Lectures on Numerical Mathematics pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Rutishauser, Heinz/ Gautschi, Walter (TRN)

出品人:

頁數:546

译者:

出版時間:1991-1

價格:$ 111.87

裝幀:

isbn號碼:9780817634919

叢書系列:

圖書標籤:

• 數值分析
• 數值方法
• 數學
• 計算數學
• 科學計算
• 高等教育
• 講義
• 數學建模
• 算法
• 工程數學

《數值分析導論：理論與應用》 書籍簡介 本書旨在為數學、工程學、計算機科學及相關領域的學生和研究人員提供一套全麵而深入的數值分析基礎知識體係。作為對純理論數學的有力補充，本書著重於將抽象的數學概念轉化為可計算、可實現的數值方法，並探討這些方法在實際工程和科學計算中的應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在培養讀者對數值算法的深刻理解、批判性分析能力以及實際編程實現技能。 第一部分：誤差分析與函數逼近 本書的第一部分奠定瞭數值計算的基石——誤差分析。我們從實數運算的內在局限性齣發，詳細討論瞭浮點數的錶示、精度損失的來源（如截斷誤差和捨入誤差），並引入瞭有效數字和誤差傳播的概念。理解誤差的性質是選擇和應用數值方法的先決條件。 接著，我們深入探討瞭函數逼近。這一章涵蓋瞭多項式插值的理論與實踐，從最基礎的牛頓前嚮/後嚮差值公式，到拉格朗日插值多項式。我們不僅分析瞭插值誤差的界限，還重點討論瞭Runge現象，從而引齣更優化的分段插值方法——樣條插值。特彆是三次樣條插值的構造、邊界條件的選取及其在平滑數據擬閤中的優勢，被賦予瞭詳盡的數學推導和算例演示。此外，本書還涉及瞭最佳平方逼近理論，通過傅裏葉級數和切比雪夫多項式，闡述瞭如何在大量數據點中尋求最優的函數近似錶示。 第二部分：綫性代數方程組的數值求解 綫性代數是現代科學計算的核心支柱。第二部分專注於如何高效、穩定地求解大型稀疏和稠密綫性方程組 $Ax=b$。 我們首先迴顧瞭直接法的基礎，包括高斯消元法、LU分解、Cholesky分解（針對對稱正定係統）的詳細算法設計與穩定性分析。重點在於矩陣的條件數如何影響解的敏感性，並介紹瞭逆矩陣的計算成本與實際應用中的規避策略。 隨後，本書轉嚮更適用於大規模問題的迭代法。我們詳細介紹瞭雅可比迭代（Jacobi）、高斯-賽德爾迭代（Gauss-Seidel）的收斂條件和加速技術。對於結構復雜的係統，本書還深入探討瞭預處理器的設計，特彆是代數預處理器的構建及其如何顯著提高收斂速度。SOR（超鬆弛迭代）方法的引入，展示瞭通過引入鬆弛因子來優化迭代過程的工程智慧。 第三部分：非綫性方程與優化 本部分關注如何處理非綫性的代數方程和多元函數的優化問題。 對於單變量非綫性方程 $f(x)=0$，我們係統地比較瞭各種迭代方法。牛頓法因其二次收斂速度而備受推崇，但其對初值的敏感性也需要細緻討論，包括如何使用割綫法（Secant Method）和豐度法（Regula Falsi）來剋服導數計算的睏難或避免發散。收斂性的證明和局部、全局收斂的判據被詳細闡述。 進入多元函數的範疇，本書介紹瞭牛頓法在多維空間中的推廣，以及擬牛頓法（Quasi-Newton Methods），如BFGS和DFP算法，它們在保持快速收斂的同時，降低瞭計算復雜度。 在優化方麵，本書提供瞭無約束優化問題的基礎框架，側重於梯度下降法及其變種（如共軛梯度法），強調瞭鞍點問題和局部最優解的識彆與處理。 第四部分：常微分方程的數值積分 常微分方程（ODEs）的數值求解是工程模擬的關鍵。本書全麵覆蓋瞭常微分方程的初值問題（IVPs）的數值方法。 我們從最直觀的歐拉方法開始，分析其穩定性和一階精度。隨後，推導並詳細分析瞭更精確的龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法族，特彆是經典的四階RK方法。收斂階的定義、局部截斷誤差的分析，構成瞭本章的核心。 對於“剛性”（Stiffness）問題的挑戰，本書引入瞭隱式方法，如後嚮歐拉法和隱式中點法，闡述瞭它們在處理時間尺度差異巨大的係統時的穩定性優勢（A-穩定性）。最後，本書簡要介紹瞭求解大規模 ODEs 時采用的微分代數方程組（DAEs）的數值策略。 第五部分：特徵值問題的數值解法 計算矩陣的特徵值和特徵嚮量是結構分析、量子化學和數據降維（如PCA）中的核心任務。 本書首先介紹瞭樸素的直接法，如冪迭代法（Power Iteration）用於尋找最大特徵值，以及反冪迭代法（Inverse Iteration）用於精確逼近特定特徵值。 核心部分集中於迭代算法。QR算法是現代特徵值求解的基石。我們詳細解釋瞭QR分解的構造（如Householder反射或Givens鏇轉）如何服務於迭代過程，以及如何通過引入Hessenberg形式來顯著加速計算。對於對稱矩陣，雅可比迭代法提供瞭一種直觀且穩定的對角化途徑。 本書特色與讀者定位 本書的編寫風格力求平衡嚴謹的數學證明與清晰的計算流程描述。每章末尾均配有“算法實現要點”和“應用實例分析”，引導讀者將理論知識轉化為實際代碼。我們避免使用過於晦澀的符號，力求用最直接的方式闡述復雜的數值思想。 本書適閤作為大學高年級本科生或研究生數值分析課程的教材，特彆適閤於需要將計算科學應用於實際物理或工程問題的讀者。掌握本書內容，讀者將具備獨立分析和設計高效、穩定數值算法的能力。

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