Complex Polynomials pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Sheil-Small, T.

出品人:

页数:452

译者:

出版时间:2009-3

价格:$ 103.96

装帧:

isbn号码:9780521102766

丛书系列:

图书标签:

复数多项式
多项式理论
代数几何
复分析
数值分析
近似论
谱理论
算子理论
数学分析
高等数学

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具体描述

This book studies the geometric theory of polynomials and rational functions in the plane. Any theory in the plane should make full use of the complex numbers and thus the early chapters build the foundations of complex variable theory, melding together ideas from algebra, topology and analysis. In fact, throughout the book, the author introduces a variety of ideas and constructs theories around them, incorporating much of the classical theory of polynomials as he proceeds. These ideas are used to study a number of unsolved problems, bearing in mind that such problems indicate the current limitations of our knowledge and present challenges for the future. However, theories also lead to solutions of some problems and several such solutions are given including a comprehensive account of the geometric convolution theory. This is an ideal reference for graduate students and researchers working in this area.

《几何拓扑导论：从欧几里得到黎曼》内容简介本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代几何拓扑学入门，内容涵盖从经典欧几里得几何的基础概念，到高等微分几何与代数拓扑学的核心思想。我们相信，理解空间、形状及其内在属性的演变是数学思维的关键组成部分。本书的叙述风格力求清晰、严谨，同时保持数学发现的趣味性，避免过度依赖复杂的预备知识，让对几何有浓厚兴趣的本科生、研究生以及跨学科研究人员都能从中获益。第一部分：欧几里得空间的重访与度量本书伊始，我们并未急于跳入抽象的高维空间，而是从读者最为熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发。我们首先对欧几里得空间进行度量几何的重构。这部分内容超越了高中几何的范畴，引入了更强大的工具：内积、范数和距离函数的精确定义。我们详细探讨了等距变换群（Isometries）的结构，揭示了刚体运动的本质，并引入了正交群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$ 的基本性质，这为后续理解流形上的切空间奠定了基础。随后，我们深入研究凸几何（Convex Geometry）。凸集的概念虽然简单，却是泛函分析和优化理论的基石。我们详细分析了凸包、支撑函数、分离超平面定理等核心概念。一个重要的章节专门献给Minkowski和，展示了如何利用代数结构来构造和分析更复杂的几何对象。对于那些希望了解几何不等式的读者，本书提供了对表面积、体积之间基本关系的深入剖析，例如对球体和单纯形（Simplex）的体积计算及其变分。第二部分：微分几何的基石：流形与切空间现代几何学的核心在于微分流形（Differentiable Manifolds）的概念。在这一部分，我们将流形的定义细化，强调其局部欧几里得性的重要性。我们着重于如何通过图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）来“缝合”局部结构，形成全局的拓扑和微分结构。本书的核心贡献之一在于对切空间（Tangent Spaces）的详尽阐述。我们不仅定义了速度向量和曲线的切向量，更深入探讨了切空间的向量场（Vector Fields）概念。我们采用基于导子（Derivations）的定义方式，这比纯粹依赖坐标系的定义更具几何洞察力。接着，我们介绍了张量场（Tensors）的概念，包括协变张量和逆变张量，以及它们在流形上如何进行运算，如外积和缩并。这些工具是构造曲率和度量的关键。第三部分：度量几何与黎曼流形当我们引入黎曼度量（Riemannian Metric） $g$ 后，几何学获得了强大的局部度量信息。本部分的核心是黎曼几何。我们详细解释了黎曼度量的定义，它本质上是每个切空间上定义的正定二次型。在此基础上，我们构建了连接算子，特别是Levi-Civita 联络，并证明了它的唯一性。测地线（Geodesics）作为连接流形上两点的“最短路径”的推广，占据了重要篇幅。我们推导出测地线方程，并讨论了它们在流形上的存在性和唯一性。一个关键的章节是关于曲率的引入。我们从最直观的截面曲率（Sectional Curvature）开始，逐步发展到更抽象的黎曼曲率张量。我们详尽地分析了李奇-井上恒等式（Lichnerowicz-Lichnerowicz Identity）和里奇曲率（Ricci Curvature），这些概念在爱因斯坦场方程中扮演着核心角色。为了使读者更好地理解全局结构，本书还包括对指数映射（Exponential Map）的深入讨论，并利用它来定义法坐标系（Normal Coordinates）和分析测地线凸性。第四部分：拓扑学的视角：连通性与形变虽然本书侧重于微分几何，但我们认为理解空间的“整体”结构（拓扑）是必要的。本部分简要介绍了点集拓扑的关键概念，如开集、闭集、紧致性、连通性和分离公理。我们避免了过于抽象的构造，而是将重点放在连续映射（Continuous Maps）对这些性质的保持上。随后，我们过渡到代数拓扑的初步概念，重点关注同伦群（Homotopy Groups）。我们以圆周 $S^1$ 上的自由群 $mathbb{Z}$ 上的映射（绕数）为例，直观地解释了度量拓扑不变量的重要性。虽然没有深入研究纤维丛，但我们引入了纤维丛的基本思想，将其视为局部结构如何以一致的方式在流形上“粘合”起来的更精细版本，特别是切丛（Tangent Bundle）和法丛（Normal Bundle）。第五部分：边界与形变：同调与流的几何在微分几何的应用中，处理边界和形变至关重要。本部分探讨了微分形式（Differential Forms）及其在流形上的积分。我们定义了楔积、外微分 $d$，并详细阐述了De Rham上同调。本书展示了Stokes定理如何统一了微积分中的Green、Gauss和Stokes定理，将其提升到流形的语言下。最后，我们探讨了流形上的向量场流（Flows of Vector Fields）。我们研究了流的稳定性、周期性轨道，以及如何利用李导数（Lie Derivative）来衡量函数或张量场如何随着流的作用而变化。这部分为理解动力系统在弯曲空间中的行为提供了严谨的几何框架。目标读者与特点本书的深度适中，旨在填补标准微积分与高度专业化研究之间的鸿沟。它假设读者具备扎实的微积分和线性代数基础。本书的特点在于强调几何直觉与严格代数工具的结合，通过大量的图示和具体的例子（如球面、环面、双曲平面）来阐释抽象概念，帮助读者真正“看到”几何的结构。