Affine Sets and Affine Groups (London Mathematical Society Lecture Note Series) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:D. G. Northcott

出品人:

页数:298

译者:

出版时间:1980-05-30

价格:USD 42.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780521229098

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

Affine geometry
Affine sets
Affine groups
Lie groups
Algebraic geometry
Representation theory
Linear algebra
Mathematics
Abstract algebra
Topology

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具体描述

In these notes, first published in 1980, Professor Northcott provides a self-contained introduction to the theory of affine algebraic groups for mathematicians with a basic knowledge of communicative algebra and field theory. The book divides into two parts. The first four chapters contain all the geometry needed for the second half of the book which deals with affine groups. Alternatively the first part provides a sure introduction to the foundations of algebraic geometry. Any affine group has an associated Lie algebra. In the last two chapters, the author studies these algebras and shows how, in certain important cases, their properties can be transferred back to the groups from which they arose. These notes provide a clear and carefully written introduction to algebraic geometry and algebraic groups.

射影几何与代数结构：从基础概念到高级应用本书深入探讨了射影几何（Projective Geometry）这一古老而充满活力的数学分支，并将其与现代代数结构紧密结合。全书结构严谨，从最基本的定义出发，逐步构建起一个统一的理论框架，覆盖了从经典几何到代数拓扑的多个重要交叉领域。第一部分：射影空间的构建与基础本书的开篇聚焦于射影空间的严格定义与基本性质。我们首先回顾线性代数中关于向量空间的概念，随后引入射影空间 $mathbb{P}(V)$ 的构造，即在非零向量空间 $V$ 上，将所有一维子空间视为一个点集。这种构造方式巧妙地解决了欧几里得几何中“平行线相交于无穷远点”的问题，使得射影空间具有天然的完备性。详细讨论了齐次坐标（Homogeneous Coordinates）的引入及其在描述射影变换中的核心作用。通过齐次坐标，射影空间上的几何对象（点、线、平面）得以用线性代数的方法进行简洁而有力的处理。接下来的章节系统地阐述了射影子空间的概念，包括射影线、射影平面以及更高维度的射影子空间。重点分析了维数的定义，并推导出了关于子空间交集与并集的“射影维数公式”，这与经典线性代数的秩公式有着深刻的对应关系。第二部分：射影变换与群论基础射影几何的精髓在于其变换群。本书将大量篇幅用于研究射影变换（Projective Transformations），也称为射影同构（Projectivities）。这些变换是保持射影空间结构不变的双射映射。我们详细探讨了 $mathbb{P}^n$ 上的射影变换群 $ ext{PGL}(n+1, K)$（其中 $K$ 是域），并展示了如何利用 $(n+1) imes (n+1)$ 的可逆矩阵表示这些变换。一个关键结果是：在 $mathbb{P}^n$ 上，如果四个点的位置是固定的，则任意射影变换都可以被唯一确定——这是射影几何中判断共线性的基本工具。为了深入理解这些变换的代数性质，本书引入了群论的基础知识。我们研究了 $ ext{PGL}(n+1, K)$ 的子群结构，特别是那些保持特定几何配置不变的子群。讨论了共轭的概念，即两个射影变换是否可以通过另一个射影变换相互转换，这直接关联到几何性质的内在性。第三部分：对偶性原理与极性理论对偶性（Duality）是射影几何中最优雅的概念之一。本书通过对向量空间上线性函数空间的分析，严谨地推导出了射影几何中的对偶原理。在 $mathbb{P}^n$ 中，点与超平面（或线、平面等）的角色可以互换，所有关于点的定理都可以通过替换“点”为“超平面”而得到相应的对偶定理。我们将通过大量的例子（如对偶的帕斯卡定理、布里安雄定理）来巩固这一概念。在此基础上，我们深入到极性理论（Polarity Theory）。这部分内容与二次型（Quadratics Forms）紧密相关。我们首先在仿射空间中引入二次型，然后将其推广到射影空间。通过一个非奇异二次型 $Q$，可以定义一个极化映射（Polar Map），该映射将点映射到它的极超平面，反之亦然。详细分析了极点、极线、极平面之间的关系，并研究了“自共轭”的几何对象，例如二次锥（Conic Sections）在射影平面上的性质。我们证明了射影平面上任一非退化的二次曲线（例如椭圆、双曲线、抛物线在射影化后的形式）都可以通过射影变换映射到标准形式 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0$。第四部分：有限域上的射影几何与编码理论联系为了展示射影几何在离散数学中的应用，本书专门辟出一章来研究有限域（Finite Fields，即伽罗瓦域 $ ext{GF}(q)$）上的射影空间 $ ext{PG}(n, q)$。在有限域上，射影空间的点的数量是有限的。我们计算了 $ ext{PG}(n, q)$ 中点的总数、线的总数以及任何 $k$ 维子空间的数量。这与组合学和设计论密切相关。特别地，本书探讨了射影平面 $ ext{PG}(2, q)$ 的结构，并简要介绍了其在纠错码（Error-Correcting Codes）理论中的应用，特别是与射影几何码（Projective Geometry Codes）的初步联系，展示了射影结构如何用于构造具有优良代数特性的线性码。第五部分：退化二次型与更一般的情形最后一部分，本书超越了非奇异二次型的范畴，探讨了退化二次型（Degenerate Quadrics）。这些对应于射影空间中退化的二次锥，例如两条相交的直线、两条平行的直线，或平面上的单个点。我们使用合同（Congruence）的概念来分类这些退化形式，并利用正交分解来理解它们的几何结构。这部分内容为理解射影空间中的“边界情况”和特殊配置提供了必要的代数工具。全书通过大量的练习题和几何直观的讨论，旨在培养读者从代数视角深入理解射影几何的能力，为后续学习微分几何、代数几何或理论物理中的相关概念打下坚实的基础。本书适合高年级本科生和研究生作为专业教材或参考书使用。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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关于本书的参考价值，我只能说，它绝对不仅仅是为课堂教学而准备的。对于那些已经在线性代数和基础几何上有一定基础，但希望系统性地深入研究几何学和代数结构交汇点的研究人员或高年级学生来说，这本书提供了一个难以替代的视角。它不像纯粹的代数书籍那样过度抽象，也不像纯粹的拓扑书籍那样侧重于连续性而忽略了刚性结构。它巧妙地找到了那个甜点——如何在保持代数操作的精确性的同时，讨论几何对象的内在性质和变换群。可以说，这本书填补了我在寻找一个既有深度又具备应用潜力的“中坚力量”参考书上的空白，它更像是一份长期的、可供反复查阅和深入挖掘的“工具书”，而不是一本读完即束之高阁的入门读物。

评分☆☆☆☆☆

这本书在内容组织上的逻辑性和宏观架构布局，展现了作者对整个数学分支深厚的理解。它不是零散知识点的堆砌，而是一个紧密咬合的知识体系，从最基础的线性代数基石出发，稳健地构建起复杂仿射结构的宏伟殿堂。每一个章节的引入都像是对前一章节的自然延伸和必要深化，读者可以清晰地追踪到从欧几里得空间到更一般的向量空间，再到拓扑和连续性概念的无缝过渡。这种结构上的完整性，使得学习过程中的“迷失感”降到了最低。你总是清楚地知道自己身处这个知识地图的哪个位置，以及下一个目的地是什么，这种方向感对于攻克这类高级数学主题至关重要。

评分☆☆☆☆☆

这套书的排版简直是一场视觉盛宴，那种学术的严谨感扑面而来，但同时又保持了极佳的可读性。装帧设计上，可以看出出版方是下了大功夫的，纸张的质感和油墨的印制都达到了教科书的顶尖水准，即便是经常需要翻阅和做笔记的读者，也能感受到它经久耐用的潜力。光是拿到手上，就能体会到一种对知识尊重的仪式感。书脊的设计也相当巧妙，虽然内容是偏硬核的数学，但它并没有给人带来压迫感，反而像是一件精心打磨的艺术品，摆在书架上也是一道风景线。我特别喜欢它在章节过渡页的处理，那种极简主义的留白，反而让读者在深入复杂概念之前，有了一个短暂的喘息和准备的空间，这种对阅读体验的细腻关怀，在同类书籍中是极为罕见的。整体来看，这本书的物理形态和内容承载力之间达到了完美的平衡，完全配得上它所涵盖的那些精妙的数学结构。

评分☆☆☆☆☆

深入阅读后，我发现这本书的习题设置简直是教科书级别的典范。它们不是那种为了凑数而存在的机械计算题，每一个练习都像是一块精心切割的宝石，紧密联系着当章节的核心理论，同时又巧妙地拓宽了读者的思维边界。很多习题的难度曲线设置得非常合理，从基础巩固到深入探索，层层递进，让你在解决问题的过程中自然而然地消化和内化了复杂的理论。我特别留意了那些“思考题”或者“探索性问题”，它们往往涉及到一些前沿或未完全标准化的研究方向，这对于那些希望将学习延伸到研究层面的读者来说，无疑是巨大的财富。做完其中的三分之一，我就感觉自己的空间想象能力和抽象思维的敏锐度有了显著的提升，这才是好教材的真正价值所在。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的叙述风格感到非常欣赏，它成功地在保持数学绝对严谨性的前提下，融入了一种近乎散文诗般的清晰流畅。作者在引入新的核心概念时，并没有采取那种生硬的、直接抛出定义的做法，而是通过一系列精心设计的铺垫和直觉性的引导，让读者仿佛是自己“发现”了这些定理和结构。特别是对一些高维几何直觉的描述部分，那种尝试用有限的语言去描绘无限空间的努力，读起来非常引人入胜。它不像某些教材那样冷冰冰地堆砌公式，而是更像一位经验丰富的导师，耐心地在你耳边解释每一个逻辑跳跃背后的“为什么”。这种叙述的温度，使得那些原本可能让人望而却步的抽象概念，变得触手可及，极大地降低了初学者进入这个领域的心理门槛。

评分☆☆☆☆☆