高等数学学习指导(彭建平)

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isbn号码:9787560948744
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具体描述

《微积分基础与应用》 内容简介 本书旨在为大学理工科、经济管理类专业学生提供一套全面、深入且注重实践的微积分学习指南。我们深知微积分作为现代科学与工程的基石,其理论的严谨性与实际应用的紧密结合是学生掌握知识的关键。因此,本书在内容组织和讲解方式上力求创新与实用。 第一部分:极限与连续性——分析的起点 本部分首先从直观的几何和物理背景出发,引入极限的概念。我们详尽阐述了 $varepsilon-delta$ 语言的严谨定义,并通过大量经典和巧妙的例子,帮助读者建立对极限稳定性的深刻理解。本章重点剖析了数列的极限、函数的极限,并深入讨论了单侧极限、无穷极限以及极限的运算法则。 随后,我们过渡到函数的连续性。连续性的概念被分解为局部连续、区间连续等不同层面进行讨论,并详细阐述了闭区间上连续函数的四大性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理等),这些性质是后续微积分诸多定理的理论基石。本部分还探讨了函数在无穷远处的行为,为理解渐近性打下基础。 第二部分:导数——变化率的精确度量 导数是描述瞬时变化率的核心工具。本书从切线斜率和瞬时速度的实际问题引入,精确定义了导数。我们系统梳理了基本初等函数的求导法则,并重点讲解了复合函数求导的链式法则,强调其在复杂函数解析中的重要性。 本章的重头戏在于导数的应用。我们不仅教授如何使用导数来分析函数的单调性、极值和凹凸性,绘制精确的函数图像,更拓展到实际问题。这包括: 1. 优化问题:处理资源分配、成本最小化、效率最大化等实际工程和经济问题中的一阶和二阶条件应用。 2. 相关变化率:通过时间参数,分析相互关联量之间的变化速率,例如几何形状的动态变化。 3. 线性近似与微分:讲解微分在近似计算中的强大能力,以及误差分析的理论基础。 第三部分:定积分——累积效应的量化 定积分的引入将视角从瞬时变化转向累积总量。本书通过面积、路程等经典问题,严谨地定义了定积分,并详细阐述了黎曼和的概念及其极限。 关键内容包括: 1. 微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式):作为连接微分与积分的桥梁,本书将此定理的证明过程分解为若干易于理解的步骤,确保读者不仅会用,更知其所以然。 2. 积分的计算技巧:系统介绍了换元积分法(第一类和第二类)、分部积分法,并针对有理函数积分中的部分分式分解法进行了细致的步骤指导。 3. 定积分的应用:超越了简单的面积和体积计算(如旋转体体积、横截面积法),本书深入探讨了定积分在物理学中的应用,如求质心、转动惯量、功和压力等,帮助学生将数学工具与物理模型对接。 第四部分:不定积分与微分方程初步 本部分首先聚焦于不定积分的求解,这是定积分计算的基础。我们不仅复习了前述的积分技巧,还引入了更高级的技巧,如三角函数代换和对不恰当积分的处理。 随后,我们引入了初等微分方程的概念。本书侧重于最基础但应用最广泛的一阶常微分方程的求解方法,包括: 1. 可分离变量方程:通过变量分离实现积分求解。 2. 一阶线性微分方程:采用积分因子法进行系统求解。 我们通过人口增长模型、放射性衰变等实例,展示了微分方程在描述动态系统中的不可替代性。 第五部分:多元函数微积分——空间的探索 随着问题的复杂化,我们需要从一维扩展到多维空间。本部分是本书的亮点之一,旨在帮助学生适应高维空间的直观感受。 1. 偏导数与方向导数:清晰区分偏导数与全微分,并引入方向导数和梯度的概念,解释梯度向量在寻找函数最大变化率方向上的意义。 2. 多元函数的极值问题:系统讲解了二阶偏导数判别法(海森矩阵的应用),并重点讲解了拉格朗日乘数法,这是解决带约束优化问题的核心工具。 3. 多重积分:详细介绍二重积分和三重积分,从直角坐标系扩展到极坐标系、柱坐标系和球坐标系,突出坐标变换在简化积分计算中的关键作用。本书特别注重多重积分在物理量(如质量、质心)计算中的应用实例。 第六部分:线面积分与向量场——场的理论 本部分将微积分工具延伸到曲线和曲面上,这是理解电磁场、流体力学等领域的基础。 1. 曲线积分(线积分):区分第一类和第二类线积分,并阐述其在计算曲线质量、质心以及保守力场中功的应用。 2. 格林公式、斯托克斯公式与高斯公式(散度定理):这三大核心定理被视为微积分基本定理在更高维度上的推广。本书通过清晰的几何解释和向量场实例,帮助读者理解这些定理的内在联系和实际意义,强调了保守场和势函数的概念。 本书特色 理论与实践并重:每章均包含大量取自物理、工程、经济、生物的实际应用案例,确保理论知识的源头活水。 注重概念辨析:对极限、连续、导数、积分等核心概念,提供了详尽的、多角度的解释,力求避免“只知其然,不知其所以然”的现象。 丰富的习题体系:习题分为基础巩固、综合应用和探究挑战三类,难度梯度合理,满足不同层次学生的学习需求。 本书的编写严格遵循数学分析的逻辑结构,语言力求准确、清晰,旨在成为读者掌握微积分并将其应用于解决复杂科学问题的坚实阶梯。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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我是一名对科学充满好奇心的普通读者,虽然没有接受过系统性的高等数学教育,但一直对数学所能解释的宇宙规律以及它在各个学科领域的应用感到着迷。比如,我常常对物理学中的各种方程感到惊叹,它们背后一定蕴含着深刻的数学原理。这本书的名字《高等数学学习指导(彭建平)》吸引了我,我希望它能够以一种非专业人士也能理解的语言,带我入门高等数学的世界。我期待书中能够讲解一些宏观的概念,例如微积分是如何描述变化和累积的,线性代数又是如何处理多维空间的。我希望能看到一些生动的比喻和形象的图示,帮助我理解那些抽象的概念。同时,我也想了解数学在人工智能、大数据分析等前沿科技中的作用,看看它是如何支撑这些领域的飞速发展的。我希望这本书能像一位耐心的向导,引领我穿越数学的迷宫,让我不再感到畏惧,而是能够欣赏数学之美,并感受到它对我们认识世界所带来的深刻影响。如果它能激发我进一步探索数学的兴趣,那将是这本书最大的成功。

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这本书的装帧设计非常精美,采用了高质量的纸张和印刷,给人的第一印象就非常专业和有质感。我翻开书页,首先被它严谨的逻辑结构和清晰的排版所吸引。作为一名已经接触过一些高等数学内容的学生,我深知一本好的学习指导书的重要性。我尤其看重书中对于概念的深入剖析和定理证明的详细讲解。我希望这本书能够提供比课堂教学更详尽的解释,帮助我理解那些容易混淆的知识点,例如极限的ε-δ定义,或者是积分的各种技巧。我还期待书中能够包含大量的例题和习题,并且这些题目能够覆盖各种难度和题型,从基础概念的巩固到综合应用能力的提升。更重要的是,我希望书中能够提供详细的解题思路和步骤,让我能够从中学习到解决问题的有效方法,而不仅仅是给出答案。如果这本书的练习部分能够帮助我真正掌握高等数学的精髓,并且在考试中取得好成绩,那么它将是我学习道路上不可或缺的伙伴。

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这本书的封面设计非常朴实,没有花哨的插图,只是简单地印着书名和作者的名字。拿到手的时候,我感觉到它沉甸甸的,充满了知识的厚重感。翻开目录,看着那些熟悉的章节名称,什么极限、导数、积分、级数,心里既有期待也有那么一丝丝的紧张。我记得自己大学时学习高等数学的日子,那真是一段充满挑战又收获满满的时光。那时候,我对数学的理解还停留在课本的公式和定理上,总觉得它们离现实生活有点遥远。这本书的出现,让我有机会重新审视那些曾经让我头疼的数学概念。我希望它能以一种更贴近实际、更易于理解的方式来解读高等数学,让我能够看到数学在解决实际问题中的强大力量。尤其是在工程、经济、甚至我们日常生活中,数学扮演着怎样的角色,我对此充满了好奇。如果这本书能够帮助我建立起这种联系,让我不再将数学视为枯燥的符号和运算,而是把它看作一种解决问题的工具和一种理解世界的语言,那么它就已经非常成功了。我对它的内容充满了期待,希望它能给我带来新的启发和感悟,让我在重温高等数学的过程中,获得更深层次的理解和升华。

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作为一名在职场上摸爬滚打了多年的工程师,我时常怀念大学时期那些扎实的基础课程,其中高等数学无疑是最重要的一环。然而,随着时间的推移,很多概念和方法都已经有些模糊不清了。我拿到这本《高等数学学习指导(彭建平)》时,内心是充满渴望的。我渴望通过这本书,能够快速地梳理和巩固那些曾经学过的知识点,并且更重要的是,能够理解这些理论在实际工程应用中是如何落地生根的。我特别关注那些关于如何将数学模型应用于解决工程难题的章节,例如如何用微积分来计算复杂结构的应力,或者如何利用傅里叶变换来分析信号。我希望这本书能够提供清晰的推导过程和典型的案例分析,让我能够举一反三,将书中的知识转化为解决工作中实际问题的能力。此外,我也希望它能帮助我理解一些更高级的数学概念,例如数值分析或者优化方法,这些都是现代工程技术不可或缺的工具。如果这本书能够有效地弥合理论与实践之间的鸿沟,让我能够重新找回学习数学的乐趣,并将其应用于我的工作,那么它将是我职业生涯中一份宝贵的财富。

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我是一名对数学充满敬畏但又深感不足的文艺工作者,在我的创作过程中,我时常会遇到需要用数学思维来构思和理解的问题。例如,在设计一个音乐作品时,我可能会思考音符之间的比例和韵律,这其中似乎蕴含着数学的和谐;在构思一个故事结构时,我也曾尝试用数学模型来模拟人物关系的发展。我希望这本《高等数学学习指导(彭建平)》能够以一种更具哲学意味和艺术性的视角来解读高等数学。我期待书中能够探讨数学的抽象之美,以及它如何与自然界的规律、艺术的表达方式相契合。例如,斐波那契数列在自然界和艺术中的应用,或者分形几何所展现出的复杂中的秩序。我希望这本书能够帮助我突破对数学的刻板印象,让我看到数学中蕴含的逻辑美、结构美和创造力。如果它能为我的创作带来新的灵感,让我能够以更开阔的视野去理解和运用数学,那么它将对我意义非凡。

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