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出版者:Brooks Cole

作者:Judy Flagg Moran

出品人:

頁數:608

译者:

出版時間:2003-06-19

價格:USD 197.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780534362409

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 預微積分
• 高等數學
• 函數
• 三角函數
• 代數
• 解析幾何
• 指數與對數
• 數列與級數
• 極限

好的，這是一本關於高等代數與數論導論的圖書簡介。 --- 高等代數與數論導論 目錄概覽 第一部分：群論基礎與結構 1. 集閤、關係與函數迴顧 2. 群的定義與基本性質 3. 子群、陪集與拉格朗日定理 4. 正規子群與商群 5. 同態與同構定理 6. 循環群與有限生成群 7. 自由群與群錶示 第二部分：環與域的構造 8. 環的定義與基本概念 9. 理想、商環與環同態 10. 整環與域 11. 主理想整環、歐幾裏得整環與唯一因子域 12. 多項式環的性質 13. 域的擴張與代數數 第三部分：數論：素數與模運算 14. 整除性、素數的定義與算術基本定理 15. 同餘關係與模 $n$ 的運算 16. 歐拉定理與費馬小定理 17. 綫性同餘方程組與中國剩餘定理 18. 勒讓德符號與二次互反律 第四部分：應用與進階主題 19. 模 $n$ 上的原根 20. 離散對數問題簡介 21. 有限域的構造與性質 22. 應用：公鑰密碼學中的數論基礎 --- 內容詳述 本書旨在為數學、計算機科學及工程領域的學生提供一個深入而嚴謹的高等代數（側重群論與環論）與初等數論的綜閤性導論。我們避開瞭對微積分和基礎函數特性的過度依賴，而是專注於抽象代數結構和整數的內在規律。 第一部分：群論基礎與結構——代數對稱性的探索 本部分建立群論的基石。從集閤論的嚴格鋪墊開始，我們迅速過渡到群的嚴格定義——一個帶有封閉二元運算且滿足結閤律、存在單位元和逆元的集閤。我們詳細探討瞭子群、陪集以及群論中裏程碑式的拉格朗日定理，該定理揭示瞭有限群的階與子群階之間的深刻關係。 接下來的章節深入到群結構的“分解”：正規子群的概念是理解商群（或稱因子群）的關鍵。商群允許我們在保持運算結構的同時，對群進行“簡化”或“模化”，這在物理學中的對稱性分析和密碼學中至關重要。我們隨後係統地闡述瞭群同態和第一同構定理，這是抽象代數中最有力的工具之一，它建立瞭原群與其商群之間的精確聯係。 最後，我們考察瞭循環群的結構及其生成元特性，並對自由群進行瞭初步介紹，展示瞭如何通過生成元和關係來描述一個群的結構。 第二部分：環與域的構造——代數運算的擴展 在掌握瞭群論的單操作結構後，本書將焦點轉移到具有兩種運算——加法和乘法的代數結構：環。我們定義瞭環，並探討瞭加法和乘法如何相互作用。 本部分的核心在於理想的概念。理想是環中類似於子群的概念，但它在乘法運算上的限製更為嚴格，是構造商環的必要條件。通過同態定理在環上的推廣，學生將理解環同態與理想之間的對偶性。 我們著重研究瞭具有特殊乘法性質的環：整環（無零因子）和域（域是所有非零元素都可逆的整環）。在此基礎上，我們進入瞭代數結構中的“最優良”結構——主理想整環 (PID) 和 歐幾裏得整環 (ED)。我們證明瞭 $mathbb{Z}$（整數環）和多項式環 $F[x]$（其中 $F$ 是域）都是 PID，並闡述瞭它們在除法算法和最大公約數計算中的優越性。 最後，我們探討瞭域的擴張，即如何從一個基礎域構造齣包含更高次代數元素的擴展域，為理解代數數論和伽羅瓦理論奠定基礎。 第三部分：數論：素數與模運算——整數世界的秩序 這部分將理論應用於最基礎但最神秘的結構——整數集 $mathbb{Z}$。我們從算術基本定理（唯一素數分解）齣發，強調瞭素數的中心地位。 重點放在瞭同餘關係上。我們定義瞭模運算，並展示瞭它如何將環 $mathbb{Z}$ 映射到 $mathbb{Z}_n$（模 $n$ 的整數環），這直接關聯到第一部分學到的商群結構。隨後，我們深入研究瞭數論中的兩個關鍵工具：歐拉定理和費馬小定理，它們極大地簡化瞭高次冪的模運算。 中國剩餘定理的闡述將提供一種在多個模下求解一緻方程組的係統方法，這在分組計算和錯誤檢測中非常實用。 在更高級的數論領域，我們引入瞭勒讓德符號，這是判斷一個整數是否為模素數平方的二次剩餘的關鍵工具。最後，我們將用二次互反律——高斯發現的優美定理——來展示素數之間關於平方剩餘的深刻聯係。 第四部分：應用與進階主題 本部分旨在展示代數與數論在現代技術中的強大效用。我們探討瞭原根在生成模 $p$ 意義下的乘法群時的重要性，並簡要介紹瞭離散對數問題的計算難度。 最後，本書轉嚮瞭有限域的構造。有限域，特彆是 $GF(p^k)$，是現代編碼理論和密碼學（如橢圓麯綫加密）的基石。我們展示瞭如何利用多項式環與理想的知識來精確構造這些有限代數結構，並以公鑰密碼學（如 RSA 算法背後的數論原理）作為結束，證明瞭對抽象結構的研究如何直接轉化為保護信息安全的能力。 本書的難度定位在紮實的代數基礎之上，適閤已完成基礎微積分和綫性代數課程的學生，作為深入探索代數結構和數論思想的權威教材。

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评分☆☆☆☆☆

不得不說，這本《Precalculus》的排版和設計絕對是加分項！我之前也接觸過一些數學書，但很多都顯得枯燥乏味，密密麻麻的文字和公式讓人望而生畏。而這本書，色彩運用得當，圖示清晰直觀，每當齣現新的定義或定理，都會有醒目的標識，方便我快速抓住重點。更重要的是，作者在講解過程中，非常注重語言的平實和易懂。他沒有使用太多晦澀難懂的專業術語，即使偶爾齣現，也會立刻給齣通俗易懂的解釋。閱讀這本書的感覺，就像是在和一位經驗豐富的老師在進行一對一的交流，他會耐心解答你的疑問，引導你一步一步地思考。我特彆欣賞書中關於三角函數的部分，作者用瞭一種非常形象的比喻，將單位圓上的點與角度、坐標聯係起來，讓我一下子就理解瞭正弦、餘弦、正切這些函數的幾何意義。這比我之前死記硬背公式要有效得多，也更容易記住。

评分☆☆☆☆☆

對於我這樣一個需要為微積分課程做準備的學生來說，這本《Precalculus》簡直就是一座寶藏。它涵蓋瞭預備微積分所有核心的概念，而且講解得非常透徹，一點也不馬虎。作者在處理每一個主題時，都力求全麵，比如在討論指數和對數函數時，不僅解釋瞭它們的性質和圖象，還深入探討瞭它們在實際問題中的應用，例如復利計算和放射性衰變。這種深度讓我覺得，這本書不僅僅是在“鋪墊”微積分，而是在構建一個堅實的基礎。我尤其喜歡書中對“證明”的講解，雖然我不是數學專業，但作者用一種比較易於理解的方式，展示瞭如何去構建和理解數學證明，這對於培養我的邏輯思維能力非常有幫助。做完習題之後，我常常能感覺到自己的數學思維得到瞭提升，能夠用更嚴謹的態度去分析問題。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我曾經對預備微積分這個科目感到非常頭疼，總覺得它就像是一個巨大的迷宮，讓我無從下手。但是，這本《Precalculus》卻像一把鑰匙，為我打開瞭通往數學世界的大門。作者的敘述風格非常獨特，他善於運用類比和故事來解釋復雜的概念，讓我在輕鬆愉快的閱讀過程中，不知不覺地掌握瞭知識。比如，在講解數列和級數的時候，他會用一個“滾雪球”的比喻來形象地說明級數的纍加過程，這讓我一下子就明白瞭無窮級數的概念。而且，書中對於每一個章節的總結都做得非常到位，幫助我迴顧和鞏固所學內容。我還會反復翻閱書中的一些關鍵章節，每次都會有新的體會和發現。感覺這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的良師益友。

评分☆☆☆☆☆

我發現這本《Precalculus》在處理一些容易混淆的概念時，錶現得尤為齣色。例如，在區分函數、關係以及它們之間的異同方麵，作者通過大量的圖錶和具體的例子，讓我對這些概念有瞭清晰的認識。他不會隻停留在定義層麵，而是會深入剖析這些概念的本質以及它們之間的聯係。我特彆喜歡書中對“極限”概念的引入，作者沒有一開始就拋齣復雜的定義，而是通過觀察函數圖像在接近某個點時的變化趨勢，引導讀者去體會極限的思想。這種“由錶及裏”的講解方式，讓我更容易接受和理解。而且，書中的習題難度梯度設計得很閤理，從基礎的計算題到需要綜閤運用多個知識點的應用題，都有涉及，這能夠有效地幫助我檢驗學習效果，並發現自己薄弱的環節。這本書真的為我今後的數學學習打下瞭堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本《Precalculus》簡直是為我量身定做的！我一直以來都對數學有著莫名的恐懼感，特彆是那些抽象的符號和公式，每次接觸都感覺頭暈腦脹。但這本書不一樣，它以一種非常友好的方式，循序漸進地引導我進入預備微積分的世界。從最基礎的函數概念開始，每一章都緊密銜接，邏輯清晰得就像一條清晰的河流。我尤其喜歡作者在講解每一個新概念時，都會配上大量的實際生活中的例子，比如用拋物綫來解釋二次函數，用指數增長來描繪人口或投資的變化。這些例子讓那些原本冰冷的數學概念一下子變得鮮活起來，讓我覺得數學不再是高高在上、遙不可及的理論，而是與我們生活息息相關的工具。而且，書中的習題設計也非常巧妙，有基礎鞏固的，也有一些挑戰思維的，每當我解齣一道題，那種成就感真的無法言喻。我不再害怕數學瞭，反而開始期待下一章的內容，想知道還有什麼有趣的數學原理等著我去發現。

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