Computational Algebra and Number Theory

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出版者:Springer
作者:Bosma, Wieb; Van Der Poorten, Alf;
出品人:
页数:340
译者:
出版时间:1995-5-31
价格:USD 279.00
装帧:Hardcover
isbn号码:9780792335016
丛书系列:
图书标签:
  • 计算代数
  • 数论
  • 计算机代数
  • 数论算法
  • 代数系统
  • 抽象代数
  • 算法
  • 数学软件
  • 多项式
  • 整数论
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具体描述

Computers have stretched the limits of what is possible in mathematics. More: they have given rise to new fields of mathematical study; the analysis of new and traditional algorithms, the creation of new paradigms for implementing computational methods, the viewing of old techniques from a concrete algorithmic vantage point, to name but a few. Computational Algebra and Number Theory lies at the lively intersection of computer science and mathematics. It highlights the surprising width and depth of the field through examples drawn from current activity, ranging from category theory, graph theory and combinatorics, to more classical computational areas, such as group theory and number theory. Many of the papers in the book provide a survey of their topic, as well as a description of present research. Throughout the variety of mathematical and computational fields represented, the emphasis is placed on the common principles and the methods employed. Audience: Students, experts, and those performing current research in any of the topics mentioned above.

《解析几何中的曲面论》 本书深入探讨解析几何中的曲面理论,旨在为读者提供一个系统而全面的认识。我们将从基础的二次曲面出发,逐步展开对更复杂曲面的研究。 第一章:二次曲面的分类与几何性质 本章将聚焦于最基本的曲面——二次曲面。我们会详细介绍其定义、标准方程以及如何通过坐标变换将其化为标准形。在此基础上,我们将系统地分类二次曲面,包括椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、圆锥面、柱面等。对于每一种曲面,我们将深入分析其几何特征,如焦点、准线、渐近面(对于双曲面和圆锥面)、截面性质等,并通过大量的图示帮助读者建立直观的理解。此外,我们将讨论二次曲面的切平面、法线等重要概念,并探讨其在空间中的相对位置关系,例如相交、平行、相切等。 第二章:参数化曲面及其基本性质 本章引入参数化曲面的概念。我们将介绍如何使用两个参数来表示三维空间中的曲面,并给出一些常见的参数化曲面的例子,如球面、圆柱面、锥面、环面等。在此基础上,我们将研究参数化曲面的基本微分几何性质,包括曲面的一二元二次微分、曲率(高斯曲率、平均曲率)、主曲率、渐近线、曲率线等。我们将推导这些重要量的计算公式,并分析它们与曲面形状之间的联系。例如,高斯曲率的正负将决定曲面的局部形状是凸、凹还是平坦。我们还将讨论曲面的切向量场、法向量场以及曲面的定向等概念。 第三章:曲面的等温线与测地线 本章将重点研究曲面上的等温线和测地线。等温线是指在曲面上的参数化坐标下,保持一个参数不变而另一个参数变化的轨迹,它们可以帮助我们理解曲面的“纹理”或“网格”。我们将探讨等温线的几何意义,以及它们与曲面形状的关系。 测地线是曲面上两点之间“最短”的路径,其概念类似于平面上的直线。我们将推导测地线的微分方程,并讨论求解这些方程的方法。我们将分析不同曲面上的测地线,例如在球面上的测地线是过球心的平面与球面的交线,即大圆弧。我们将探讨测地线的存在性、唯一性以及它们在曲面上的性质,例如测地线的曲率为零。 第四章:特殊曲面及其应用 本章将深入研究一些具有特殊性质的曲面,并探讨它们在不同领域的应用。我们将讨论: 可展曲面 (Developable Surfaces): 这类曲面可以无皱无损地展平到平面上,例如圆柱面、圆锥面和切面(tangent surfaces)。我们将分析可展曲面的几何条件,并介绍其在工程设计、造船、建筑等领域的应用,例如制造曲面部件。 最小曲面 (Minimal Surfaces): 最小曲面是指平均曲率为零的曲面,它们在物理上对应于肥皂膜在给定边界下的平衡形状。我们将介绍最小曲面的定义、性质以及一些著名的例子,如悬链面 (catenoid) 和肥皂泡表面。我们将简要讨论其在物理学、计算机图形学等领域的应用。 阿基米德螺旋面 (Helicoid): 这是一种由直线围绕轴旋转形成的曲面,具有螺旋特性。我们将分析其参数方程和几何性质,并探讨其在机械设计、螺旋桨等方面的应用。 第五章:曲面间的映射与形变 本章将目光转向曲面之间的关系。我们将介绍曲面之间的映射,特别是保角映射 (conformal mapping) 和等度规映射 (isometry)。保角映射能够保持角度不变,而等度规映射能够保持距离不变。我们将分析这些映射的性质,以及它们如何改变曲面的形状。 此外,我们还将探讨曲面的形变,即如何通过连续的变换将一个曲面变为另一个曲面。我们将介绍一些形变的概念和方法,并讨论形变的不变量,例如拓扑性质。这部分内容将为理解更高级的微分几何和拓扑学打下基础。 第六章:曲面论在计算机图形学中的应用 本章将把理论知识与实际应用相结合,重点介绍曲面论在计算机图形学中的应用。我们将讨论: 曲面建模: 如何使用参数化方法来创建三维模型,例如通过NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) 曲面来精确描述复杂的形状。 曲面渲染: 如何计算曲面的法向量、光照以及阴影,以生成逼真的图像。 曲面编辑与处理: 如何实现曲面的平滑、变形、修补等操作。 物理模拟: 如何利用曲面来模拟流体、布料等物理现象。 本书的写作风格旨在清晰易懂,配以丰富的插图和精心设计的例题,帮助读者深入理解抽象的数学概念。我们力求在严谨的数学推导和直观的几何解释之间取得平衡,使本书既适合作为高等院校相关专业的教材,也适合作为对解析几何和曲面论感兴趣的读者进行自学。通过本书的学习,读者将能够掌握分析和处理三维空间中各种曲面的基本工具和方法。

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