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出版者:Cambridge University Press

作者:Michael Evans

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-12-29

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780521609272

丛书系列:

图书标签:

数学
高级数学
数学解题
Essential Mathematics
微积分
函数
代数
统计
概率
解题指南

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具体描述

《高等数学精要：深入理解与应用》作者： [此处可填写假设作者姓名] 出版社： [此处可填写假设出版社名称] ISBN： [此处可填写假设ISBN] 书籍概述：《高等数学精要：深入理解与应用》旨在为读者提供一个全面、严谨且富有启发性的高等数学学习资源。本书超越了传统教科书的范畴，聚焦于数学理论的核心概念、逻辑结构及其在科学、工程、经济等多个领域的实际应用。本书的编写基于对现代数学教育理念的深刻理解，强调概念的内在联系、证明过程的严密性以及问题解决策略的构建。本书结构清晰，逻辑严密，内容涵盖了微积分学的核心内容——极限、连续性、导数、积分及其应用，并在此基础上深入探讨了多元微积分、级数理论以及微分方程的初步介绍。全书力求在理论深度与教学可行性之间取得最佳平衡，使读者在打下坚实的理论基础的同时，能够熟练掌握解决实际问题的工具。第一部分：微积分基础——极限与连续性本书的开篇聚焦于微积分的基石——极限。我们不仅介绍了 $epsilon-delta$ 语言的严谨定义，更通过直观的几何解释和丰富的实例，帮助读者建立对极限概念的深刻洞察。我们详细讨论了序列的收敛性与发散性，函数极限的性质，以及一致连续性等高级概念。随后，本书深入探讨了函数连续性的理论。连续性的定义、连续函数的性质（如介值定理和最值定理）被详尽阐述。我们特别强调了从离散（序列）到连续（函数）概念的过渡，这是理解微积分本质的关键步骤。通过对初等函数的连续性分析，读者将能更好地理解函数的局部行为。第二部分：微分学——变化率的精确描述微分学部分是本书的核心。我们从导数的定义出发，系统地推导了微分法则，包括乘积法则、商法则、链式法则等。本书特别关注链式法则在复合函数求导中的灵活运用，这对于处理复杂模型至关重要。接下来的章节专注于导数的应用。我们详细分析了利用导数研究函数的单调性、极值和凹凸性。通过对函数的图形分析，读者将学会如何利用微积分工具刻画函数的整体行为。罗尔定理、均值定理（包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理）被赋予了严格的证明，并展示了它们在证明其他数学定理中的基础作用。此外，本书还专门辟出章节讨论隐函数求导、参数方程求导以及高阶导数。在应用方面，我们涵盖了速率与加速度、相关变化率、优化问题（如最大化利润、最小化成本）等经典应用，并引入了泰勒定理和麦克劳林级数，为后续的函数逼近奠定基础。第三部分：积分学——积累与总量积分学的学习围绕定积分和不定积分展开。我们首先介绍了黎曼和的概念，并以此为基础严格定义了定积分。对定积分的定义性探讨有助于读者理解积分的几何意义（面积和体积）。牛顿-莱布尼茨公式作为连接微分与积分的桥梁，被放在关键位置进行深入剖析和应用。本书详细介绍了各种积分技巧，包括直接积分法、换元积分法（变量代换）和分部积分法。每种方法都配有大量的例题和技巧提示。对于无法用初等函数表示的积分，本书介绍了数值积分方法，如梯形法则和辛普森法则，并分析了它们的误差估计，强调了理论与计算的结合。不定积分部分则侧重于有理函数积分、三角函数积分以及涉及根式的积分，这些都是工程计算中常见的挑战。第四部分：积分的应用与超越本部分将积分的应用拓展到更广阔的领域。我们详细讨论了定积分在计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）中的应用。此外，弧长、曲面面积的计算也被纳入讨论范围。本书进一步探讨了物理学和几何学中的应用，如质心、转动惯量、功和流体力学中的压力计算。随后，我们转向了广义积分（反常积分）的学习，包括无穷区间积分和积分中含有奇点的积分，并引入了判别广义积分收敛性的判别法。第五部分：多元微积分初步为了应对现实世界中多变量问题的需求，本书引入了多元函数的概念。我们从二维和三维空间中的函数出发，定义了偏导数、梯度和方向导数。这些概念被用来分析多变量函数在特定方向上的变化率。全微分的概念被严格引入，并用于误差分析。隐函数和反函数的求导法则在多元情形下得到了推广。梯度和方向导数是连接几何直观与解析计算的关键。我们详细分析了梯度向量与等高线（面）的关系，这是理解最优化方法的基础。第六部分：级数理论级数是分析无限过程和构造函数逼近的强大工具。本书首先介绍了序列的极限，然后进入了级数的世界，区分了常数项级数和函数项级数。对于常数项级数，我们详细分析了收敛性的各种测试方法，包括比值判别法、根值判别法、积分判别法以及比较判别法。幂级数的概念被引入，并重点讨论了其收敛半径和收敛区间。泰勒级数和麦克劳林级数被视为用多项式逼近函数的终极工具。本书展示了如何利用这些级数来表示著名的函数（如 $e^x, sin x, cos x$），并讨论了级数展开的误差估计（泰勒余项）。目标读者与学习目标：本书特别适合于工程学、物理学、经济学、计算机科学以及数学专业本科生作为核心教材或辅导资料。通过对本书的学习，读者应能： 1. 掌握严格的数学语言：能够理解并运用 $epsilon-delta$ 语言进行严谨的数学论证。 2. 精通核心计算技巧：熟练掌握微分、积分的各类计算方法，并能灵活应用于复杂问题。 3. 建立理论与应用间的桥梁：能够识别实际问题中的微积分模型，并利用所学知识求解。 4. 培养批判性思维：对数学结论保持质疑精神，能够独立分析和证明定理。本书力求在保持数学严谨性的同时，激发读者对数学美感和力量的欣赏。它不仅仅是一本计算手册，更是一本引导读者通往高等数学深层理解的指南。