Combinatorial Problems in Mathematical Competitions pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Yao, Zhang

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2011-5

价格:$ 38.42

装帧:

isbn号码:9789812839497

丛书系列:

图书标签:

组合数学
数学竞赛
组合问题
数学奥林匹克
离散数学
计数原理
排列组合
图论
多项式
鸽巢原理

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具体描述

This book focuses on combinatorial problems in mathematical competitions. It provides basic knowledge on how to solve combinatorial problems in mathematical competitions, and also introduces important solutions to combinatorial problems and some typical problems with often-used solutions. Some enlightening and novel examples and exercises are well chosen in this book. With this book, readers can explore, analyze and summarize the ideas and methods of solving combinatorial problems. Their mathematical culture and ability will be improved remarkably after reading this book.

深入探索代数、几何与数论的奇妙交汇《竞赛中的数学难题精解》是一本旨在为有志于挑战各类数学竞赛（如国际数学奥林匹克、普特南数学竞赛以及国内顶尖数学竞赛）的深度学习者和教练人员提供全面、系统、且富有启发性的指导手册。本书不侧重于那些在标准教科书中已被充分探讨的入门级概念，而是将焦点集中在那些能够真正考验思维深度、灵活性和创新能力的“瓶颈”问题上。本书结构清晰，共分为五个核心部分，涵盖了现代高等数学竞赛中最常出现、且最能体现数学美感的五个主要领域：高级数论与丢番图方程、拓扑学基础与几何结构、函数方程与微积分的高级应用、图论与组合构造、以及抽象代数在数论中的应用。 --- 第一部分：高级数论与丢番图方程的精微之境本部分深入剖析了数论中那些需要非标准技巧才能攻克的难题。我们摒弃了费马小定理、欧拉定理等基础工具的冗余讲解，直接切入更深层次的理论工具及其在竞赛中的实战运用。 1. 椭圆曲线的初探与有理点计算：介绍莫德尔方程（Mordell’s Equation）的求解策略，特别是利用Descent方法来证明某些丢番图方程无非平凡解。详细探讨了$ ext{y}^2 = ext{x}^3 + ext{k}$型方程的整数解搜索过程，并辅以具体实例展示如何运用群论的初步概念来理解有理点结构。 2. 二次型与二次互反律的进阶：重点讲解了二次互反律的推广形式（如高斯二次互反律），以及如何利用Legendre符号和Jacobi符号来解决同余方程的可解性问题。书中包含了对布尔矩阵（Boolean Matrix）在判定二次同余系统解集时的应用分析。 3. 分圆域与代数整数：介绍了代数数论的基本概念，特别是单位群的结构以及范数（Norm）在证明某些数论猜想中的作用。通过对单位方程的分析，展示了如何解决涉及高次根式的丢番图方程。 4. 算术几何的萌芽：引入了连通性和代数簇的基本概念，用直观的几何语言解释了Hasse-Weil界限在有理点个数估计中的意义，旨在为读者建立一个从初等数论到现代数学的桥梁。 --- 第二部分：拓扑学基础与几何结构中的不变量本部分旨在展示如何在二维和三维空间中，通过寻找“不变量”来证明几何构造的不可能性，或者证明某些映射的存在性。 1. 拓扑不变量的威力：重点讲解了欧拉示性数（Euler Characteristic）在多面体、曲面划分中的应用。通过对亏格（Genus）的计算，明确区分不可收缩的曲线和可收缩的曲线，并用此来解决复杂的路径覆盖问题。 2. 组合拓扑与镶嵌：详细讨论了如何在非欧几何（如双曲几何的有限模型）中进行平面镶嵌（Tessellation）的构造与计数。书中包含了对Jordan曲线定理的剖析，并展示如何利用其推论解决平面图形的区域划分问题。 3. 刚体运动与维度的直觉：探讨了刚体运动群（Rigid Motions）的性质，并引入了Minkowski测度在衡量复杂集合体积和表面积时的局限性。通过大量的反例（如Koch雪花、Sierpinski垫片），培养读者对分数维度的直观理解。 4. 几何代数：侧重于用代数工具来描述几何属性，例如利用Cayley-Menger行列式来判定点集是否共面，以及用向量的叉积和点积来解析复杂立体几何中的角度和投影问题。 --- 第三部分：函数方程与微积分的高级应用本部分侧重于那些超越标准微积分框架的函数方程求解技巧，强调对函数性质（如单调性、凸性、周期性）的深刻洞察力。 1. Cauchy函数方程的推广：不仅限于Cauchy的线性方程，本书深入研究了Jensen、Pexider以及d'Alembert函数方程，并结合连续性、可微性或有界性等附加条件，系统地推导出所有可能的解。 2. 积分方程与变分法入门：引入了Volterra积分方程的基本结构，并展示如何通过迭代法逼近解。在变分法部分，重点讲解了Euler-Lagrange方程的应用，尤其是在寻找具有最小周长的曲线（如肥皂膜问题在有限维度下的简化版）时的方法论。 3. 泛函分析的雏形：通过分析诸如$ ext{f}( ext{x}) = int_0^x ext{f}( ext{t}) ext{dt} + ext{C}$ 类型的方程，引导读者接触到微分算子的概念，并利用Laplace变换的原理来简化线性常微分方程组的求解过程。 4. 极值点分析：探讨了高维空间中函数的局部极值判断，特别是利用Hessian矩阵的特征值来区分鞍点、局部最大值和局部最小值，这在解决涉及多个变量的优化竞赛题时至关重要。 --- 第四部分：图论与组合构造的精巧设计本书对组合学的处理方式是高度构造性和证明导向的，重点在于如何通过巧妙的构造来反驳普遍假设或证实特定结构的存在性。 1. 极值图论（Extremal Graph Theory）：重点阐述了Turán定理及其证明的思想。通过对Ramsey数（$R(s, t)$）的界限分析，展示了在“完全随机”结构中保证特定子结构的必然性。书中包含了对“禁止子图”问题的深入研究。 2. 构造性证明与完美匹配：详细介绍了Hall的婚姻定理（Hall's Marriage Theorem）及其在二分图中的应用。通过König定理和Max-Flow Min-Cut定理的联系，系统地解决了调度、分配和覆盖问题。 3. 组合几何的交叉：讨论了点集和线集的对偶性，特别是Sylvester-Gallai定理的证明技巧。书中还包含了对“界限和覆盖”（Cutting and Covering）问题的讨论，例如如何在有限区域内放置最多个体而不发生重叠。 4. 动态规划与生成函数的高阶应用：侧重于如何运用莫比乌斯反演公式来解决计数问题中的容斥原理的复杂变体。同时，详细解析了如何通过构造特定的母函数（Generating Functions）来计算复杂随机过程的概率分布。 --- 第五部分：抽象代数在数论中的应用本部分旨在弥合初等数论与现代抽象代数之间的鸿沟，展示群论、环论和域论工具如何简化看似棘手的数论问题。 1. 群论与周期性：深入探讨了有限域上的运算规律，特别是利用有限域的循环结构来解决关于周期性序列和重复数字的问题。书中详细分析了伽罗瓦群（Galois Group）的初步概念，用于理解多项式的根的对称性。 2. 环论与理想：介绍了整环、唯一分解整环（UFD）和主理想整环（PID）的概念。重点在于理解整环上的因子分解问题，例如在$mathbb{Z}[sqrt{-5}]$中，因子唯一性是如何失效的，并利用此知识来证明特定的丢番图方程无解。 3. 有限域上的密码学基础：虽然不侧重于实际应用，但书中利用有限域的构造来证明了许多数论结论的简洁性，例如关于原根（Primitive Roots）存在的代数证明，以及利用离散对数问题的难度来理解某些数论问题的计算复杂度。 4. 模运算的代数视角：将模运算视为同态映射，并利用商环（Quotient Rings）的概念来清晰地组织和解决复杂的中国剩余定理（CRT）系统，特别是涉及多个模数互不相关或存在公因数的情况。总结：《竞赛中的数学难题精解》是一本为求精进的读者量身定制的工具书。它假定读者已熟练掌握了微积分、线性代数以及初等数论的基础知识，并致力于提供解决“最难”问题的思维框架和技术栈。本书的价值不在于罗列公式，而在于展示如何从根本上理解数学结构，并将不同分支的知识有机地融合起来，以创造性地解决前所未见的挑战。它强调的是对数学本质的深刻洞察，而非对已知定理的机械套用。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，就像是打开了一扇通往组合数学奇妙世界的大门。它没有华丽的辞藻，没有故弄玄虚的技巧，只有纯粹的、严谨的数学推理和令人拍案叫绝的巧妙构思。我之所以如此推崇，是因为它真正地“教”了我如何去思考。书中提出的每一个问题，看似简单，但往往蕴含着深刻的数学思想。作者在解析过程中，不仅仅是给出解答，更重要的是引导读者去思考“为什么”这样解，以及“有没有其他更好的方法”。这种“授人以渔”的教学方式，对于培养独立思考能力至关重要。我特别喜欢书中关于“数学归纳法”在组合问题中的灵活运用，以及“二项式定理”和“容斥原理”的各种非标准解法。这些内容，让我看到了组合数学的无限可能性。而且，这本书的题目选材非常精炼，每一道题都代表了某一类问题的典型思路，通过对这些题目的深入理解，可以触类旁通，举一反三。这本书不仅仅是为竞赛而生，更是对任何希望锻炼逻辑思维和解决问题能力的人，都具有极高的价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书是一部真正意义上的“武功秘籍”，对于那些身处数学竞赛“江湖”的学子来说，它提供了最实用的“内功心法”和“绝世招式”。我之所以这么说，是因为它不仅仅罗列题目，更重要的是它教会了“如何去想”。书中对一些经典竞赛问题的分析，简直是鬼斧神工。它没有给你一成不变的解题套路，而是引导你从不同的角度去审视问题，挖掘隐藏的数学结构。我特别欣赏书中对于“对称性”、“构造法”、“反证法”等解题思想的强调和运用。很多时候，一个巧妙的对称性视角，就能让原本复杂的计算瞬间简化，或者一个精巧的构造，就能直接给出答案。作者在这一点上做得尤为出色，他总能点出问题的“穴位”，让你恍然大悟。此外，这本书对于数学语言的规范性和严谨性也有着极高的要求，这对于培养我们清晰的数学思维非常有帮助。我发现，在阅读这本书的过程中，我不仅学会了解决组合数学问题，更重要的是提升了我整体的数学推理能力和解决复杂问题的能力。这本书记载的智慧，绝对是值得反复品味和研习的。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是数学竞赛领域的一颗璀璨明珠！当我第一次翻开它时，就被书中那种严谨而又富有洞察力的分析所深深吸引。它不仅仅是一本习题集，更是一场思想的盛宴。作者似乎能看穿每一个问题的本质，将看似杂乱无章的组合结构，用清晰的逻辑语言一一剖析。那些我曾经感到头疼无比的计数问题，在这本书的引导下，变得如同抽丝剥茧般流畅。尤其是关于图论和概率论在组合数学中的应用，我受益匪浅。书中的例题设计巧妙，难度循序渐进，既有基础概念的巩固，也有对高级技巧的深入探索。每一次解题的过程，都像是在攀登一座智力的高峰，征服的喜悦和豁然开朗的感受，是任何其他书籍都无法比拟的。我尤其喜欢书中对某些著名竞赛难题的详尽讲解，它们不仅仅是给出答案，更重要的是揭示了解决问题的思维路径和策略。读完之后，我感觉自己对组合数学的理解上升到了一个新的高度，看待问题的角度也变得更加多元化。这本书绝对是任何有志于在数学竞赛中取得突破的学子，甚至是任何对组合数学充满好奇的读者，都不可错过的宝藏。它让我重新点燃了对数学的热情，也让我更加坚信，只要方法得当，再棘手的难题也终将迎刃而解。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年关注数学竞赛的爱好者，我阅读过不少相关的书籍，但《Combinatorial Problems in Mathematical Competitions》这本书给我带来的惊喜是前所未有的。它不像市面上一些同类书籍那样，仅仅是堆砌题目，而是真正深入到组合数学的核心思想之中。作者以一种极为深刻的洞察力，揭示了不同类型组合问题之间的内在联系，以及贯穿其中的普适性解题策略。我尤其赞赏书中对“生成函数”这一强大工具的介绍和应用。在很多我看来棘手的计数问题，通过巧妙运用生成函数，都能变得异常清晰和有条理。作者对生成函数的讲解，不仅限于理论的阐述，更重要的是通过大量的实例，展示了它在解决实际问题中的威力。此外，书中还涉及了许多关于 Pólya 计数定理、Burnside 引理等高级组合数学的概念，并且结合了竞赛中常见的应用场景，使得这些抽象的理论不再遥不可及。这本书的学习曲线虽然略有挑战，但每一步的深入都是一次巨大的收获。它让我对组合数学的理解，从“知其然”上升到了“知其所以然”的境界。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，刚拿到《Combinatorial Problems in Mathematical Competitions》这本书的时候，我带着一种既期待又有些忐忑的心情。组合数学一直是我学习中的一个“软肋”，那些繁复的排列组合，常常让我陷入迷茫。然而，这本书却以一种出人意料的友好方式，化解了我多年的困扰。它没有一开始就抛出晦涩难懂的定理，而是从最基础的概念入手，循序渐进，每一步都讲解得极其细致。书中对于“为什么”的解释，比我以往接触过的任何教材都要到位。很多时候，我只是在阅读，但感觉自己就像是跟随着作者一起思考，一步步构建起解决问题的逻辑。那些看似抽象的定义，在作者生动形象的语言下，变得鲜活起来。我印象最深的是关于“鸽笼原理”的几种变体应用，作者通过一系列精心设计的例子，将这个看似简单的原理，延展出了无穷的可能性，让我惊叹不已。而且，这本书的排版也很舒适，大量的图示和清晰的标注，使得阅读过程更加愉快。总而言之，这是一本能够真正帮助读者建立起扎实组合数学基础的入门与进阶的优秀读物，强烈推荐给所有对组合数学感到畏惧或希望系统学习的读者。

评分☆☆☆☆☆