Homological Mirror Symmetry pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Kapustin, Anton (EDT)/ Kreuzer, Maximilian (EDT)/ Schlesinger, Karl-georg (EDT)

出品人:

頁數:272

译者:

出版時間:

價格:695.00

裝幀:

isbn號碼:9783540680291

叢書系列:

圖書標籤:

• 鏡像對稱
• 數學
• 代數幾何
• 代數拓撲
• 弦理論
• 鏡像對稱
• 同調代數
• 微分幾何
• 復幾何
• 卡拉比-丘流形
• Fukaya範疇
• D-模

《同調鏡像對稱》：一場穿越代數與幾何的數學奇旅 數學的浩瀚星空中，總有那麼些璀璨的概念，它們如同一麵麵棱鏡，摺射齣宇宙深層的對稱之美，將看似無關的領域巧妙地聯係起來。《同調鏡像對稱》（Homological Mirror Symmetry，簡稱 HMS）便是這樣一本概念，它以一種令人驚嘆的視角，在代數幾何與辛幾何這兩個深邃的數學分支之間架起瞭一座橋梁，揭示瞭它們之間深刻而又齣人意料的對偶性。本書旨在深入探索這一革命性的理論，揭示其核心思想、發展脈絡以及在現代數學與物理學中日益凸顯的重要性。 HMS 的誕生，可以追溯到上世紀八十年代末和九十年代初，物理學傢 Andrew Strominger、Shing-Tung Yau 和 Edward Witten 在研究弦理論時，偶然發現瞭某種奇異的對稱性。他們發現，在某些特殊的幾何空間（通常是卡拉比-丘空間）中，描述其代數幾何性質的數學結構，與描述其辛幾何性質的結構，竟然呈現齣一種“鏡像”般的對應關係。這種對應關係，並非簡單的相似，而是更加根本的對偶。具體來說，一個光滑代數簇的霍奇數（Hodge numbers）竟然與它在鏡像空間中對應的辛流形的弗洛爾同調群（Floer homology groups）的維數相等。這一發現，在當時的數學界引起瞭巨大的震動，因為它預示著一種全新的理解幾何的方式，一種能夠統一不同數學語言的強大工具。 為瞭理解 HMS，我們需要先簡單迴顧一下它所連接的兩個數學領域。 代數幾何，是研究由多項式方程定義的幾何對象的學科。想象一下，我們用方程 $x^2 + y^2 = 1$ 來描述一個圓，這就是代數幾何的基本齣發點。代數幾何傢們關注的是這些幾何對象的結構、性質以及它們之間的關係，例如點、麯綫、麯麵乃至更高維度的空間。他們使用代數的方法，如多項式、環、模等，來解析幾何的奧秘。例如，一個光滑的代數簇的“霍奇結構”就包含瞭關於其拓撲和幾何的豐富信息，其中霍奇數是衡量不同類型“形”的計數。 辛幾何，則是研究具有辛結構的流形的學科。辛結構是一種特殊的微分形式，它賦予瞭流形以體積形式和泊鬆括號等重要結構，使得我們可以研究其動力學性質，例如可積係統。辛幾何的應用範圍極其廣泛，從經典力學的哈密頓方程到量子場論，都離不開辛幾何的框架。弗洛爾同調，作為 HMS 的核心代數結構之一，是辛幾何中的一個強大工具。它是一種同調論，通過研究空間中的“測地綫”或者說“極值點”的軌道，來構造代數不變量。 HMS 最為精妙之處在於，它揭示瞭這兩個領域之間的“鏡像”對偶。當我們考慮一個光滑的、連通的、緊緻的代數簇 $X$ 時，其代數幾何的某些不變量，例如其霍奇數，似乎與另一個與之“鏡像”的辛流形 $Y$ 的弗洛爾同調群的某些維數有著一一對應的關係。這個“鏡像”過程並非簡單的幾何反射，而是一種更深刻的數學構造。通常，對於一個具有特定結構的代數簇 $X$，我們可以構造齣一個與之相關的辛流形 $Y$，反之亦然。而 HMS 則斷言，代數簇 $X$ 的代數幾何信息，與其鏡像辛流形 $Y$ 的辛幾何信息，是相互“翻譯”的。 舉一個形象的比喻：想象我們有一本用中文寫成的關於某個城市曆史的書籍，而 HMS 告訴我們，存在另一本用日文寫成的、關於這個城市“鏡像”版本（可能是其對應的地下世界，或者一個平行時空）的書籍。並且，中文書籍中關於某個曆史事件的描寫，在日文書籍中對應著一個關於其鏡像版本的“事件”的描述，它們之間有著精妙的對應關係，可以互相翻譯，互相解釋。 HMS 的正式錶述，通常涉及一個代數簇 $X$ 和一個與之關聯的“鏡像”辛流形 $Y$。代數幾何中的“A-側”信息，指的是與 $X$ 的代數幾何結構相關的量，例如其上的嚮量叢、商群等。而辛幾何中的“B-側”信息，指的是與 $Y$ 的辛幾何結構相關的量，例如其上的測地綫、穩定流形等。HMS 認為，A-側的某些信息，可以通過 B-側的某些信息來計算，反之亦然。 具體而言，HMS 的一個重要方麵是它對代數簇的 米哈伊洛夫-辛格（Mukai-Singer）對偶 的推廣。這個對偶性在代數幾何中已經是一個重要的工具，但 HMS 將其擴展到瞭一個更廣闊的範圍，並引入瞭辛幾何的語言。 HMS 的重要性體現在多個層麵： 首先，它提供瞭計算數學不變量的新方法。在 HMS 齣現之前，許多代數幾何中的不變量，如格羅滕迪剋-裏曼-羅赫定理（Grothendieck-Riemann-Roch theorem）的某些版本，或者代數簇的貝蒂數（Betti numbers），其計算往往是復雜的，需要精細的代數技巧。而 HMS 允許我們通過計算相關的辛流形的弗洛爾同調群來得到這些代數不變量。反之，對於某些辛流形的辛不變量，也可以通過計算其鏡像代數簇的代數不變量來獲得。這極大地拓寬瞭我們解決問題的工具箱。 其次，它統一瞭數學的不同領域。HMS 模糊瞭代數與幾何，以及拓撲與分析之間的界限。它錶明，看似截然不同的數學分支，可能隻是同一個更深層結構的“不同麵孔”。這種統一性有助於數學傢們從新的角度審視舊的問題，並可能孕育齣全新的研究方嚮。 第三，它對理論物理，尤其是弦理論，有著深遠的影響。最初，HMS 的思想就誕生於弦理論的研究中。在弦理論中，宇宙的實在性被描述為在高維空間中的弦的振動。這些空間往往具有復雜的幾何結構，例如卡拉比-丘空間。HMS 揭示的鏡像對稱性，與弦理論中的鏡像對稱性（Mirror Symmetry）緊密相關，它允許物理學傢們在計算弦理論中的某些物理量時，選擇計算更簡單的“鏡像”版本，從而大大簡化瞭計算。例如，在計算某些“蟲洞”（wormhole）效應時，HMS 提供瞭一種強大的工具。 本書將係統地探討 HMS 的以下幾個核心內容： HMS 的基本思想與概念：我們將深入剖析 HMS 的核心斷言，即代數簇的“A-側”結構與鏡像辛流形的“B-側”結構之間的對偶性。我們將詳細解釋 A-側和 B-側的含義，以及它們在 HMS 中的角色。 弗洛爾同調群：作為 HMS 的一個關鍵代數工具，弗洛爾同調群的構造及其性質將是本書的重點。我們將介紹其在辛幾何中的應用，以及它如何度量辛流形的拓撲特徵。 鏡像構造：理解 HMS 的關鍵在於理解“鏡像”是如何被構造齣來的。我們將介紹如何從一個代數簇構造齣其鏡像辛流形，以及反之亦然。這通常涉及到代數幾何中的取模（orbifold）技術，以及辛幾何中的相空間（phase space）的構造。 HMS 的具體實例：理論的抽象性可以通過具體的例子來得以鮮活。我們將分析一些重要的 HMS 實例，例如 Calabi-Yau 流形的情況。通過這些例子，讀者將能更直觀地感受到 HMS 的力量。 HMS 的發展與應用：我們將迴顧 HMS 發展的曆史，介紹一些重要的數學傢為此理論做齣的貢獻，例如 Maxim Kontsevich 的開創性工作，以及其在其他數學領域，如代數錶示論、代數 K-理論等方麵的應用。 HMS 與弦理論的聯係：本書將闡述 HMS 與弦理論中鏡像對稱性之間的緊密聯係，以及 HMS 如何為理解弦理論中的某些物理現象提供數學工具。 《同調鏡像對稱》這本書，不僅僅是對一個數學理論的介紹，更是一場關於數學之美的探索。它邀請讀者一同穿越代數與幾何的邊界，領略隱藏在抽象符號背後的深刻對稱性。本書適閤那些對代數幾何、辛幾何、弦理論以及現代數學前沿有濃厚興趣的讀者，包括數學專業的高年級本科生、研究生以及相關領域的科研人員。通過閱讀本書，讀者將能夠建立起對 HMS 的清晰認識，理解其理論的深度與廣度，並感受數學在揭示宇宙奧秘過程中扮演的不可或缺的角色。

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