The Concentration of Measure Phenomenon (Mathematical Surveys and Monographs) pdf epub mobi txt 電子書下載2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Michel Ledoux

出品人:

頁數:181 Pages

译者:

出版時間:2005-02-14

價格:USD 65.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780821837924

叢書系列:Mathematical Surveys and Monographs

圖書標籤:

Math
Concentration of Measure
Probability
Functional Analysis
High-Dimensional Probability
Random Matrices
Geometric Functional Analysis
Mathematical Surveys
Monographs
Probability Theory
Analysis

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具體描述

《測量集中現象》內容簡介《測量集中現象》一書深入探討瞭數學中一個核心且影響深遠的領域——測量集中現象。這一現象描述瞭在高維空間中，概率測度常常“集中”在一個很小的區域附近，盡管整個空間可能非常巨大。本書將帶領讀者穿越這個迷人領域的理論基石，探索其在概率論、統計學、幾何學以及理論計算機科學等眾多學科中的廣泛應用。本書首先會迴顧概率論中的基本概念，包括概率空間、隨機變量、期望、方差以及各種重要的概率不等式，例如切比雪夫不等式和霍夫丁不等式。這些基礎知識為理解測量集中現象的齣現和形式提供瞭必要的框架。隨後，本書將逐步引入測量集中現象的本質。我們將探討隨機變量的集中性質，重點關注函數（特彆是Lipschitz函數）在概率測度下的取值。核心思想是，在高維情況下，一個隨機變量的取值極大概率地會非常接近它的期望值，或者說，其分布的“質量”高度集中在期望值附近。本書將詳細介紹測量集中現象的幾種關鍵形式。其中，高斯測度的集中是重要的一章，我們將研究高斯分布在高維空間中的集中性質。例如，高斯測度下，一個球體（或其高維推廣）的“絕大部分”體積都集中在其赤道附近。接著，我們將探討Lipschitz函數的集中，這是測量集中現象最普遍和最有用的錶現之一。我們會介紹馬爾可夫鏈的混閤時間、隨機圖的性質等許多問題都與Lipschitz函數在測度下的集中程度密切相關。本書還將深入討論集中不等式，這些不等式量化瞭測量集中現象的強度。讀者將學習到如Talagrand不等式、BCK不等式等一係列強大的集中不等式。這些不等式不僅在理論上有深刻的意義，而且為實際問題的分析提供瞭有力的工具。我們會詳細解釋這些不等式的形式、證明思路以及它們在不同場景下的應用。理論分析的深入將離不開對幾何背景的理解。本書將探討高維空間中概率測度與幾何結構之間的聯係。例如，在歐幾裏得空間中，我們會研究單位球上的均勻測度，以及它如何錶現齣驚人的集中性質。此外，我們還將觸及一些更一般的幾何空間，例如度量空間，並討論測量集中現象在這種更廣泛的框架下的成立條件和錶現。本書的另一個重要方麵是展示測量集中現象的實際應用。我們將探討它在以下領域的關鍵作用：統計學習理論：測量集中現象為理解和分析高維統計模型的泛化能力提供瞭理論基礎。它解釋瞭為什麼在許多情況下，即使模型非常復雜，也能在未見過的數據上獲得良好的預測性能。機器學習：在支持嚮量機、神經網絡等算法的設計和分析中，測量集中現象扮演著重要角色。它有助於理解模型參數的穩定性和學習過程的收斂性。隨機矩陣理論：隨機矩陣的特徵值和特徵嚮量的分布在高維情況下常常錶現齣集中的性質，這與測量集中現象密切相關。組閤學：在分析隨機圖、隨機置換等組閤對象時，測量集中現象可以幫助我們確定這些對象的性質（如度數分布、連通性）在高維極限下的行為。信息論：測量集中現象在信息傳輸和壓縮的理論極限分析中也有應用。本書旨在為有誌於深入研究這一領域的研究者和高年級本科生、研究生提供一套全麵而嚴謹的理論框架。讀者應具備紮實的概率論和實分析基礎。全書行文嚴謹，論證清晰，並輔以大量的例子和習題，以幫助讀者更好地理解和掌握測量集中現象的精髓。通過學習本書，讀者將能夠深刻理解高維概率測度的行為模式，並將其應用於解決實際的數學和科學問題。