Finite Fields and Applications pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:Mullen, Gary L.; Poli, Alain; Stichtenoth, Henning

出品人:

頁數:261

译者:

出版時間:2004-04-28

價格:USD 69.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9783540213246

叢書系列:

圖書標籤:

• 有限域
• 代數
• 數論
• 密碼學
• 編碼理論
• 組閤數學
• 計算機科學
• 離散數學
• 多項式
• 應用數學

《有限域與應用》 本書深入探討瞭有限域這一數學結構及其在各個領域的廣泛應用，為讀者提供瞭一個全麵而深刻的理解。 第一部分：有限域基礎 本部分將從有限域的基本定義和性質入手，逐步構建讀者對這一抽象概念的直觀認識。我們將詳細介紹伽羅瓦域（Galois Field）的概念，包括其構造方法、基本運算（加法、乘法、除法）以及重要的性質，如階（order）、本原多項式（primitive polynomial）等。讀者將學習如何判斷一個有限域是否存在，以及如何找到它的生成元。 域的定義與性質：迴顧抽象代數中域的基本概念，為理解有限域打下基礎。 有限域的構造：介紹有限域的構造方法，重點講解基於多項式環的商環構造，以及其唯一性（同構意義下）的證明。 特徵與階：深入分析有限域的特徵（characteristic）以及域的大小（階），並探討它們之間的關係。 本原多項式與本原元：解釋本原多項式的概念及其在構造有限域中的關鍵作用，並介紹本原元的性質和查找方法。 子域與擴張：討論有限域的子域結構，以及有限域之間的擴張關係，為理解更復雜的有限域結構奠定基礎。 第二部分：有限域的理論與工具 本部分將進一步深化對有限域的理解，引入更高級的理論工具和概念，為後續的應用章節做好鋪墊。我們將深入研究有限域上的多項式，包括根、分解、因子分解等，並介紹有限域在編碼理論、密碼學等領域的核心作用。 有限域上的多項式：詳細探討有限域上的多項式環，包括多項式的根、不可約多項式、多項式的分解等。 伽羅瓦群：介紹有限域的伽羅瓦群，並闡述其在研究域擴張和域自同構中的重要作用。 跡與範：定義並研究有限域上的跡（trace）和範（norm）運算，及其在不同數學分支中的應用。 有限域上的數論：探討有限域上的數論問題，例如有限域上的單位群、原根等。 代數閉包：簡要介紹有限域的代數閉包概念，幫助理解有限域的完整性。 第三部分：有限域的應用 本部分是本書的核心所在，將詳細介紹有限域在眾多實際領域的廣泛而深刻的應用。讀者將看到抽象的數學理論如何轉化為解決現實問題的強大工具。 編碼理論： 綫性分組碼（Linear Block Codes）：介紹如何利用有限域構造和分析綫性分組碼，包括漢明碼（Hamming Codes）、 BCH 碼（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Codes）等經典碼。 循環碼（Cyclic Codes）：深入講解循環碼的代數結構，以及在有限域上的錶示和譯碼方法。 Reed-Solomon 碼：詳述 Reed-Solomon 碼在糾錯編碼中的強大能力，其在 CD、DVD、二維碼等技術中的應用。 LDPC 碼（Low-Density Parity-Check Codes）：探討 LDPC 碼的理論基礎和實際性能，以及其在現代通信標準中的地位。 密碼學： 有限域上的離散對數問題（Discrete Logarithm Problem）：解釋離散對數問題在公鑰密碼學中的核心地位，以及其睏難性。 公鑰密碼係統：介紹基於有限域的公鑰密碼係統，如 ElGamal 密碼係統。 橢圓麯綫密碼學（Elliptic Curve Cryptography, ECC）：深入講解橢圓麯綫密碼學，包括其在有限域上的運算、密鑰生成、加密和簽名過程，以及其在安全性和效率上的優勢。 對稱密鑰密碼：探討有限域在構造分組密碼（如 AES）中的作用。 組閤設計： 有限幾何（Finite Geometry）：介紹有限域如何構造有限平麵、有限射影平麵等組閤設計，例如帕洛平麵（Pappus plane）、迪斯奈平麵（Desargues plane）等。 拉丁方（Latin Squares）：展示有限域與拉丁方的關係。 糾錯陣列（Error-Correcting Arrays）：介紹利用有限域構造能夠容忍一定錯誤的數據存儲結構。 其他應用： 僞隨機數生成器：介紹基於有限域的僞隨機數生成器。 代數幾何：簡述有限域在代數幾何研究中的作用。 計算科學：討論有限域在某些算法設計和分析中的應用。 目標讀者 本書適閤數學、計算機科學、通信工程、信息安全等領域的學生、研究人員和從業人員。 本科生和研究生：為學習高級編碼理論、密碼學、組閤數學等課程提供堅實的理論基礎。 研究人員：提供深入的理論探討和豐富的應用實例，激發新的研究思路。 工程師和開發人員：幫助理解和設計基於有限域的通信係統、安全協議和數據編碼方案。 閱讀本書的收益 通過閱讀本書，讀者將： 掌握有限域的理論基礎及其關鍵性質。 理解有限域在編碼理論、密碼學、組閤設計等領域的核心作用。 能夠分析和設計基於有限域的各種應用係統。 培養抽象數學思維能力，並將其應用於解決實際問題。 本書旨在以清晰的邏輯、嚴謹的論證和豐富的實例，引導讀者從零開始，逐步深入地掌握有限域及其應用。無論您是想深入理解數字通信的糾錯原理，還是想洞悉現代密碼學的數學基石，抑或是對組閤設計的奇妙世界充滿好奇，本書都將是您不可或缺的參考。

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