封面设计着实引人注目，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色衬线字体，给人一种既古典又现代的感觉。初翻开来，我立刻被它严谨的排版和清晰的逻辑结构所吸引。作者显然是下了大功夫梳理了傅里叶级数理论的源头活水，从最基本的三角函数正交性讲起，层层递进，将原本看似枯燥的数学概念，通过详尽的几何直观解释，变得触手可及。特别是关于周期延拓和收敛性的讨论部分，文字的描述精确而富有洞察力，仿佛有一位经验丰富的导师在身旁耐心引导。我尤其欣赏书中对狄利克雷条件的处理方式，它没有简单地抛出一个定义，而是结合了物理背景（比如弦的振动），让读者深刻理解为什么这些条件是必要的，以及它们在实际应用中的意义。这本书的习题设计也相当巧妙，从基础的三角级数展开到更复杂的周期函数处理，难度梯度把握得非常到位，做完之后，我对傅里叶分析的信心倍增。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我抱着相当高的期望拿起这本《Fourier Series》，因为我急需一本能够深入浅出讲解傅里叶变换核心思想的教材，而这本书在这方面做得相当出色。它并没有沉溺于纯粹的代数推导，而是巧妙地将复数形式的傅里叶级数引入得恰到好处，使得相位和幅度的概念能够更直观地被捕捉。书中对于积分变换的引入，仿佛打开了一扇通往信号处理和物理波动的全新大门。我特别喜欢它在解释周期信号和非周期信号之间的桥梁——狄拉克δ函数和傅里叶变换的关系时所采取的渐进式论证方法。文字的张力十足，阅读过程中几乎能感受到作者对数学美学的追求。虽然部分高阶内容的推导略显跳跃，需要读者具备一定的线性代数基础，但对于有志于深入研究的读者来说，这反而是它高价值的体现，它挑战了读者的思维极限，迫使我们主动去填补中间的逻辑空白，从而形成更深刻的理解。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《Fourier Series》时，首先感受到的是一股清新的气息，不同于那些老旧、厚重的数学经典。这本书的排版设计极富现代感，大量的图示——尤其是那些展示函数逼近过程的动态图景（尽管是静态图像呈现）——极大地缓解了纯文本带来的认知压力。作者非常注重培养读者的“傅里叶直觉”，而不是仅仅停留在公式的记忆上。例如，在讲解傅里叶级数在间断点附近出现的吉布斯现象时，书中没有敷衍了事，而是通过细致入微的图形分析，直观展示了部分和对函数真实形态的“过度反应”。这种强调视觉理解和物理直觉的教学方法，对于那些希望将傅里叶分析应用于工程或物理领域的读者来说，简直是如获至宝。它成功地架起了理论数学与应用实践之间的桥梁，使我们能够更自信地将这些工具应用到复杂的现实问题中去。

评分☆☆☆☆☆

坦白地说，这本书的深度是毋庸置疑的，它绝非一本“快速入门”的速成手册。它要求读者投入时间去消化每一个定理的证明过程，去体悟每一个引理背后的深刻含义。作者在处理收敛性理论时展现出的那种近乎苛求的精确性，让这本书具有了很高的参考价值，特别是对于研究生和需要进行深入研究的学者而言。我特别注意到它在傅里叶分析与其他正交函数族（比如勒让德多项式）之间的联系上做了一些探讨，这种横向的知识关联，极大地拓宽了我们对正交分解这一核心概念的理解边界。阅读过程中，我频繁地停下来，对照着书中的证明，试图在脑海中重构整个逻辑链条，每一次成功的“重建”，都伴随着一种豁然开朗的喜悦。这是一本需要反复研读、细细品味的著作，它的价值会随着阅读次数的增加而愈发显现出来。

评分☆☆☆☆☆

比起手头另一本薄多了，另外Dover真是良心出版社～亚马逊清仓入手，21块钱～2019/05/14更新:友情提醒—这本书不是针对入门者初学者的，而是用勒贝格积分来研究傅里叶级数，????！

评分☆☆☆☆☆