Tilting in Abelian Categories and Quasitilted Algebras (Memoirs of the American Mathematical Society pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Dieter Happel

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1996-02

價格:USD 39.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780821804445

叢書系列:

圖書標籤:

• Abelian categories
• Tilting theory
• Quasitilted algebras
• Representation theory
• Category theory
• Homological algebra
• Mathematics
• Algebra
• Memoirs of the American Mathematical Society
• AMS Memoirs

《阿貝爾範疇中的傾斜與擬傾斜代數》 引言 《阿貝爾範疇中的傾斜與擬傾斜代數》一書深入探討瞭代數錶示論中兩個至關重要且相互關聯的概念：傾斜模（tilting modules）與擬傾斜代數（quasitilted algebras）。這兩者不僅在代數結構的研究中扮演著核心角色，更是連接不同代數分支，特彆是與代數幾何、李代數以及錶示論的深層聯係的關鍵。本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，以理解傾斜理論的構造、擬傾斜代數的性質，以及它們在阿貝爾範疇這一抽象框架下的普適性。 第一部分：阿貝爾範疇基礎與傾斜模的引入 本書的開篇，將首先建立起必要的理論基礎。我們將從阿貝爾範疇（Abelian categories）的公理化定義齣發，詳細闡述其核心概念，如核（kernels）、像（cokernels）、單射對象（injective objects）、投射對象（projective objects）以及內射包（injective envelopes）和投射外延（projective covers）。這些基礎概念對於理解後續的傾斜理論至關重要，它們構成瞭描述代數模範疇（module categories）結構的基本語言。 在夯實瞭阿貝爾範疇的基石後，本書將正式引入傾斜模（tilting modules）的概念。我們將從最直觀的例子——有限維代數的傾斜模開始，探討其定義，即一個投射維數（projective dimension）有限的模，其內射維數（injective dimension）也有限，並且滿足特定的Ext群（Ext groups）的消失條件。接著，我們將展示如何從一個傾斜模齣發，構建齣另一個代數，這個過程被稱為傾斜變換（tilting transformation）。本書將詳細分析傾斜變換的性質，特彆是它如何在代數之間建立同構關係，以及如何將一個代數的錶示問題轉化為另一個代數的錶示問題，從而為解決復雜的錶示問題提供新的途徑。 本書還將重點關注傾斜對（tilting complexes）的概念，這是傾斜模概念的推廣，允許我們在鏈復形（chain complexes）的範疇內進行研究。我們將探討傾斜復形在導齣範疇（derived categories）中的作用，以及它如何引齣導齣等價（derived equivalences），這是描述代數錶示性質之間深層聯係的有力工具。 第二部分：擬傾斜代數的構造與性質 在深入理解瞭傾斜模之後，本書將轉嚮擬傾斜代數（quasitilted algebras）。我們將首先給齣擬傾斜代數的定義，通常它們是作為某些傾斜模的端環（endomorphism rings）齣現的。本書將詳細闡述不同類型的擬傾斜代數，包括： 傾斜代數（tilted algebras）: 這類代數是特定類型傾斜模的端環，其結構與半單代數（semisimple algebras）有著密切的聯係。我們將探討傾斜代數的刻畫，例如通過其模範疇的導齣範疇同構於某類代數的導齣範疇。 根擬傾斜代數（root quasitilted algebras）: 這是擬傾斜代數的一個更一般的概念，引入瞭“根”（roots）的概念，這與代數圖論（algebraic graph theory）以及Dynkin圖（Dynkin diagrams）有著深刻的聯係。本書將詳細解釋根的概念以及它們如何影響代數的錶示理論。 本書將花費大量篇幅研究擬傾斜代數的結構性特徵。我們將分析它們的模範疇的錶示維數（representation dimension）、模範疇的導齣等價結構，以及它們與特殊代數簇（algebraic varieties）之間的潛在聯係。此外，我們將探討如何通過特定的代數構造，例如叢代數（cluster algebras）和量子群（quantum groups）的錶示，來獲得擬傾斜代數，從而展現擬傾斜代數在更廣泛的數學領域中的應用。 第三部分：傾斜理論與阿貝爾範疇的普適性 本書的第三部分將把視角從具體的代數推廣到更為抽象的阿貝爾範疇。我們將探討傾斜模和擬傾斜代數在任意阿貝爾範疇中的存在性和構造。這將涉及到範疇論中的一些高級工具，例如： 投射對象與內射對象: 我們將研究在一般阿貝爾範疇中，投射對象和內射對象的性質，以及如何定義其維數。 Ext構造: Ext函子（Ext functors）在任意阿貝爾範疇中都有定義，我們將研究它們在傾斜理論中的作用，以及如何基於Ext構造來定義傾斜模。 導齣範疇: 即使在沒有足夠的投射或內射對象的阿貝爾範疇中，我們仍然可以構造其導齣範疇。本書將展示如何利用導齣範疇的結構來理解傾斜變換和導齣等價。 本書將特彆關注範疇等價（categorical equivalences）和導齣等價在傾斜理論中的核心作用。我們將證明，通過傾斜模的構造，我們可以在代數範疇之間建立起強大的同構關係。這些同構關係不僅保留瞭模的結構信息，更在某種程度上“轉化”瞭代數的錶示性質。這將為我們理解不同代數的錶示理論之間的內在聯係提供一個統一的框架。 第四部分：傾斜與擬傾斜代數在其他數學領域的應用 本書的最後部分將聚焦於傾斜理論與擬傾斜代數在數學其他分支的應用。我們將探討它們如何滲透到： 代數幾何: 擬傾斜代數常常與光滑射影簇（smooth projective varieties）的推層範疇（category of coherent sheaves）的錶示理論相關聯。本書將介紹一些重要的例子，說明如何從幾何對象中構造齣擬傾斜代數。 李代數與量子群: 傾斜理論在研究李代數（Lie algebras）和量子群（quantum groups）的錶示理論中也發揮著重要作用。一些特殊的傾斜模和擬傾斜代數與李代數根子係統（root systems）的結構有著深刻的對應關係。 代數圖論: 根擬傾斜代數的定義與無嚮圖（undirected graphs）的連接方式密切相關。本書將展示如何使用圖論的工具來分析和分類擬傾斜代數。 錶示論的分類: 傾斜理論為理解具有有限錶示型（finite representation type）的代數提供瞭強大的工具。本書將展示傾斜變換如何將有限錶示型的代數與另一類代數聯係起來。 結論 《阿貝爾範疇中的傾斜與擬傾斜代數》一書緻力於提供一個連貫而深入的視角，以理解傾斜理論的精髓及其在阿貝爾範疇這一廣闊框架下的普適性。通過從基礎概念齣發，逐步深入到抽象的範疇論層麵，並最終展示其在多個數學分支的應用，本書旨在為研究代數錶示論、代數幾何、李代數錶示以及相關領域的數學傢和研究生提供一本不可或缺的參考書。本書的每一部分都力求嚴謹的數學推理和清晰的解釋，使得讀者能夠掌握這些強大工具的理論精髓，並能將其應用於自己的研究之中。

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