Differential Equations, Binder Ready Version pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Wiley

作者:James R. Brannan

出品人:

頁數:704

译者:

出版時間:2006-12-6

價格:USD 96.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780471936954

叢書系列:

圖書標籤:

• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 數學
• 高等數學
• 工程數學
• Binder Ready
• 教科書
• 理工科
• 數學分析

經典微積分的堅實基石：深入解析常微分方程的理論與應用 《微分方程概論：理論基礎與工程實踐》 圖書定位： 本書旨在為學習常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的學生提供一套全麵、深入且具有高度實踐價值的教材。它不僅嚴格遵循數學學科對理論深度和嚴謹性的要求，更注重將抽象的數學模型與現實世界中的物理、工程、生物及經濟現象緊密結閤，幫助讀者建立起強大的問題解決能力。本書適用於數學、物理、工程學、計算機科學以及應用科學等領域的本科高年級學生及研究生入門課程。 內容架構與特色： 本書的結構設計經過精心規劃，力求邏輯清晰、循序漸進，確保讀者能夠穩步掌握微分方程的核心概念和解題技巧。全書分為五大部分，層層遞進： --- 第一部分：一階微分方程的理論與基礎 本部分是整個微分方程學習的基石，重點在於理解微分方程的本質、分類以及最基礎的求解方法。 1.1 方程的起源與基本概念： 首先，本書詳細闡述瞭微分方程在科學和工程中産生的背景，例如牛頓第二定律、人口增長模型（Malthusian模型）以及放射性衰變。我們清晰地定義瞭微分方程的階、綫性與非綫性、齊次與非齊次等基本術語。通過大量的實例，讀者將建立起“微分方程即是描述係統動態變化的數學語言”的直觀認識。 1.2 一階方程的精確解法： 我們將篇幅重點放在掌握求解一階常微分方程的五大經典方法上： 變量分離法： 對最基礎的可以分離變量的方程進行詳盡的講解和應用實例。 精確方程及其積分因子法： 深入探討瞭偏導數判彆法，並詳細推導瞭如何構造積分因子來轉化非精確方程。 一階綫性方程與伯努利方程： 引入瞭積分因子在求解綫性方程中的應用，並展示瞭如何通過適當的變量替換將伯努利方程轉化為綫性方程。 恰當的建模練習： 提供瞭關於混閤物濃度、電路瞬態響應等經典應用題，訓練讀者將實際問題轉化為數學模型的能力。 1.3 存在性與唯一性定理： 理論的嚴謹性至關重要。本章深入探討瞭皮卡-林德勒夫（Picard-Lindelöf）定理，即解的存在性與唯一性定理。我們用圖形化的方式解釋瞭局部解的存在性，這對於理解數值方法的適用範圍至關重要。 --- 第二部分：高階綫性常微分方程 本部分聚焦於階數大於一的綫性方程，這是許多物理係統（如振動、電路）建模的核心工具。 2.1 二階綫性齊次方程： 我們從常係數綫性齊次方程入手，係統性地講解瞭特徵方程的求解（包括實根、重根和復根情況）。重點在於對解的結構（通解的構造）的深刻理解，即解空間是一個嚮量空間。 2.2 非齊次方程的求解方法： 針對非齊次項 $g(x)$ 的不同形式，本書詳述瞭兩種主流的求解方法： 待定係數法： 針對多項式、指數函數、正弦/餘弦函數的組閤，提供瞭一套完整的“試探解”規則和處理共振情況的技巧。 常數變易法（拉格朗日方法）： 作為一種更普適的方法，本節詳細推導瞭該方法的步驟，使其不依賴於 $g(x)$ 的具體形式，是理論上的重要延伸。 2.3 常係數高階綫性方程與歐拉-柯西方程： 我們將解法推廣到三階及以上階數的常係數方程。同時，引入瞭特殊的歐拉-柯西方程，並展示瞭如何通過變量替換將其轉化為常係數方程進行求解。 2.4 綫性係統的解法： 本章將綫性微分方程組的求解視為矩陣方法的前奏，著重介紹如何利用微分算子（D-operator）和拉普拉斯變換的思想來處理簡單係統。 --- 第三部分：綫性方程的矩陣方法與係統分析 這是連接純數學與應用分析的關鍵橋梁，使用綫性代數工具來解決涉及多個相互關聯變量的問題。 3.1 綫性係統基礎： 引入嚮量值函數、解的存在性與唯一性在嚮量空間中的錶達。我們詳細闡述瞭綫性係統 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的解的結構，包括基解集、朗斯基行列式（Wronskian）的意義。 3.2 矩陣指數函數： 本書花費大量篇幅講解矩陣指數 $e^{At}$ 的概念及其計算方法，包括基於特徵值/特徵嚮量的對角化方法，以及處理不可對角化（存在缺陷嚮量）情況的若爾當標準型（Jordan Canonical Form）的應用。 3.3 非齊次係統的求解： 介紹利用常數變易公式（在矩陣形式下）和“未定係數法”的矩陣推廣來求解 $mathbf{x}' = Amathbf{x} + mathbf{f}(t)$。 3.4 相平麵分析（定性分析）： 對於二維係統，本書側重於定性分析，討論平衡點（奇點）的分類（鞍點、結點、中心、焦點）及其穩定性，這對於理解物理係統的長期行為至關重要。 --- 第四部分：拉普拉斯變換及其工程應用 拉普拉斯變換被視為處理非齊次項和初始值問題的“瑞士軍刀”，尤其在電路分析和控製理論中不可或缺。 4.1 變換的定義與基本性質： 詳細介紹拉普拉斯變換的定義、綫性性質、時移性質以及對導數和積分的變換法則。 4.2 求解常微分方程： 本章的核心是通過拉普拉斯變換將微分方程轉化為代數方程，求解後再進行逆變換。重點演示如何利用該方法處理具有不連續輸入（如階躍函數、衝激函數）的物理係統。 4.3 捲積積分： 深入講解捲積定理，並將其應用於求解具有任意脈衝響應函數的綫性時不變（LTI）係統的輸齣問題。 --- 第五部分：級數解法與特殊函數 當方程無法通過初等函數求解時，級數方法是通往更復雜解的途徑。 5.1 冪級數解法： 係統地介紹在普通（非奇點）點附近的冪級數展開法，展示如何利用係數關係構造解。 5.2 弗羅貝尼烏斯方法： 重點解析正則奇點的概念，並詳細推導弗羅貝尼烏斯（Frobenius）方法的步驟，包括如何處理兩種特徵根相差為整數的情況（對數項的齣現）。 5.3 經典特殊函數簡介： 基於級數解法，本書自然引齣貝塞爾函數（Bessel Functions）和勒讓德多項式（Legendre Polynomials）作為求解特定幾何形狀物理問題（如波動方程、熱傳導）的必要工具，介紹其遞推關係和正交性。 應用案例精選： 貫穿全書，我們精選瞭超過200個精心設計的習題，並在每章末尾設置瞭深度應用模塊，涵蓋： 1. 機械振動： 阻尼振動、受迫振動及共振現象。 2. 電學網絡： RL、RC、LC電路的瞬態分析。 3. 化學反應動力學： 反應速率方程的求解。 4. 種群生態學： 捕食者-被捕食者模型（Lotka-Volterra）的定性分析。 總結： 本書的編寫目標是培養讀者將自然語言轉化為精確數學模型的能力，並熟練運用從初等積分因子到先進矩陣指數等多種工具，自信地解決實際工程和科學問題。它不僅僅是一本解題手冊，更是一部構建微分方程思維體係的堅實指南。

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我花瞭整整一個下午的時間來瀏覽這本書的目錄結構和前言部分，其學術架構的嚴謹性給我留下瞭深刻的印象。作者顯然對如何引導一個初學者穿越微分方程這片復雜而迷人的領域有著獨到的見解。章節之間的邏輯銜接得非常自然，從最基礎的常微分方程（ODE）的初步概念，到偏微分方程（PDE）的深入探討，再到更高級的主題，每一步都像是精心鋪設的階梯，確保讀者不會在某個難點上迷失方嚮。更讓我驚喜的是，它似乎非常注重理論與實際應用的結閤。我注意到目錄中穿插瞭大量關於物理、工程乃至生物學建模的案例介紹，這對於我這種希望將數學工具應用到實際問題解決中的學習者來說，無疑是巨大的吸引力。很多教材往往陷於純粹的理論推導，使得知識顯得空洞，但這本書似乎找到瞭一個極佳的平衡點，讓抽象的數學概念有瞭可觸摸的現實意義。這種教學設計哲學，預示著這本書不僅會教我“如何解”方程，更會讓我理解“為何要解”以及“解的意義何在”。

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與其他經典教材相比，這本書在習題設計的精妙程度上，展現齣瞭一種獨特的教學匠心。翻閱樣題時，我發現它的習題難度梯度設置得非常閤理。入門級的練習旨在鞏固基礎概念和運算技巧，確保讀者對基本操作瞭如指掌；而中等難度的題目則開始要求讀者進行一定的綜閤分析和策略選擇；最精彩的是那些“挑戰性”或“拓展性”的題目，它們不再是簡單的套用公式，而是真正考驗讀者的建模能力和對理論深層理解的開放性問題。我特彆留意到，一些習題後麵似乎附帶有簡短的提示或者對解題思路的引導，而不是直接給齣標準答案。這種做法至關重要，因為它鼓勵瞭批判性思維和獨立解決問題的能力，避免瞭學生僅僅依賴死記硬背公式來應付考試。對於一個追求真正掌握知識的讀者而言，習題的質量往往比理論部分的講解更能體現一本書的價值，而這本教材在這方麵無疑是下足瞭功夫，它似乎在邀請讀者與作者進行一場智力上的深度對話。

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這本書的配套資源似乎也經過瞭深思熟慮，這一點對於現代學習模式至關重要。我注意到，一些關鍵部分的講解似乎有意地留齣瞭“空白”或“引導”，暗示著讀者可以參考在綫資源或補充材料來獲得更深入的洞察。如果這本書的數字化版本或者官方網站能夠提供高質量的解題視頻或交互式模擬程序，那麼它的實用價值將得到幾何級的提升。例如，在討論相平麵分析或數值解法時，如果能有動畫或圖形界麵來直觀展示解的動態行為，那將是無可替代的學習輔助。這種跨媒體的學習支持，是衡量一本優秀現代教材的另一個重要維度。盡管我尚未完全挖掘齣所有的配套資源，但從其在紙質書上體現齣的前瞻性設計來看，我很有理由相信它在數字領域也做齣瞭相應的投入，旨在為不同學習偏好的讀者提供全麵的支持，確保我們不僅能理解理論，還能在實踐中熟練運用這些強大的數學工具。

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這本書的封麵設計著實讓人眼前一亮，那種沉穩又不失現代感的配色，一下子就抓住瞭我的眼球。作為一個常年在圖書館和書店裏穿梭的讀者，我深知第一印象的重要性，而這本《微分方程》的裝幀絕對是加分項。拿到手裏，那種紮實的紙張質感和清晰的印刷字體，都讓人感覺物有所值。特彆是它“Binder Ready”的版本，對於我這種習慣於拆分章節、根據學習進度來組織材料的深度學習者來說，簡直是福音。我可以直接把需要重點鑽研的部分拿齣來，配閤我的活頁夾，形成一套完全個性化的學習係統，而不是被厚厚的一本書束縛住。書本的排版也極其考究，圖文並茂，公式的推導過程清晰可見，沒有那種傳統教材裏常見的擁擠和混亂感。我尤其欣賞它在關鍵概念引入時所用的留白處理，讓讀者的注意力能夠完全集中在核心知識點上，避免瞭閱讀疲勞。雖然我還沒有深入閱讀內容，但僅憑其外在的精心打磨，我就對它內在的學術質量充滿瞭信心。它給人的感覺，就像是一件設計精良的工具，不僅僅是知識的載體，更是一種高效學習體驗的開始。

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從閱讀體驗的角度來看，這本書的語言風格非常平易近人，這一點對於初學者來說是極其寶貴的。雖然主題是高深的數學，但作者在闡釋復雜概念時，並沒有使用那種令人望而生畏的晦澀術語。取而代之的是清晰、簡潔且富有條理性的文字，很多時候，作者像是耐心的導師，一步步引導你穿過迷霧。例如，在解釋某些關鍵定理的證明時，它會穿插一些“思考停頓”或者“類比說明”，有效地降低瞭讀者的認知負荷。這使得即便是麵對那些需要高度抽象思維的積分方程或級數解法時，我也能保持相對放鬆的心態去吸收信息，而不是一上來就被公式淹沒。此外，書中對曆史背景和不同數學流派觀點的簡要介紹，也為冰冷的數學增添瞭一層人文色彩，讓學習過程變得更加立體和有趣。這種“潤物細無聲”的教學方式，遠比那種生硬的知識灌輸要有效得多，它構建瞭一種信任感，讓讀者相信“我可以學懂這個”。

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