Selberg Trace Formula for Psl (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:Dennis A. Hejhal

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1983-08

價格:USD 75.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780387123233

叢書系列:Lecture Notes in Mathematics

圖書標籤:

• 數學
• 數論
• 自守形式
• Selberg跡公式
• PSL群
• 譜理論
• 調和分析
• 李群
• 錶示論
• 幾何學

專題綜述：解析數論、自守形式與黎曼麯麵幾何 導言 本書旨在為讀者提供一個深入探索數學交叉領域——解析數論、自守形式理論以及非歐幾何——的全麵視角。我們將聚焦於這些領域內幾個核心概念的相互聯係和相互影響，特彆強調現代數學研究的前沿動態和重要進展。本書的結構設計旨在引導讀者從基礎概念逐步深入到復雜的高級理論，並最終觸及當前研究的熱點問題。 第一部分：經典解析數論的迴顧與現代轉型 1.1 黎曼$zeta$函數與素數分布 本部分將從黎曼$zeta$函數的經典定義齣發，迴顧其在素數定理證明中的關鍵作用。我們將詳細分析歐拉乘積公式，並探討$zeta$函數零點分布與素數隨機性之間的深刻聯係。重點將放在魏因布朗（Weinberger）的素數定理變體，以及解析方法在處理素數分布不規則性方麵的局限性與突破口。此外，將引入狄利剋雷$L$函數，並討論其在算術級數中素數分布理論中的重要地位，特彆是關於“零點是否存在於臨界綫之外”這一核心問題的進展。 1.2 狄利剋雷特徵與代數數論的橋梁 詳細考察狄利剋雷特徵的構造及其在分析傅裏葉級數中的應用。我們將闡釋如何利用特徵函數來分離和研究模算術的結構。這部分將過渡到代數數論，討論有限域上的特徵和高斯和的性質，為後續引入自守形式的廣義化打下基礎。 第二部分：自守形式的結構與模函數 2.1 模群的代數與幾何結構 深入研究模群 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 的結構。我們將從綫性群的定義齣發，構建其在龐加萊上半平麵 $mathbb{H}$ 上的作用，詳細描述莫比烏斯變換及其對 $mathbb{H}$ 的作用。重點分析商空間 $ ext{SL}_2(mathbb{Z}) ackslash mathbb{H}$（即一級模麯麵）的拓撲結構，包括其虧格、尖點（cusps）和拋物綫子群的性質。使用矩陣論的語言來描述自由群的生成元及其關係式。 2.2 模函數的定義與性質 精確定義模函數，特彆是其在尖點處的行為（範特定義）。我們將考察艾森斯坦級數（Eisenstein Series）的構造，並證明它們是模函數空間中的基本元素。利用模微分方程來理解模函數的解析性質，並引入拉馬努金 $ au$ 函數作為模形式理論的標誌性對象。 2.3 Hecke算子：自守形式的動力學 Hecke算子的引入是理解模形式譜結構的關鍵。我們將定義作用於模空間的Hecke算子，並證明它們在模空間中是正規算子。深入分析Hecke特徵值與數論函數（如除數函數）之間的關係，特彆是Hecke關係式在係數乘積公式中的體現。這一部分將強調Hecke算子的譜分解如何將模空間與數論問題聯係起來。 第三部分：非歐幾何與黎曼麯麵 3.1 龐加萊上半平麵的幾何 詳細闡述龐加萊度量（Poincaré metric）在 $mathbb{H}$ 上的定義，以及它如何誘導齣非歐幾何結構。分析測地綫（geodesics）的性質，證明它們在 $mathbb{H}$ 中錶現為半圓或垂直綫段。重點討論 $ ext{PSL}_2(mathbb{R})$ 作用下的等距變換群，以及該群與雙麯幾何的關係。 3.2 黎曼麯麵的構造與算術應用 將商空間 $Gamma ackslash mathbb{H}$（其中 $Gamma$ 是一個離散子群，如 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$）視為一個帶尖點的黎曼麯麵。分析麯麵的拓撲不變量，特彆是虧格（genus）的計算，並將其與模群的指數聯係起來（如馮·德·韋爾德定理）。討論如何利用麯麵的幾何結構來研究模函數的周期積分。 3.3 譜理論與幾何的交叉 引入拉普拉斯-貝特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）在 $mathbb{H}$ 上的定義。闡述模函數如何成為該算子在特定邊界條件下的特徵函數。通過泊鬆核（Poisson Kernel）的構造，將模塊化積分與狄利剋雷問題聯係起來。討論模空間的幾何結構如何影響其光譜屬性，這是連接幾何與分析的核心橋梁。 第四部分：痕跡公式的理論基礎與應用潛力 4.1 黎曼-策勒（Riemann-Zeller）型痕跡公式的起源 本部分將追溯痕跡公式的早期形式，即黎曼對$zeta$函數零點與素數分布之間關係的一種猜想性的錶達。解釋幾何對分析的啓示：為什麼一個離散的、由不動點構成的集閤（如雙麯流形上的測地綫）的長度信息，能夠完全決定一個連續的譜（如拉普拉斯特徵值）。 4.2 策勒（Selberg）痕跡公式的代數基礎 深入闡述策勒痕跡公式的構造。我們首先考察離散群 $Gamma$ 的共軛類（即測地綫）的長度公式，並將其與 Hecke 算子在函數空間上的作用跡聯係起來。將詳細推導策勒公式的基本形式，其中包含對麯麵上所有閉閤測地綫長度的求和，以及對特徵函數譜的求和。 4.3 潛在的應用領域：從數論到量子混沌 討論策勒痕跡公式在現代數學物理中的重要地位。分析它如何成為研究量子混沌（Quantum Chaos）的基石，即將經典動力學係統的不規則性轉化為量子能級（譜）的統計性質。展望該公式在更一般化的李群上的推廣，特彆是與阿代爾（Adèles）和自守錶示理論的結閤，以及它在構造更精細的素數計數函數方麵的潛力。 結論 本書旨在提供一個多維度的視野，展示解析數論、自守形式理論和幾何分析之間錯綜復雜的關係。通過對這些核心概念的係統梳理，讀者將能夠把握現代數論研究的脈絡，為進一步探索更前沿的課題做好準備。

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