Algèbre MPSI - Cours et 700 exercices corrigés pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Dunod

作者:Jean-Marie Monier

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出版時間:2003-06-26

價格:0

裝幀:Paperback

isbn號碼:9782100079438

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《數學分析基礎：從概念到應用》 第一部分：微積分的根基——實數係統與函數 本書旨在為讀者構建堅實的數學分析基礎，涵蓋從最基礎的實數係統到高等微積分概念的應用。我們將從實數集的完備性齣發，深入探討序列的收斂性、極限的定義及其性質，這是理解整個微積分體係的基石。 第一章：實數係統與拓撲結構 1.1 實數集的構造與性質： 考察有理數集的局限性，引入無理數的概念。詳細討論實數集的有序性、阿基米德性以及笛卡爾積的構建。 1.2 完備性原理： 深入闡述上確界（Supremum）和下確界（Infimum）的概念，並用柯西收斂準則（Cauchy Criterion）證明實數集的完備性。這是分析學區彆於代數的基礎。 1.3 拓撲初步： 在實數綫上引入鄰域（Neighborhood）的概念，定義開集（Open Sets）和閉集（Closed Sets）。探討點集拓撲在 $mathbb{R}$ 上的具體錶現，如聚點（Accumulation Points）和極限點（Limit Points）。 1.4 基本不等式： 詳細推導和應用均值不等式（Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality）及其推廣形式，為後續的函數分析奠定工具基礎。 第二章：序列與級數的收斂性 2.1 序列的極限： 嚴格定義序列的收斂性 ($epsilon-N$ 語言)。討論發散的條件以及無窮大（Infinity）的極限。 2.2 單調收斂定理與柯西序列： 證明單調有界序列必收斂，並探討柯西序列在實數係統中的重要作用。 2.3 子序列與聚點： 引入 Bolzano-Weierstrass 定理，闡述任何有界序列都存在收斂子序列的深刻含義。 2.4 級數理論基礎： 定義級數（Series）的概念，區分常數項級數與函數項級數。分析正項級數的斂散性判彆法，如比較判彆法、比值判彆法（Ratio Test）和根值判彆法（Root Test）。 2.5 交錯級數與絕對收斂： 深入探討交錯級數，證明萊布尼茨判彆法（Leibniz Test）。區分條件收斂與絕對收斂，並討論級數重排對和值的影響。 第二部分：單變量微積分 本部分聚焦於函數極限、導數和定積分的嚴謹定義與應用，側重於理解變化率和積纍量的數學錶達。 第三章：函數極限與連續性 3.1 函數極限的定義： 使用 $epsilon-delta$ 語言精確定義函數的極限，區分左極限和右極限。 3.2 極限的代數性質： 證明極限的四則運算法則，以及極限存在的必要條件。 3.3 連續性： 基於函數極限定義連續性。探討初等函數的連續性，並證明連續函數在閉區間上的重要性質：有界性（Boundedness）和最值定理（Extreme Value Theorem）。 3.4 一緻連續性： 區分點態連續與一緻連續性（Uniform Continuity）。通過反例說明緊集（Compact Sets）上的函數性質。 第四章：導數與微分 4.1 導數的定義與幾何意義： 引入導數的極限定義，闡釋其在幾何上錶示切綫斜率和瞬時變化率的意義。 4.2 微分法則： 係統推導乘法法則、商法則和鏈式法則（Chain Rule）。特彆關注涉及反函數和隱函數的求導。 4.3 中值定理： 詳盡分析費馬引理（Fermat's Lemma）、羅爾定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）。這些定理是分析函數行為的強大工具。 4.4 高階導數與泰勒展開： 定義二階及高階導數。推導柯西中值定理，並在此基礎上嚴格證明泰勒定理（Taylor's Theorem）及其拉格朗日餘項和佩亞諾餘項。 4.5 導數的應用： 利用導數分析函數的單調性、極值點、凹凸性（Concavity）和拐點。應用洛必達法則（L'Hôpital's Rule）處理未定式極限。 第五章：定積分理論 5.1 黎曼可積性： 介紹定積分的定義——黎曼和（Riemann Sums）。探討可積函數的充要條件，重點分析連續函數和單調函數的可積性。 5.2 微積分基本定理： 詳細論證微積分的“基本定理”（The Fundamental Theorem of Calculus），這是連接微分和積分的橋梁。 5.3 積分的性質與計算技巧： 討論積分的綫性性質、估值不等式（Estimation Inequalities）。係統介紹分部積分法（Integration by Parts）和變量代換法在定積分計算中的應用。 5.4 廣義積分（Improper Integrals）： 介紹積分上限或被積函數齣現無窮大時的廣義積分概念，並討論其斂散性判據。 第三部分：序列與函數的極限分析 本部分從單變量分析過渡到函數序列和函數項級數，引入一緻收斂性的核心概念。 第六章：函數序列與函數項級數 6.1 點收斂與一緻收斂： 精確區分點收斂（Pointwise Convergence）和一緻收斂（Uniform Convergence）。強調一緻收斂在保持拓撲性質方麵的重要性。 6.2 一緻收斂的判定： 學習魏爾斯特拉斯 M 判彆法（Weierstrass M-Test）來判定函數項級數的一緻收斂性。 6.3 連續性、可積性與一緻收斂： 論證一緻收斂序列極限函數的連續性、一緻收斂級數的求和函數可積性。 6.4 一緻收斂與微分： 討論在何種條件下可以交換極限運算和微分運算（即交換求導順序和求和順序）。 第七章：冪級數 7.1 冪級數的定義與收斂半徑： 考察形如 $sum a_n (x-c)^n$ 的級數，利用比值判彆法確定收斂半徑 $R$。 7.2 冪級數的性質： 證明在收斂區間內，冪級數可以逐項求導和逐項積分，且保持一緻收斂性。 7.3 泰勒級數與解析函數： 介紹如何利用泰勒級數錶示特定函數（如指數函數、三角函數、對數函數）。探討解析函數（Analytic Functions）的概念，即局部上可以被冪級數錶示的函數。 附錄：進階主題探索 度量空間初步： 簡要引入度量空間的抽象概念，將 $mathbb{R}$ 的拓撲結構置於更廣闊的背景下。 數值計算方法簡介： 討論牛頓法在求解方程中的迭代過程，並分析其收斂速度。 本書的結構嚴謹，概念引入清晰，旨在培養讀者對數學分析的深刻理解和嚴謹的邏輯思維能力，為後續學習微分方程、實分析及泛函分析打下堅實的基礎。

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總而言之，這本書絕不是那種用來在咖啡館裏翻閱、消磨時間的休閑讀物。它更像是一副需要你拿齣全部心力去雕琢的工具。它要求你主動思考，而不是被動接受。在我看來，它的價值在於提供瞭一個完整且自洽的MPSI代數學習係統，從理論的基石到應用的前沿，都有清晰的指引。如果你是那種渴望真正理解數學深層結構、不滿足於“知道怎麼做”而追求“明白為什麼這麼做”的求知者，那麼這本書就是為你量身打造的。它帶來的知識深度和解決問題的能力提升，遠遠超齣瞭單純的考試準備範疇，它培養的是一種嚴謹的、結構化的思維方式，這種能力在未來的所有學術和職業生涯中都將是寶貴的財富。這本書，值得反復研讀，直到書頁泛黃，筆記寫滿。

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真正開始閱讀後，我立刻體會到瞭其課程部分的精妙之處。作者在引入每一個核心概念時，都展現齣一種非凡的洞察力，他們似乎能精確地預判到學生會在哪裏感到睏惑。敘述的邏輯鏈條是如此的緊密和連貫，從最基礎的群、環、域的定義，到更復雜的綫性代數結構，每一步的過渡都自然得像是水到渠成，而不是強行拼接的知識點堆砌。我尤其欣賞它對理論背景的鋪陳，它不僅僅是羅列公式，而是深入探討瞭為什麼需要這種結構，這些抽象概念在數學體係中扮演著怎樣的角色。書中對於定理的證明部分，往往會提供不止一種視角，有時候是純粹的代數推導，有時候則會巧妙地引入幾何直覺作為輔助理解，這種多維度的講解方式極大地拓寬瞭我的思維邊界。對於我這個習慣於“看到圖像纔能理解抽象”的學習者來說，這種詳盡且富有層次的理論闡述，是無可替代的學習資源。

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關於練習題部分，那700道習題的規模確實令人望而生畏，但一旦你開始動手實踐，就會發現這纔是這本書真正的價值所在。它們的設計哲學明顯是圍繞著“深度掌握”而非“廣度覆蓋”展開的。最初的幾組題目相對基礎，主要是為瞭鞏固前一節課剛剛學到的定義和基本操作，確保基礎盤夠穩。然而，隨著章節的深入，題目的難度和復雜度呈指數級增長，它們不再是簡單地套用公式，而是要求你綜閤運用前幾個章節學到的多種工具去解決一個復雜問題。最令我感到驚喜的是，很多題目都設置在瞭理論與應用之間的灰色地帶，它們巧妙地測試瞭你對理論深刻性的理解程度。更重要的是，配套的更正部分是極其詳盡的——它不僅僅給齣瞭最終答案，而是完整地重現瞭解決問題的每一步推理路徑，甚至會標注齣“如果從A角度思考，可能會陷入的誤區”，這種亦師亦友的反饋機製，讓我在多次卡殼後，每次都能獲得巨大的進步感。

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這本書的排版和符號使用，是法式數學教材一貫的嚴謹體現，但對於初次接觸的人來說，可能需要一個適應期。整體而言，它給人的感覺是“不妥協的學術性”。沒有那些為瞭迎閤初學者而過度簡化的插圖或花哨的顔色區分，一切都以清晰傳達數學思想為最高優先級。字體選擇清晰銳利，公式的對齊和結構感極強，這對於閱讀長篇的數學推導至關重要，可以有效減少因視覺疲勞或排版混亂帶來的閱讀障礙。我發現，當我把注意力完全沉浸在書中的邏輯中時，外界的乾擾仿佛都消失瞭，這完全歸功於它那種沉靜、專業的視覺語言。它要求你投入全部的專注力，迴報你的是無可挑剔的邏輯體驗。這種對細節的苛求，無疑是培養未來數學傢或工程師所必需的思維習慣的絕佳訓練場。

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這本書的封麵設計有一種經典的法式數學教科書的韻味，簡潔而有力，深藍色的背景配上白色的標題，立刻讓人聯想到嚴謹和深度。我是在準備進入高等院校的預科階段（MPSI）時聽人推薦的，當時我對“代數”這個詞還抱有一種敬畏之心，畢竟它代錶著從高中數學到真正大學數學的巨大飛躍。拿到書的那一刻，最先吸引我的是它厚實的質感，這暗示著內容量絕對是紮實的，不是那種隻停留在錶麵概念的“快餐式”讀物。內頁的紙張質量也相當不錯，在長時間的翻閱和用熒光筆標記後，依然能保持清晰，這對於需要反復鑽研的理工科學生來說，是一個非常重要的細節。裝幀上看得齣是耐用的，預示著它會陪伴我度過整個緊張而關鍵的預備年。光是這份實體感和視覺上的專業度，就已經給瞭我極大的信心，讓我覺得手中握著的是一把通往更高階數學殿堂的鑰匙，而不是一本普通的練習冊。它散發齣的那種沉穩的氣息，讓人在翻開第一頁之前，就已經做好瞭迎接挑戰的心理準備。

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