Orbifolds in Mathematics and Physics pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Adem, Alejandro (EDT)/ Morava, Jack (EDT)/ Ruan, Yongbin (EDT)

出品人:

頁數:358

译者:

出版時間:

價格:757.00 元

裝幀:

isbn號碼:9780821829905

叢書系列:

圖書標籤:

• Orbifolds
• Mathematics
• Physics
• Geometry
• Topology
• Group Theory
• Symmetry
• Manifolds
• Singularities
• Representation Theory

《幾何形態的深層結構：從拓撲到引力場的數學探秘》 圖書簡介 本書旨在深入探討現代數學物理中幾個關鍵交叉領域的基石概念——那些超越傳統光滑流形結構的復雜幾何形態。我們聚焦於那些在描述量子場論、弦理論以及微分幾何前沿問題時不可或缺的數學框架。這不是一本關於特定的“Orbifolds in Mathematics and Physics”的書籍，而是對支撐這些高級理論所必需的更廣泛幾何工具箱的一次詳盡考察。 本書的敘事邏輯是從最基礎的拓撲空間構建開始，逐步引嚮高維空間、奇異點的處理，以及它們在物理現實建模中的具體應用。我們的目標讀者是具備紮實分析基礎、熟悉微分幾何初步概念的研究生和專業研究人員。 --- 第一部分：基礎拓撲與微分流形的拓展 本部分為後續探討奇異幾何奠定瞭必要的數學基礎。我們首先復習瞭拓撲空間的連通性、緊緻性和基本群的性質。隨後，我們將重點放在微分流形的概念，強調其局部歐幾裏得性的重要性。 1. 拓撲空間的代數不變量： 詳細闡述瞭同調論（特彆是奇異同調和簡化同調）在區分拓撲空間上的關鍵作用。我們深入分析瞭龐加萊對偶性和對偶復形，這些工具是理解高維流形結構內在對稱性的關鍵。對基本群的深入分析，特彆是其非阿貝爾性質，為後續處理非平凡的覆蓋空間和局部非單連通結構做瞭鋪墊。 2. 流形上的分析結構： 這一章側重於在光滑流形上進行分析操作的挑戰與方法。我們詳細探討瞭張量場、微分形式以及外導數的運算規則，並引入瞭德拉姆上同調，闡明瞭其如何從拓撲角度簡化對綫積分和麵積分的研究。霍奇理論的引入，尤其是在緊緻 Kähler 流形上的應用，展示瞭如何將分析（拉普拉斯算子）與拓撲（上同調群）聯係起來。 3. 奇點與局部結構： 在光滑流形的概念趨於極限時，我們引入瞭“局部結構”的概念。本節將探討如何使用局部坐標係來描述空間中不滿足光滑條件的點。這包括對解析奇點（如代數簇中的自交點）的早期介紹，並使用射影幾何的語言來“嵌入”這些奇異點，使之在更高維度上顯得“光滑”。 --- 第二部分：奇異空間建模：超越光滑邊界 本部分是本書的核心，它關注於處理傳統光滑流形無法描述的幾何結構，這些結構往往齣現在物理理論需要考慮有限對稱性或邊界條件時。我們避開特定的分類學，而是關注解決“如何處理局部非平凡的覆蓋空間”這一通用方法論。 1. 局部變換群與同變性： 這一章聚焦於流形上的群作用。我們詳細研究瞭李群在流形上的作用，特彆是如何利用李代數來理解無窮小形變。重點在於同變上同調（Equivariant Cohomology）的構建，這允許我們在存在局部對稱性的空間上進行計算。我們展示瞭如何通過切卡爾-萊謝茨（Chech-L’eyssetz）定理的同變推廣，來計算具有固定點的空間的拓撲不變量。 2. 縴維叢與層論基礎： 縴維叢是構建復雜幾何結構的基石。我們詳細分析瞭嚮量叢和主叢的區彆，並引入瞭陳類（Chern Classes）的概念，這些拓撲不變量直接編碼瞭底層空間上的幾何麯率信息。隨後，我們引入瞭層（Sheaves）的概念，這是一種描述局部數據的工具。通過研究層上同調，我們能夠係統地處理那些在局部有定義但在全局上可能不一緻的數學對象，例如規範場理論中的規範群的截麵。 3. 模空間與參數化： 許多物理問題（如弦理論中的真空態）涉及對象集閤的空間，即模空間。這些空間往往具有奇異性，因為不同的參數組閤可能導緻拓撲等價但幾何上不同的結構。本節探討瞭如何使用普特納-裏斯（Puetner-Riss）理論來構造這些空間的緊緻化版本，從而在拓撲上“縫閤”掉那些在邊界處齣現的奇異結構。這涉及到對穩定嚮量叢和米爾諾-辛格（Milnor-Singer）指標理論的應用，用以計算這些模空間上的貝蒂數。 --- 第三部分：幾何結構在物理場中的體現 本部分將前兩部分的數學工具應用於現代理論物理中的具體問題，展示瞭對局部對稱性和奇異性的精確描述如何影響物理定律的錶達。 1. 規範場論中的拓撲荷： 規範場理論（如楊-米爾斯理論）本質上是關於縴維叢和聯絡的研究。本章分析瞭陳-西濛斯（Chern-Simons）作用量的數學結構。我們闡述瞭為什麼在三維時空或某些特定邊界條件下，經典作用量會産生與底層流形拓撲性質（如基本群或第一陳類）直接相關的非平凡項。這要求我們理解流形上聯絡的積分（如威爾遜環）如何受到奇異點附近“縫隙”的影響。 2. 經典引力與黎曼幾何的極限： 廣義相對論基於黎曼流形，但黑洞形成或宇宙大爆炸等事件預示著時空結構可能包含奇點。本章討論瞭如何使用共形幾何來“平滑”這些奇點。通過研究共形流與共形場的演化，我們探討瞭如何將時空結構從一個奇異的洛倫茲流形，映射到一個具有邊界的光滑流形上，從而在數學上處理引力理論的邊界條件。 3. 量子場論中的有效作用量： 在量子場論中，費曼路徑積分涉及到對所有可能的場構型的求和。當場構型空間包含拓撲非平凡的鞍點（即具有局部對稱性的構型）時，傳統的微擾方法失效。我們引入瞭熱場理論中的zeta函數正則化技術，用以計算那些在奇異點附近貢獻最大的貢獻項，並展示瞭如何利用這些技術來理解在小尺度極限下，幾何對稱性如何轉化為量子場論中的有效耦閤常數。 --- 總結 本書通過聚焦於處理局部非光滑性、非單連通性和對稱性對幾何結構的影響，提供瞭一個處理現代數學物理中“非典型”幾何形態的統一視角。我們強調數學工具的普適性——如何從代數拓撲的視角理解微分幾何的邊界，以及這些邊界如何反過來塑造我們對物理實在的描述。本書的價值在於提供瞭一種超越傳統微分幾何框架的思維方式，為研究者提供解析復雜係統內在結構所需的數學洞察力。

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這本書的氣質非常獨特，它似乎在邀請讀者進入一個極度幾何化、結構嚴謹的世界，一個由奇異點和局部對稱性主導的領域。我猜想，作者花費瞭大量精力去闡釋奇異形如何作為一種“弱的”或“奇異的”流形概念，來取代某些物理情境中原本所需的更光滑、更完美的數學對象。這種“允許缺陷”的數學處理方式，本身就充滿瞭深刻的哲學意味。我特彆想知道書中是如何處理與奇異形相關的“模空間”問題的——這些空間的幾何性質如何影響物理理論的可重整化性和一緻性？從物理直覺上來說，一個帶有奇異點的空間，往往意味著能量密度或場強集中在某些點上，書中是否將這些幾何特徵與物理上的奇點、黑洞或宇宙學原初狀態聯係起來？總而言之，這本書似乎提供瞭一個強大的幾何框架，用以解構那些在傳統流形理論中顯得過於“僵硬”的物理模型，展現齣數學語言在描述真實世界復雜性方麵的強大生命力。

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這本書的排版和設計風格，從我初步的觀察來看，透露齣一種嚴肅的學術氣息，這讓人對接下來的閱讀內容充滿瞭期待，也帶著一絲敬畏。我猜想，內容組織上，它可能首先會從基礎的拓撲學和微分幾何概念入手，為引入“奇異形”這一核心主題打下堅實的理論基礎。隨後，書中必然會詳盡地剖析奇異形的構造、分類以及它們在黎曼幾何框架下的局部結構。我特彆關注那些關於奇異形如何處理奇點的討論，這往往是區分高級理論著作和入門教材的關鍵點。如果作者能夠提供大量圖示和具體的例子來輔助理解那些復雜的數學構造，比如如何用局部坐標係描述一個奇異點周圍的環境，那將極大地提升閱讀體驗。對於物理學傢而言，他們更關心奇異形如何自然地齣現在某些場方程的解中，例如在某些特定的拓撲缺陷或宇宙學模型中。我希望這本書能在這方麵有所建樹，展現齣數學結構背後的物理直覺。

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這本書的閱讀門檻看起來不低，這對於我來說恰恰是吸引力所在。我更偏愛那些敢於深入挖掘細節、不懼怕使用復雜符號和定理的專業書籍。我推測《Orifolds in Mathematics and Physics》在闡述理論時，必然會引用大量的經典著作，並可能提齣一些尚未被廣泛接受的新觀點或方法論。例如，在探討奇異形的同倫論性質時，書中是否引入瞭新的奇異同倫群的定義？在物理應用層麵，作者是如何處理奇異形上的嚮量叢和聯絡的？這些細節的嚴謹性決定瞭一本書的學術價值。我希望這本書能提供詳盡的參考文獻列錶，以便讀者在遇到理解障礙時能夠追溯源頭。同時，如果書中能夠包含一些尚未完全解決的開放性問題或挑戰性的練習題，那就更好瞭，這能鼓勵讀者真正動手去思考，而不是僅僅被動地接受既有知識。

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這本書的名字聽起來就充滿瞭深邃和挑戰性，它似乎是為那些真正熱愛理論、渴望在數學和物理的交匯點上探索前沿知識的讀者準備的。我最近一直在尋找能真正激發我思考的讀物，而《Orifolds in Mathematics and Physics》似乎正是這樣一個燈塔。從書名來看，它必然深入探討瞭“奇異形”這個在現代幾何學和理論物理中日益重要的概念。我期望它能以一種既嚴謹又富有洞察力的方式，帶領讀者領略奇異形在不同維度上的結構特性，以及它們如何作為理解更深層次物理定律的數學工具。如果這本書能夠清晰地闡述奇異形與傳統流形之間的關鍵區彆，並展示它們在解決特定物理難題（比如量子場論中的規範場理論或者弦論中的緊緻化問題）中的獨特優勢，那麼它無疑會成為我書架上的珍藏。我尤其期待看到作者如何平衡數學的抽象性與物理應用的直觀性，讓一個相對晦澀的概念變得可觸及，這是衡量一本優秀跨學科著作的關鍵標準。

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讀完這本書的摘要後，我立刻被其潛在的深度所吸引。它不僅僅是一本數學專著，更像是一座橋梁，試圖將高度抽象的代數拓撲工具，與前沿的粒子物理或凝聚態物理中的實際問題聯係起來。我推測書中一定花瞭相當的篇幅來討論奇異形在規範理論中的應用，比如如何用它們來構造非平凡的同調群，或者它們如何影響費米子的手性。對於那些希望深入理解弦論或M理論中空間緊緻化機製的讀者來說，這本書的重要性不言而喻。我期待看到作者展示奇異形如何自然地齣現於 Calabi-Yau 流形或更廣義的 G2 結構中。更進一步，我希望書中能夠探討奇異形在量子引力背景下可能扮演的角色——它們是否能提供一種描述引力子量子化的新途徑？這類問題需要極高的數學成熟度，也預示著這本書的內容絕非泛泛而談，而是直指當代物理學最核心的難題。

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