Partial Differential Equations in General Relativity

出版者:Oxford University Press, USA

作者:Alan Rendall

页数:352

出版时间:2008-6-9

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780199215416

丛书系列:Oxford Graduate Texts in Mathematics

具体描述

A graduate level text on a subject which brings together several areas of mathematics and physics: partial differential equations, differential geometry and general relativity. It explains the basics of the theory of partial differential equations in a form accessible to physicists and the basics of general relativity in a form accessible to mathematicians. In recent years the theory of partial differential equations has come to play an ever more important role in research on general relativity. This is partly due to the growth of the field of numerical relativity, stimulated in turn by work on gravitational wave detection, but also due to an increased interest in general relativity among pure mathematicians working in the areas of partial differential equations and Riemannian geometry, who have realized the exceptional richness of the interactions between geometry and analysis which arise. This book provides the background for those wishing to learn about these topics.It treats key themes in general relativity including matter models and symmetry classes and gives an introduction to relevant aspects of the most important classes of partial differential equations, including ordinary differential equations, and material on functional analysis. These elements are brought together to discuss a variety of important examples in the field of mathematical relativity, including asymptotically flat spacetimes, which are used to describe isolated systems, and spatially compact spacetimes, which are of importance in cosmology.

用户评价

第二位读者：一位刚接触广义相对论的博士新生，侧重于学习的挑战性和内容的深度。 坦白说，这本书的难度超出了我最初的预期。当我翻开第一章，试图用我有限的PDE知识来理解黎曼曲率张量满足的方程组时，立刻感到了巨大的压力。它不是那种可以轻松阅读、让你感觉“我已经明白了”的书籍。作者似乎完全没有考虑读者的“入门友好性”，直接将我们扔进了最前沿的研究领域。每一章的论证都极其密集，充满了复杂的积分方程和微分不等式。我花了一周的时间才勉强理解了其中关于超音速激波在弯曲时空中的传播这一小节，这与我本科阶段接触的经典波方程简直是天壤之别。尽管如此，当我最终攻克一个难点时，那种豁然开朗的感觉也是无与伦比的。这本书更像是一本高级研讨会的讲义合集，而不是一本传统的教材。它更适合作为博士后研究人员的参考书，或者那些已经对基础相对论了如指掌，并希望深入钻研数学结构的人士。我仍在努力中，但这本书无疑为我指明了未来几年需要攻克的学术高地。

这本书的书名是《Partial Differential Equations in General Relativity》，以下是五段来自不同读者的书评，每段大约300字，风格各异，内容详实。 第一位读者：一位经验丰富的理论物理学家，侧重于数学严谨性和物理洞察力的结合。 这本书的出现，无疑为那些在广义相对论的数学前沿徘徊的研究者提供了一盏明灯。我尤其欣赏作者在处理爱因斯坦场方程的非线性性质时所展现出的深刻见解。不同于许多教科书仅关注线性化或近似解，本书直面了完全非线性的挑战，通过精妙的偏微分方程技术，如特征分析和能量条件的应用，构建了一个令人信服的理论框架。例如，在探讨奇点理论时，作者巧妙地运用了克尔度规附近的PDE结构，使得原本抽象的几何概念变得可以被严格的分析工具所驾驭。我对其中关于双曲型方程组的稳定性和局部存在性证明印象深刻，这些严谨的数学推导不仅为物理现象提供了坚实的数学基础，更揭示了时空动力学内在的结构限制。对于需要深入理解引力场方程解的定性行为，而非仅仅停留在数值模拟的同行来说，这本书的价值是不可估量的。它要求读者具备扎实的泛函分析基础，但回报是能真正触碰到广义相对论数学核心的脉搏。这种将高阶数学工具（如Sobolev空间理论和变分法）无缝融入物理问题的处理方式，是教科书中的典范。

第四位读者：一位从事宇宙学研究的学者，侧重于大尺度结构和宇宙模型的稳定性。 对于研究背景膨胀宇宙（如FLRW模型）稳定性的研究者来说，这本书提供了一个至关重要的数学视角。我们通常假设宇宙是各向同性的，从而大大简化了爱因斯坦方程。然而，本书勇敢地探讨了这些简化假设背后的数学后果。特别是关于线性扰动理论的章节，它详细阐述了如何将线化方程转化为一个形式上更易于处理的演化系统，并分析了初始扰动如何随时间发展，最终决定了宇宙未来的命运。我特别关注了其中关于引力波在早期宇宙中行为的分析，这直接关系到我们对原初引力波谱的预测。作者用偏微分方程的谱方法来分析模态的增长或衰减，这种方法论的严谨性，远超我们通常在宇宙学文献中看到的基于模式分解的讨论。它让我们意识到，如果没有对底层的数学结构有深刻的理解，我们对宇宙演化的任何预测都可能只是空中楼阁。这本书是连接抽象几何与可观测宇宙现象的桥梁。

第五位读者：一位对科学史和物理哲学感兴趣的学者，关注理论的内在逻辑和演变。 阅读这本书，仿佛完成了一次对二十世纪物理学核心思想的溯源之旅。它不仅仅是一本技术手册，更是一部关于“如何用数学语言约束自然”的哲学宣言。作者在介绍每一个定理和引理时，都会不自觉地流露出对爱因斯坦、希尔伯特以及早期数学物理学家的敬意。那些关于“可解性”和“唯一性”的探讨，本质上是在追问：一个物理上合理的初始条件，是否必然导出一个在数学上“良好定义”的未来？这种对数学完备性的追求，深刻地反映了物理学在达到成熟阶段时所必须经历的自我批判过程。书中对张量微积分和微分几何的“还原”——将其视作偏微分方程组的自然语言——是理解广义相对论意图的关键。这本书的价值在于，它强迫读者超越“代数运算”层面，去欣赏隐藏在爱因斯坦方程符号背后的深刻几何直觉，以及这些直觉是如何被严格的分析工具所固化和验证的。它让我们反思，我们所谓的“物理现实”，在多大程度上是被我们选择的数学框架所决定的。

第三位读者：一位专注于应用数学和数值方法的工程师，关注其实用性和计算潜力。 从纯粹的数值模拟角度来看，这本书的理论深度是令人敬畏的，但其直接的应用价值需要仔细甄别。作者对精确解和解析性质的偏爱，使得很多章节更侧重于证明某个特定解的存在性或唯一性，而不是提供可直接转化为高效算法的结构。例如，书中对规范选择（gauge fixing）的讨论非常详尽，但对于如何将这些选择高效地编码到有限差分或有限元方法中，着墨不多。我希望能看到更多关于时间演化方案的稳定性分析，特别是针对具有强非线性和奇异性的区域（如黑洞视界面附近）的数值稳定性保证。虽然书中提到了特征线方法，但缺乏对大规模并行计算环境中如何优化这些几何约束条件的具体指导。总的来说，这本书为我们理解数值方法应该追求的“物理目标”设定了极高的标准，但对于那些急需一个可靠、快速求解器的工程师来说，可能需要结合其他更侧重计算实践的资源。它提供了“为什么”的终极答案，但“如何快速计算”的细节相对稀疏。