Characteristic Classes and the Cohomology of Finite Groups pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Thomas, Charles Benedict

出品人:

页数:144

译者:

出版时间:2008-11

价格:$ 44.06

装帧:

isbn号码:9780521090650

丛书系列:Cambridge Studies in Advanced Mathematics

图书标签:

代数拓扑
群论
特征类
上同调
有限群
数学
抽象代数
拓扑学
代数几何
群表示论

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具体描述

The purpose of this book is to study the relation between the representation ring of a finite group and its integral cohomology by means of characteristic classes. In this way it is possible to extend the known calculations and prove some general results for the integral cohomology ring of a group G of prime power order. Among the groups considered are those of p-rank less than 3, extra-special p-groups, symmetric groups and linear groups over finite fields. An important tool is the Riemann - Roch formula which provides a relation between the characteristic classes of an induced representation, the classes of the underlying representation and those of the permutation representation of the infinite symmetric group. Dr Thomas also discusses the implications of his work for some arithmetic groups which will interest algebraic number theorists. Dr Thomas assumes the reader has taken basic courses in algebraic topology, group theory and homological algebra, but has included an appendix in which he gives a purely topological proof of the Riemann - Roch formula.

《特征类与有限群的上同调》简介本书深入探讨了代数拓扑与群论的交汇之处，聚焦于特征类这一核心概念及其在有限群上同调理论中的关键作用。本书旨在为读者提供一个严谨而全面的视角，以理解特征类如何编码空间的几何与拓扑信息，以及这些信息如何在群作用的框架下得到解读与丰富。我们并非局限于单一的理论框架，而是致力于揭示不同视角下的联系，从微分几何的视角出发，通过流形上的纤维丛和示性类，到代数拓扑的语言，再到有限群上同调的结构与不变量。本书的叙事始于对特征类基本概念的铺陈。我们将从流形理论的基石——向量丛——出发，介绍其分类空间以及与之相关的稳定框架。随后，我们将引入Pontryagin类、Chern类和Stiefel-Whitney类，阐释它们在描述向量丛的几何特性方面的作用。通过一系列具体的例子和构造，读者将逐步掌握这些不变量的计算方法和深刻内涵。我们将重点关注这些特征类如何作为上同调类，嵌入到基空间（通常是拓扑空间）的上同调环中，形成丰富的代数结构。本书的第二个核心部分将视角转向群论，特别是有限群。我们认为，当一个有限群作用于一个空间时，空间的上同调环将因此获得额外的结构，而特征类则成为理解这种结构的关键。我们将详细介绍群作用如何诱导上同调环上的一个群代数结构。在这个框架下，我们将重新审视特征类，并探讨它们如何在群作用下发生变换。书中将深入研究由群作用引起的上同调环的“商”结构，即商空间的范畴，以及特征类在其中扮演的角色。本书将重点关注有限群的上同调理论，并展示特征类如何成为研究其不变量和表示的有力工具。我们将介绍群上同调的基本构造，如上同调群 $H^n(G, A)$，以及它们与群的表示理论之间的深刻联系。本书将重点探讨当作用空间是流形，且群作用保持某些几何结构（例如，流形的辛结构或复结构）时，特征类如何转化为研究群上同调的特定不变量。我们将介绍一些经典的例子，例如，利用特征类来研究群的共轭类、子群结构以及表示的性质。本书的一个重要特色在于其跨越不同数学分支的整合能力。我们将展示，微分几何中定义的示性类，在代数拓扑的框架下，是如何成为群作用下空间上同调的自然产物。例如，我们将考察一个紧致李群作用于一个流形时的特征类，并展示如何利用有限群的性质来简化这些特征类的计算和理解。本书将深入研究由群作用引起的商空间的范畴，以及特征类在这一范畴内的行为。我们将重点关注，当群作用是自由且光滑的时候，商空间是一个流形，而其上同调环的结构可以直接反映群的性质。在本书的后续部分，我们将进一步探索一些更先进的主题。例如，我们将讨论特征类的“下降”问题，即当考虑群作用下的商空间时，从原空间的特征类如何“下降”到商空间的特征类。我们还将探讨一些特定的有限群，例如对称群、循环群以及更一般的离散群，并研究它们在不同几何情境下的上同调结构，以及特征类在这些情境下的具体表现。本书将通过大量的例子和具体的计算，来 ilustrate 这些抽象概念。本书的另一个重要方面是连接代数几何与拓扑。我们将探讨，在代数簇的范畴内，特征类如何通过Chern类等概念得到自然的推广，以及有限群作用在代数簇上时，其上同调环的结构与代数几何中的不变量之间的联系。我们将介绍一些与群论在代数几何中相关的概念，例如群概形和代数表示，并展示特征类在理解这些结构中的作用。本书还计划涉及一些关于纤维丛上同调的更深入探讨。特别是，当纤维丛的结构群是有限群时，其上同调环的结构将受到群作用的深刻影响。我们将研究，在这种情况下，示性类的计算和性质将如何发生变化。本书将深入探讨，例如，当考虑一个由有限群作用诱导的纤维丛，并研究其Stiefel-Whitney类或Chern类时，如何利用有限群的上同调理论来简化计算和揭示更深层次的几何信息。最后，本书旨在为读者提供一个坚实的数学基础，使他们能够进一步探索代数拓扑、微分几何、群论以及李群与表示论等相关领域的研究前沿。我们相信，对特征类与有限群上同调的深刻理解，不仅有助于解决理论问题，还能为物理学（如规范场论）和计算机科学（如拓扑数据分析）等领域提供新的视角和工具。本书的目标是激发读者的兴趣，并为他们在这些令人兴奋的数学领域中展开进一步的探索铺平道路。本书的内容将严谨且细致，每一章都力求逻辑清晰，层层递进。我们将力图在保持数学严谨性的同时，也考虑到读者的理解需求，通过详细的论证、清晰的符号定义以及恰当的例子来帮助读者掌握核心概念。对于一些复杂的计算和构造，我们将提供详尽的步骤和解释。本书的风格将是学术性的，但我们也希望能够以一种启发性的方式来呈现这些深刻的数学思想，让读者在学习过程中感受到数学的魅力。本书将涵盖的内容包括但不限于：向量丛的拓扑与几何：介绍向量丛的定义、分类空间、稳定向量丛，以及Pontryagin类、Chern类和Stiefel-Whitney类的定义与性质。特征类与上同调环：探讨特征类作为上同调类如何嵌入基空间的上同调环，以及它们如何形成代数结构。群作用与上同调：介绍群作用如何诱导上同调环上的群代数结构，以及商空间的范畴。有限群的上同调理论：深入研究群上同调的定义、性质，以及其与群表示理论的联系。特征类在有限群作用下的行为：分析有限群作用如何影响特征类的计算与解释。特定群与几何模型的分析：通过具体的例子，研究对称群、循环群等在不同几何情境下的特征类与上同调。特征类的下降问题：探讨特征类如何从全空间下降到商空间。代数几何中的类论：介绍代数簇上的Chern类以及与群论的联系。纤维丛上同调的进阶：讨论结构群为有限群时的纤维丛上同调。本书的结构将是循序渐进的，首先建立基础，然后逐步引入更复杂的概念和技术。我们期望本书能够成为一本重要的参考资料，为数学研究者、研究生以及对代数拓扑、微分几何和群论感兴趣的各界人士提供宝贵的学习资源。通过对本书内容的详尽阐述，我们旨在让读者深刻理解特征类在研究有限群作用下的几何与拓扑空间时所扮演的不可或缺的角色。它不仅是一种强大的计算工具，更是一种深刻的理论语言，揭示了空间与群之间错综复杂而又和谐统一的关系。