Applied Combinatorics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Roberts, Fred

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:17

装帧:

isbn号码:9781439800676

丛书系列:

图书标签:

组合数学
离散数学
图论
算法
数学
高等数学
排列组合
计数原理
数学建模
优化

下载链接在页面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 复制链接

想要找书就要到本本书屋

onlinetoolsland.com

立刻按 ctrl+D收藏本页

你会得到大惊喜!!

具体描述

《组合数学探微》序言数学，是人类认识世界、改造世界最为强大的思想工具之一。在浩瀚的数学分支中，组合数学以其独特的视角和精妙的逻辑，探索着“数”的构成与排列的奥秘。它不仅为纯粹的数学研究提供了丰富的素材和深刻的洞见，更在信息科学、计算机科学、物理学、生物学、经济学乃至社会科学等众多领域展现出不可替代的应用价值。本书《组合数学探微》旨在深入浅出地引导读者走进组合数学的奇妙世界。我们并非要穷尽组合数学的所有知识，而是希望通过精选的核心概念、经典的难题以及富有启发性的思考方式，帮助读者建立起扎实的组合数学基础，培养解决问题的能力，并激发对这一学科更深层次的探索兴趣。组合数学的魅力在于其直观的计数思想和严谨的证明方法。从简单的排列组合，到复杂的图论和生成函数，再到概率论中的组合方法，本书将一步步带领读者领略其风采。我们将强调理解概念的本质，而非死记硬背公式。通过大量的例题和习题，读者将有机会亲自动手，将理论知识转化为解决实际问题的能力。本书的内容安排力求循序渐进，从易到难。第一部分将从最基础的计数原理入手，介绍排列、组合、容斥原理等基本工具。第二部分将进一步扩展，探讨生成函数、母函数等强大的解析工具，以及它们在解决复杂计数问题中的应用。第三部分则将目光投向图论，介绍图的基本概念、遍历问题、匹配问题等，揭示组合数学在网络分析和结构建模中的重要作用。最后，本书还将触及一些概率论中的组合方法，展示如何运用组合思想解决随机问题。本书的读者对象为对数学有一定基础，希望系统学习组合数学，或在科研、工程领域需要运用组合数学知识的各届人士。无论你是数学专业学生，还是计算机科学、工程学、统计学等相关专业的学习者，亦或是对逻辑推理和问题解决充满热情的爱好者，都能从中受益。我们相信，通过学习《组合数学探微》，读者不仅能掌握一系列重要的组合数学工具，更重要的是能够培养一种严谨的数学思维方式——善于分析问题、抽象问题、建模问题，并最终找到优雅的解决方案。组合数学的旅程充满挑战，但也充满乐趣。我们期待与您一同踏上这段探寻组合世界奥秘的精彩旅程。第一章：计数的基本原理在组合数学的宏大殿堂中，计数是基石，也是起点。本章将带您领略最基本、最核心的计数原理，它们如同画家手中的调色板，为我们描绘出数量世界的斑斓图景。 1.1 加法原理与乘法原理设想您需要完成一项任务，而这项任务可以通过几种互斥的方式来完成。如果第一种方式有 $n_1$ 种选择，第二种方式有 $n_2$ 种选择，……，第 $k$ 种方式有 $n_k$ 种选择，并且这 $k$ 种方式之间没有重叠（即任何一个选择都只属于其中一种方式），那么完成这项任务的总选择数就是 $n_1 + n_2 + cdots + n_k$。这就是加法原理，它告诉我们，当事件之间互斥时，总的可能性是各个事件可能性之和。举例来说，如果您要从 A 城到 B 城，可以选择坐飞机、火车或汽车。如果飞机有 3 条航线，火车有 5 个车次，汽车有 8 条线路，那么您总共有 $3 + 5 + 8 = 16$ 种不同的出行方式。与之相对，乘法原理则应用于一系列顺序执行或独立选择的任务。如果完成一项任务需要分步进行，并且第一步有 $n_1$ 种选择，第二步有 $n_2$ 种选择，……，第 $k$ 步有 $n_k$ 种选择，那么完成整个任务的总选择数就是 $n_1 imes n_2 imes cdots imes n_k$。例如，制作一个由三部分组成的餐点：一道主菜、一道配菜和一杯饮料。如果主菜有 4 种选择，配菜有 3 种选择，饮料有 5 种选择，那么总共有 $4 imes 3 imes 5 = 60$ 种不同的餐点组合。掌握加法原理和乘法原理是解决绝大多数组合问题的第一步。理解它们适用的前提条件——互斥性与顺序性——至关重要。 1.2 排列：考虑顺序当我们从一个集合中选取若干元素，并且元素的选取顺序是重要的时候，我们称之为排列。考虑一个包含 $n$ 个不同元素的集合。如果我们从中选取 $k$ 个元素进行排列，那么第一个元素有 $n$ 种选择，第二个元素有 $n-1$ 种选择（因为不能重复选取），以此类推，直到第 $k$ 个元素有 $n-k+1$ 种选择。因此，从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素并进行排列的总数为： $P(n, k) = n imes (n-1) imes cdots imes (n-k+1)$ 这个式子可以表示为 $P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!}$，其中 $n! = n imes (n-1) imes cdots imes 2 imes 1$ 是 $n$ 的阶乘。当 $k=n$ 时，即从 $n$ 个不同元素中选取 $n$ 个元素进行排列，我们称之为 $n$ 个元素的全排列，其总数为 $n!$。举例：有 5 位同学参加演讲比赛，他们的出场顺序有多少种不同的排列？这相当于从 5 位同学中选取 5 位进行排列，即 $P(5, 5) = 5! = 120$ 种。又如：从 10 个不同的字母中选取 3 个字母组成一个三字母单词（字母顺序不同），则有 $P(10, 3) = 10 imes 9 imes 8 = 720$ 种。 1.3 组合：不考虑顺序与排列不同，组合关注的是从一个集合中选取若干元素，而元素的选取顺序是不重要的。换句话说，我们只关心选出的元素的“集合”，而不关心它们被选出的先后。从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素进行组合，我们首先可以考虑选取 $k$ 个元素并进行排列，这有 $P(n, k)$ 种方式。然而，对于选出的任意 $k$ 个元素，它们之间有 $k!$ 种不同的排列方式。由于在组合中我们不考虑顺序，这 $k!$ 种排列方式都对应着同一个组合。因此，从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素进行组合的总数为： $C(n, k) = inom{n}{k} = frac{P(n, k)}{k!} = frac{n!}{k!(n-k)!}$ 这个式子 $inom{n}{k}$ 通常读作“n 选 k”，也称为二项式系数。一些重要的性质： $inom{n}{k} = inom{n}{n-k}$：从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个，等同于从 $n$ 个元素中选取 $n-k$ 个不被选中的元素。 $inom{n}{0} = 1$：从 $n$ 个元素中选取 0 个元素，只有一种方式（什么都不选）。 $inom{n}{n} = 1$：从 $n$ 个元素中选取 $n$ 个元素，只有一种方式（全选）。 $inom{n}{1} = n$：从 $n$ 个元素中选取 1 个元素，有 $n$ 种方式。举例：从 5 位同学中选出 2 位组成一个两人小组，有多少种不同的选法？这里顺序不重要，所以是组合问题。$inom{5}{2} = frac{5!}{2!(5-2)!} = frac{5!}{2!3!} = frac{5 imes 4}{2 imes 1} = 10$ 种。再如：从 10 个不同颜色的球中随机取出 3 个球，有多少种不同的颜色组合？$inom{10}{3} = frac{10!}{3!7!} = frac{10 imes 9 imes 8}{3 imes 2 imes 1} = 120$ 种。 1.4 重复元素与多重集前面的讨论都基于元素是不同的情况。然而，在现实世界中，我们常常会遇到包含重复元素的集合，这被称为多重集。 1.4.1 带重复的排列考虑一个包含 $n$ 个元素的序列，其中有 $n_1$ 个元素是相同的类型 1，$n_2$ 个元素是相同的类型 2，……，$n_k$ 个元素是相同的类型 $k$，并且 $n_1 + n_2 + cdots + n_k = n$。那么这个多重集的排列总数为： $frac{n!}{n_1! n_2! cdots n_k!}$ 这也被称为多项式系数。举例：字母“MISSISSIPPI”有多少个不同的排列？这里共有 11 个字母：M (1个), I (4个), S (4个), P (2个)。所以，不同的排列数为 $frac{11!}{1!4!4!2!} = 34650$ 种。 1.4.2 带重复的组合当允许从一个集合中重复选取元素来形成组合时，问题会变得更加有趣。考虑从 $n$ 种不同类型的物品中选取 $k$ 件，允许重复选取。这等价于将 $k$ 个相同的球放入 $n$ 个不同的箱子中，每个箱子可以放任意多个球。使用“星星与隔板”模型，我们可以将 $k$ 个球表示为 $k$ 个星号（），而 $n$ 个箱子则需要 $n-1$ 个隔板（|）来分隔。例如，如果我们想从 3 种物品中选取 4 件，例如 A, B, C。选取 4 件 AA BC 就是 "||"（3 个星号表示 A，1 个星号表示 B，0 个星号表示 C，中间用隔板分隔）。总共有 $k$ 个星号和 $n-1$ 个隔板，总共 $k + (n-1)$ 个位置。从中选择 $n-1$ 个位置放置隔板（或者选择 $k$ 个位置放置星号），则组合数为： $inom{k + n - 1}{n - 1} = inom{k + n - 1}{k}$ 举例：一家冰淇淋店有 5 种不同的口味。如果您要购买 3 勺冰淇淋，允许重复选取口味，有多少种不同的购买组合？这里 $n=5$ (口味种类)，$k=3$ (购买勺数)。组合数为 $inom{3 + 5 - 1}{5 - 1} = inom{7}{4} = frac{7!}{4!3!} = 35$ 种。 1.5 容斥原理：避免重复计数容斥原理是处理重叠集合计数问题的强大工具，它允许我们在计数时，通过减去重叠的部分，再加回被减去过多的部分，最终得到正确的结果。对于两个集合 $A$ 和 $B$，我们希望计算它们的并集 $|A cup B|$ 的大小。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$ 我们先将 $|A|$ 和 $|B|$ 加起来，这样 $A cap B$ 中的元素被计算了两次，所以需要减去一次 $|A cap B|$。对于三个集合 $A, B, C$，我们计算并集 $|A cup B cup C|$： $|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|$ 首先，我们将所有单个集合的大小相加。然后，我们减去所有两两集合的交集大小，因为这些区域被多计算了一次。最后，我们发现三者交集 $A cap B cap C$ 的元素，在第一步被计算了三次，在第二步被减去了三次，所以它们被计算了零次。因此，需要将三者交集的大小加回来。对于任意 $m$ 个集合 $A_1, A_2, ldots, A_m$，容斥原理的一般形式为： $|cup_{i=1}^m A_i| = sum_{i} |A_i| - sum_{i